8.6.1 直线与直线垂直（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

立体几何初步 第八章 8.6　空间直线、平面的垂直 8.6.1　直线与直线垂直 返回目录 数学　必修 第二册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　两条直线所成的角 返回目录 数学　必修 第二册 0°<α≤90° 返回目录 数学　必修 第二册 0°≤α≤90° 返回目录 数学　必修 第二册 要点二　异面直线互相垂直 直角 a⊥b 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究一　异面直线所成的角 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究二　直线与直线的垂直 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　必修 第二册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.了解异面直线所成的角和异面直线互相垂直的概念.2.会求任意两条直线所成的角(重难点).3.发展逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养． 1．平面内两条直线所成的角 平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)． 2．异面直线所成的角 (1)定义：如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． (2)范围：异面直线所成的角α的取值范围是_____________. (3)求法：求异面直线所成的角，一般利用平移法求解．过某一点找或作平行线，将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角形求角的度数． 3．空间两条直线所成的角 当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°，所以空间两条直线所成的角α的取值范围是_______________. 1．定义：如果两条异面直线所成的角是________，那么我们就说这两条异面直线互相垂直． 2．表示：直线a与直线b垂直，记作__________. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，a′与b′所成的角的大小与点O的选择有关．(　　) (2)设异面直线a，b所成的角与异面直线c，b所成的角相等，则直线a，c平行．(　　) (3)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直．(　　) (4)如果两条直线垂直，则这两条直线相交或异面．(　　) 解析　(1)错误，由等角定理知，a′与b′所成的角的大小只由a，b的相互位置来确定，与点O的选择无关． (2)错误，结合长方体分析知，a，c可能平行，可能相交也可能异面． (3)正确，根据直线所成的角的定义与平行线的性质，可得两条平行线与同一条直线所成的角相等，因此两条平行线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直． (4)正确，两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直． 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 答题模板　 求两条异面直线所成的角的一般步骤 (1)作角：根据两条异面直线所成的角的定义，用平移法作出异面直线所成的角． (2)证明：证明作出的角就是要求的角，即证明所作角的两边分别与两条异面直线平行． (3)计算：求角的值，常在三角形中求解． 【例题1】 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，点D是A1C1的中点，求异面直线AD与BC1所成角的大小． 解析　如图，取AC的中点E，连接C1E，BE. 因为C1D綊AE，所以四边形AEC1D为平行四边形， 所以C1E∥AD， 所以∠BC1E(或其补角)为异面直线AD与BC1所成的角． 在Rt△ABC中，AC＝＝2，所以BE＝EC＝. 在Rt△C1CE中，EC1＝＝. 又BC1＝2，所以在△BC1E中，BC＝BE2＋EC， 所以∠BEC1＝90°. 所以sin∠BC1E＝＝＝， 所以∠BC1E＝30°，即异面直线AD与BC1所成的角为30°. 【变式1】 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC．若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________． 解析　连接A1B，由题意得B1C1∥BC，则∠A1CB(或其补角)就是异面直线A1C与B1C1所成的角．在△A1BC中，BC＝，A1B＝＝，A1C＝＝，即△A1BC为等边三角形，则∠A1CB＝60°，即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°. 答案　60° 规律总结 证明两条直线互相垂直，应先构造这两条直线所成的角，若能证明这个角是直角，便可得出这两条直线互相垂直． 【例题2】 如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，D为棱AC的中点，AB＝BB′＝2，求证：BD⊥AC′. 证明　如图，取CC′的中点E，连接BE，DE. 因为D为AC的中点，所以DE綊AC′，所以∠BDE(或其补角)就是异面直线BD与AC′所成的角． 因为在正三棱柱ABC－A′B′C′中，AB＝BB′＝2， 所以BD＝×2＝，AC′＝2，BE＝＝， DE＝，所以BD2＋DE2＝BE2，所以∠BDE＝90°，即BD⊥DE，所以BD⊥AC′. 【变式2】 如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面ABCD是菱形，且AB＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1的长度． 解析　连接CD1，AC，由题意得A1D1∥BC，A1D1＝BC， 所以四边形A1BCD1是平行四边形， 所以A1B∥CD1， 所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角， 因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°， 所以∠AD1C＝90°，所以△AD1C是等腰直角三角形． 所以AD1＝AC． 又底面ABCD是菱形，且AB＝2，∠ABC＝120°， 所以AC＝2×sin 60°×2＝6， 所以AD1＝AC＝3， 所以AA1＝ ＝＝. 1．垂直于同一条直线的两条直线一定(　　) A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 答案　D 解析　垂直于同一条直线的两条直线有如图所示的几种位置关系．故选D项． 2．下列三个说法： ①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交； ②若a∥b，则a，b与c所成的角相等； ③若a⊥b，b⊥c，则a∥c. 其中正确的个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 答案　C 解析　①错误，若直线a，b相交，b，c相交，则a，c异面、平行、相交都有可能；②正确，根据平行线的性质和直线所成的角的定义知②正确；③错误，若a⊥b，b⊥c，则a，c异面、平行、相交都有可能．故选C项． 3．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列直线中与A1B异面且所成的角为60° 的直线有(　　) A．AC B．AD1 C．B1C D．B1D 答案　ABC 解析　由题意，作出几何图形，如图所示． 连接A1C1，BC1，则三角形A1BC1为正三角形，所以A1C1，BC1与A1B所成的角均为60°，又易知A1C1∥AC，BC1∥AD1，且AC，AD1均与A1B异面，所以AC，AD1符合题意，同理可得B1C也符合题意，而B1D不符合题意．故选ABC项． 4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF. 证明　如图，连接A1C1，B1D1. 设A1C1和B1D1相交于点O，取DD1的中点G， 连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1. 所以∠GOA1(或其补角)为异面直线DB1与EF所成的角． 因为GA1＝GC1，O为A1C1的中点， 所以GO⊥A1C1. 所以异面直线DB1与EF所成的角为90°，所以DB1⊥EF. $$