7.1.1 条件概率（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

随机变量及其分布 第七章 7.1　条件概率与全概率公式 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 7.1.1　条件概率 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 要点一　条件概率的定义 返回目录 数学　选择性必修 第三册 要点二　条件概率与事件相互独立性的关系 P(B) P(A)P(B) P(B) 返回目录 数学　选择性必修 第三册 要点三　条件概率的性质 P(A)P(B|A) 1 P(B|A)＋ P(C|A) 1－P(B|A) 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究一　条件概率的计算 关键能力·素养提升 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究二　概率的乘法公式及其应用 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究三　条件概率性质的应用 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第三册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 课标要求 1．结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率． 2．结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系． 3．结合古典概型，会利用乘法公式计算概率． 4．结合古典概型，会利用全概率公式计算概率． 5．了解贝叶斯公式*. 学法指导 1．通过一些简单的实例，理解条件概率的概念，注意P(A|B)与P(B|A)的区别． 2．结合必修第二册10.2节学习条件概率与独立性的关系，区别两种判断事件相互独立的方法． 3．本节内容与古典概型结合紧密，学习时注意体会． 4．贝叶斯公式用于求原因概率，全概率公式用于求结果概率，学习时注意对比记忆． 5．通过学习及应用条件概率和全概率公式，发展数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 问题导入 100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}． 问题1：试求P(A)，P(B)，P(AB)． 提示　P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝. 问题2：任取一件产品，若产品长度合格(即A发生)，则它的质量也合格(即B发生)的概率等于P(B)吗？ 提示　不等于P(B)． 微梳理 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝ _______为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 思考：P(B|A)和P(A|B)的意义相同吗？为什么？ 提示　不相同，P(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)的意义不相同． 当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)＝____________. 证明：若事件A与B相互独立，即P(AB)＝__________，且P(A) >0，则P(B|A)＝＝____________＝____________；若P(B|A)＝P(B)，且P(A)>0，则P(B)＝____________⇒P(AB)＝P(A)P(B)，即事件A与B相互独立． 1．概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝______________. 2．设P(A)>0，样本空间为Ω，则 (1)P(Ω|A)＝_________； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝____________ _____________； (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝_______________. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)甲、乙两人投篮的命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中是条件概率．(　　) (2)甲、乙两人投篮的命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中是条件概率．(　　) (3)P(A∩B)＝P(AB)．(　　) (4)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(　　) (5)P(AB)＝P(A)P(A|B)．(　　) 解析　(1)错误．不满足条件概率的定义． (2)正确．满足条件概率的定义． (3)正确．事件A和B同时发生所构成的事件称为事件A与B的交(或积)，记作A∩B(或AB)，所以P(A∩B)＝P(AB)． (4)错误．若事件A，B互斥，则事件A∩B是不可能事件，即P(A∩B)＝0，所以P(B|A)＝0. (5)错误．P(AB)＝P(A)P(B|A)． 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× 【例题1】 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目．在卡片上写下6个节目的名称，并不放回地依次抽取2张卡片，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． 解析　设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B，则“第1次和第2次都抽到舞蹈节目”为事件AB. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2次的事件数为n(Ω)＝A＝30，根据分步乘法计数原理，第1次抽到舞蹈节目的事件数为n(A)＝AA＝20，所以第1次抽到舞蹈节目的概率为P(A)＝＝＝. (2)因为n(AB)＝A＝12，所以P(AB)＝＝＝. (3)方法一　由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝＝＝. 方法二　因为n(AB)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝＝＝. 规律总结 计算条件概率的两种方法 (1)公式法 ①用字母表示事件； ②求P(A)，P(AB)； ③利用条件概率公式P(B|A)＝求概率． (2)缩减样本空间法 ①原来的样本空间Ω缩小为事件A； ②原来的事件B缩小为A与B同时发生的事件AB； ③利用古典概型概率公式P(B|A)＝求概率． 【变式1】 (1)在某电视台有一闯关节目，该节目设置有两关，闯关规则是：当第一关闯关成功后，方可进入第二关．为了调查闯关的难度，该电视台调查了参加过此节目的100名选手的闯关情况，第一关闯关成功的选手有80人，第一关闯关成功且第二关闯关也成功的选手有72人，以闯关成功的频率近似作为闯关成功的概率，已知某个选手第一关闯关成功，则该选手第二关闯关成功的概率为______. (2)有圆形零件100个，其中有98个直径合格，有96个光洁度合格，两个指标都合格的有94个，从这100个零件中，任意抽取1个． ①如果此零件光洁度合格，求直径也合格的概率(结果保留三位小数)； ②如果此零件直径合格，求光洁度也合格的概率(结果保留三位小数)． 解析　(1)记事件A为“某个选手第一关闯关成功”，事件B为“某个选手第二关闯关成功”，则事件AB为“某个选手第一关闯关成功且第二关闯关也成功”，则P(B|A)＝＝＝. 答案　 (2)设事件A为“直径合格”，事件B为“光洁度合格”，则P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝. ①此零件在光洁度合格的条件下，直径也合格的概率是P(A|B)＝＝＝≈0.979. ②此零件在直径合格的条件下，光洁度也合格的概率是P(B|A)＝＝＝≈0.959. 【例题2】 气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为，在刮台风的条件下，下大雨的概率为，则该地区七月份既刮台风又下大雨的概率为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　设“该地区每年七月份刮台风”为事件A，“该地区每年七月份下大雨”为事件B，则“该地区七月份既刮台风又下大雨”为事件AB.由题意得P(A)＝，P(B|A)＝，由概率的乘法公式可得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝×＝.故选B项． 规律总结 应用概率的乘法公式解应用题的一般步骤 (1)首先判断应用题是否可以应用乘法公式求解，即对任意两个事件A与B，是否有P(A)>0. (2)根据已知条件表示出各事件的概率． (3)代入乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)，求出所求事件的概率． 【变式2】 (1)已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)＝(　　) A． B． C． D． (2)有一批种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.7，则在这批种子中，随机抽取一粒，这粒种子能成长为幼苗的概率为______. 解析　(1)因为P(B|A)＝，P(A)＝，所以由概率的乘法公式得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝.故选B项． (2)设事件A为“种子发芽成功”，事件B为“种子能成长为幼苗”．根据题意知P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.7，故由P(B|A)＝知P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)＝0.8×0.7＝0.56.又A∩B＝B，故P(B)＝P(A∩B)＝0.56，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.56. 答案　(1)B　(2)0.56 【例题3】 有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶是红色或黑色的概率． 解析　设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”， 则D＝B∪C且B与C互斥， 所以P(A)＝＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝， 故P(D|A)＝P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝. 规律总结 较复杂事件概率的求法 (1)把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和，求出这些较简单事件的概率． (2)再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得所求事件的概率，但应注意这个公式在“B与C互斥”这一前提下才成立． 【变式3】 在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次不放回地摸2个球，则在摸出的第一个球是红球的条件下，摸出的第二个球是黄球或黑球的概率为______. 解析　方法一　设“摸出的第一个球是红球”是事件A，“摸出的第二个球是黄球”是事件B，“摸出的第二个球是黑球”是事件C，则P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝.所以P(B|A)＝＝＝，P(C|A)＝＝＝.所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.所以所求的概率为. 方法二　因为n(A)＝1×C＝9，n[(B∪C)∩A]＝C＋C＝5，所以P(B∪C|A)＝＝.所以所求的概率为. 答案　 微专题 明易错·误区警示 混淆条件概率P(B|A)与积事件的概率P(AB)致错 【例题】 袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球(只有颜色不同)，不放回抽取，每次任取一球，取两次，求第二次才取到黄球的概率． [正解] 设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄球，C表示第二次才取到黄球，则P(C)＝P(AB)＝×＝. [易错探因] 求解本题时容易产生如下错误： 设A表示第一次取到白球，B表示第二次取到黄球，C表示第二次才取到黄球，则P(C)＝P(B|A)＝＝. 产生错误的原因是不理解P(AB)与P(B|A)的含义，事实上，求P(B|A)时表示第一次抽取结果已知为抽到白球，而求P(AB)时两次抽取都是随机的． [误区警示] 解题时，先要正确理解并能区分条件概率与积事件的概率，P(AB)表示事件A与B同时发生的概率，而P(B|A)表示在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率，然后正确选择相应的计算公式求解即可． 【练习】 一个盒子中装有4件产品，其中3件一等品、1件二等品，从中取产品两次，每次任取1件，做不放回抽样，若第一次取到的是一等品，求第二次取到一等品的概率． 解析　设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，则AB表示“第一次取到一等品，第二次也取到一等品”． 因为P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以在第一次取到一等品的情况下，第二次取到一等品的概率为P(B|A)＝＝＝. 1．已知P(B|A)＝，P(AB)＝，则P(A)＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由P(B|A)＝得P(A)＝＝＝.故选C项． 2．同时抛掷一枚红骰子和一枚蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于4”为事件A，“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B，则P(B|A)＝(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　由题意得n(A)＝3×6＝18，n(AB)＝3，则P(B|A)＝＝＝.故选D项． 3．随着社会的发展，越来越多的共享资源陆续出现，它们也不可避免地与我们每个人产生密切的关联，逐渐改变着每个人的生活．已知某种型号的共享充电宝循环充电超过500次的概率为，超过1 000次的概率为，现有一个该型号的充电宝已经循环充电超过500次，则其能够循环充电超过1 000次的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由题意设事件A为“该充电宝循环充电超过500次”，事件B为“该充电宝循环充电超过1 000次”，则P(A)＝，P(B)＝，易知P(AB)＝P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝×＝.故选B项． 4．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是______. 解析　记事件A为“甲厂产品”，事件B为“合格产品”， 则P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95，所以P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665. 答案　0.665 $$