9.2.2 9.2.3 总体百分位数的估计 总体集中趋势的估计（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

统　计 第九章 9.2　用样本估计总体 9.2.2　总体百分位数的估计 9.2.3　总体集中趋势的估计 返回目录 数学　必修 第二册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　第p百分位数 第p百分位数 p% (100－p)% 返回目录 数学　必修 第二册 小到大排列 i＝n×p% 第j项 第i项与第(i＋1)项 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 要点二　众数、中位数、平均数 最多 中点 中位数 集中趋势 相等 返回目录 数学　必修 第二册 底边中点的横坐标 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究一　百分位数的计算 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究二　众数、中位数、平均数的计算 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究三　众数、中位数、平均数在频率分布直方图中的应用 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　必修 第二册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义.2.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)，理解集中趋势参数的统计含义(重点).3.发展数据分析、数学运算、数学建模的核心素养． 1．定义 一般地，一组数据的________________是这样一个值，它使得这组数据中至少有________的数据小于或等于这个值，且至少有____________________的数据大于或等于这个值． 2．计算步骤 计算一组n个数据的第p百分位数： 第1步，按从______________原始数据； 第2步，计算________________； 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为__________数据；若i是整数，则第p百分位数为__________________________数据的平均数． 特别地：①中位数相当于第50百分位数．②四分位数：常用的分位数有第25,50,75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第25百分位数也称第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称第三四分位数或上四分位数．③在统计中经常被使用的百分位数还有第1百分位数、第5百分位数、第95百分位数和第99百分位数． 名称 定义 在频率分布直方图中的估计方法 众数 一组数据中出现次数________的数称为这组数据的众数 最高矩形底边________的横坐标 中位数 一组数据按从小到大的顺序排列，处于中间位置的数称为这组数据的__________ 一组数据中的中位数是唯一的，反映了该组数据的___________；在直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积________ 名称 定义 在频率分布直方图中的估计方法 平均数 一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数，数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为＝ _____________________ 平均数的估计值等于直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形____________________之和 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)第25百分位数表示一组数据中至少有25%的数据小于或等于这个数值．(　　) (2)一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的．(　　) (3)中位数一定是样本数据中的某个数．(　　) (4)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变．(　　) 解析　(1)正确，符合第p百分位数的概念． (2)错误，一个样本的平均数和中位数是唯一的；若数据中有两个或两个以上出现得最多，且出现次数一样多，则这些数据都是众数，若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数，可见一个样本的众数可能有多个，也可能没有． (3)错误，如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数，这个数可能不是样本中的数． (4)错误，若改变一组数据中的一个数，则这组数据的平均数一定会改变，而中位数与众数可能不变． 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 【例题1】 北京市2024年5月份某一周的日最高气温(单位：℃)分别为25,28,30,29,31,32,28，则这周的日最高气温的第75百分位数为(　　) A．28 ℃ B．29 ℃ C．31 ℃ D．32 ℃ 答案　C 解析　将数据由小到大排列为25,28,28,29,30,31,32，因为7×75%＝5.25，所以这周的日最高气温的第75百分位数为31 ℃.故选C项． 【变式1】 求下列一组数据1,2,2,3,4,4,5,6,6,7的第30百分位数(　　) A．2 B．3 C．4 D．2.5 答案　D 解析　这组数据共有10个，10×30%＝3，即第 30百分位数是第3个数据和第4个数据的平均数2.5.故选D项． 规律总结　 (1)众数、中位数和平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量． (2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中部分数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题． (3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中． (4)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动．也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于全体样本数据的信息．但平均数受数据的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低． 【例题2】 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)． 甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17； 乙群：54,3,4,4,5,6,6,6,6,56. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？ (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？ 解析　(1)甲群市民年龄的平均数为×(13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17)＝15(岁)，中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征． (2)乙群市民年龄的平均数为×(54＋3＋4＋4＋5＋6＋6＋6＋6＋56)＝15(岁)，中位数为6岁，众数为6岁．由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差． 【变式2】 据报道，某公司的33名职工的月工资(单位：元)如表所示. 职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员 人数 1 1 2 1 5 3 20 工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500 (1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数； (2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么(精确到元)? (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法． 解析　(1)平均数是＝×(5 500＋5 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×20)≈2 091(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元． (2)平均数是＝×(30 000＋20 000＋3 500×2＋3 000＋2 500×5＋2 000×3＋1 500×20)≈3 288(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元． (3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平． 规律总结　 (1)众数：众数是最高长方形底边的中点所对应的数据． (2)中位数：①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图面积相等，由此可以估计中位数的值，但是有偏差；②表示样本数据所占频率的等分线． (3)平均数：①平均数等于每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和；②平均数是频率分布直方图的重心，是频率分布直方图的平衡点． 【例题3】 某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示． (1)求这次测试数学成绩的众数； (2)求这次测试数学成绩的中位数(保留一位小数)； (3)求这次测试数学成绩的平均分． 解析　(1)由题图知众数为＝75. (2)由题图知，设中位数为x，由于前三个矩形的面积之和为0.4，第四个矩形的面积为0.3，且0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，所以0.1＝0.03(x－70)，解得x≈73.3. (3)由题图知这次测试数学成绩的平均分为×0.005　×10＋×0.015×10＋×0.02×10＋×0.03×　10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72. 【变式3】 从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图所示的频率分布直方图． 由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求(保留一位小数)： (1)这50名学生成绩的众数与中位数； (2)这50名学生的平均成绩． 解析　(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为75. 由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求． 因为0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3， 所以前三个小矩形面积的和为0.3，而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3,0.3＋0.3>0.5， 所以中位数应约位于第四个小矩形内． 设其底边为x，高为0.03， 所以令0.03x＝0.2，得x≈6.7， 故中位数应约为70＋6.7＝76.7. (2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，即每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可． 所以平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65× (0.02×10)＋75× (0.03×10)＋85×(0.024×10)＋95×(0.016×10)＝76.2. 1．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是(　　) A．平均数>中位数>众数 B．平均数<中位数<众数 C．中位数<众数<平均数 D．众数＝中位数＝平均数 答案　D 解析　由所给数据可得中位数、众数都是50，平均数是×(20＋30＋40＋50＋50＋60＋70＋80)＝50.故选D项． 2．已知一组数据为7,10,14,8,7,12,11,10,8,10,13,10,8,11,8,9,12, 9,13,20，那么这组数据的第25百分位数是(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 答案　A 解析　数据从小到大排列是7,7,8,8,8,8,9,9,10,10,10,10,11,11, 12,12,13,13,14,20,共20个数据，20×25%＝5，所以这组数据的第25百分位数是第5项与第6项数据的平均数，即8.故选A项． 3．已知数据x1，x2，…，xn的均值＝5，则数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的均值为(　　) A．5 B．10 C．11 D．16 答案　C 解析　由条件知＝＝5，则所求均值0＝＝＝2＋1＝2×5＋1＝11.故选C项． 4．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为，则(　　) A．me＝m0＝ B．me＝m0＜ C．me＜m0＜ D．m0＜me＜ 答案　D 解析　由题目所给的统计图可知，30个数据按大小顺序排列好后，中间两个数为5,6，故中位数为me＝＝5.5.又众数为m0＝5，平均值＝×(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2)＝，所以m0＜me＜.故选D项． $$