7.3 复数的三角表示（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

复数 第七章 7.2　复数的四则运算 7.3　复数的三角表示* 返回目录 数学　必修 第二册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　复数的三角表示式 模 辐角 返回目录 数学　必修 第二册 0≤θ＜2π arg z 0≤arg z＜2π rcos θ rsin θ 返回目录 数学　必修 第二册 要点二　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 r1r2[cos(θ1＋θ2)＋i·sin(θ1 ＋θ2)] 返回目录 数学　必修 第二册 θ2 |θ2| r2 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 θ2 |θ2| 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究一　复数三角形式的有关概念 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究二　复数的代数形式与三角形式的互化 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究三　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　必修 第二册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示.2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.3.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.4.发展数学抽象和数学运算的核心素养． 1．定义 如图所示，一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式．其中，r是复数z的_____；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角， 叫做复数z＝a＋bi的_______.r(cos θ＋isin θ)叫做复 数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫 做复数的代数表示式，简称代数形式． 2．辐角的主值 规定在___________范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作_______，即____________. 3．复数的两种形式的互化 (1)在a＋bi＝r(cos θ＋isin θ)中，r＝_________，cos θ＝_____， sin θ＝_____. (2)在r(cos θ＋isin θ)＝a＋bi中，a＝_________，b＝________. 1．复数乘法运算的三角表示 如果z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，那么z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝______________________ _______. 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 2．复数乘法的几何意义 两个复数z1，z2相乘时，可以像图中那样，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角_____(θ2＞0，如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角____)，再把它的模变为原来的____倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2. 3．复数除法运算的三角表示 如果z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，z2≠0，那么＝＝_________________________.这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． [cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)] 4．复数除法的几何意义 如图，复数z1，z2对应的向量分别为，，把绕点O按顺时针方向旋转角_____(θ2＞0，如果θ2＜0，就要把按逆时 针方向旋转角_____)，再把它的模变为原来的_____，得到向量，表示的复数就是商. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)z＝r(cos θ＋isin θ)是复数z＝a＋bi的三角形式，其中θ的值有无数个．(　　) (2)arg 2 024＝0.(　　) (3)任何一个不等于零的复数的辐角的主值都是唯一的．(　　) (4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．(　　) 解析　(1)正确，终边相同的角的三角函数值相等． (2)正确，2 024＝2 024(cos 0＋isin 0)． (3)正确，任何一个不为零的复数的辐角的主值都是唯一的． (4)正确，若复数的模与辐角的主值相等，则实部和虚部分别相等． 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 解题技巧　 判断复数的三角形式与求解复数的辐角的主值，要严格按照复数的三角表示式进行，对于不是以复数的三角形式表示的式子，要根据复数三角形式的定义将其转化，再进一步判断． 【例题1】 复数z＝2(cos 30°－isin 30°)的辐角的主值是 (　　) A．30° B．150° C．210° D．330° 答案　D 解析　因为z＝2(cos 30°－isin 30°)＝2(cos 330°＋isin 330°)，所以其辐角的主值是330°.故选D项． 【变式1】 当0＜θ＜时，复数z＝tan θ＋i的辐角的主值是(　　) A．θ B．－θ C．π－θ D．－θ 答案　B 解析　z＝tan θ＋i＝＋i＝(sin θ＋i·cos θ)＝.故选B项． 规律总结　 (1)将复数的代数形式化为三角形式，其步骤是求出模r、确定复数对应的点所在的象限、求出辐角θ、写成三角形式r(cos θ＋isin θ)． (2)将复数的三角形式化为代数形式，先求复数的实部a＝rcos θ和虚部b＝rsin θ，再将复数写成代数形式a＋bi. 【例题2】 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式． (1)1＋i； (2)－＋i. 解析　(1)复数1＋i对应的向量如图所示，则r＝＝，cos θ＝. 因为复数1＋i对应的点在第一象限，所以arg (1＋i)＝，于是1＋i＝. (2)复数－＋i对应的向量如图所示， 则r＝＝1，cos θ＝－.因为复数－＋i对应的点在第二象限，所以arg＝，于是－＋i＝cos ＋isin . 【变式2】 复数z＝4的代数形式为(　　) A．z＝2＋2i B．z＝－2＋2i C．z＝2－2i D．z＝－2－2i 答案　D 解析　z＝4＝4×＋4×i＝－2－2i.故选D项． 误区防错　 对于两个复数相乘、除，一定要注意其表示形式，符合三角形式时才可以使用复数三角形式的乘、除法运算法则．对于运算结果，当不要求把结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示． 【例题3】 (1)计算：＝_______. (2)设z＝－i对应的向量为，将绕原点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转60°和30°，则所得的向量对应的复数(用代数形式表示)分别为________. (3)计算：5·2＝_______. 解析　(1)易知 ＝＝ ＝16＝16i. (2)绕原点O按逆时针方向旋转60°所得的向量对应的复数为(cos 60°＋i·sin 60°)＝·＝1；绕原点O按顺时针方向旋转30°所得的向量对应的复数为[cos(－30°)＋i·sin(－30°)]＝·＝－i. (3)5·2 ＝10 ＝10 ＝＋i. 答案　(1)16i　(2)1，－i　(3)＋i 【变式3】 (1)已知复数z1＝，z2＝· ，求z1z2. (2)已知复数z1＝3(cos 18°＋isin 18°)，z2＝4(cos 108°＋isin 108°)，z3＝(sin 66°＋icos 66°)，求z1z2z3. (3)求证：＝cos 75°－isin 75°. 解析　(1)z1z2＝×＝×＝cos ＋isin ＝－i. (2)z1z2z3＝3(cos 18°＋isin 18°)×4(cos 108°＋isin 108°)×(sin 66°＋icos 66°)＝3(cos 18°＋isin 18°)×4(cos 108°＋isin 108°)×(cos 24°＋isin 24°)＝3×4×[cos(18°＋108°＋24°)＋isin(18°＋108°＋24°)] ＝2(cos 150°＋i·sin 150°)＝－＋i. (3)证明： 左边＝ ＝＝右边． 所以原等式成立. 1.下列复数的表示形式是三角形式的是(　　) A．z＝(cos 60°－isin 60°) B．z＝(sin 60°＋icos 60°) C．z＝(cos 30°＋isin 60°) D．z＝(cos 30°＋isin 30°) 答案　D 解析　根据复数的三角形式的特点可以判定只有z＝(cos 30°＋isin 30°)表示的是复数的三角形式．故选D项． 2．(多选)复数z＝3＋i的三角形式可以是(　　) A．z＝2 B．z＝2 C．z＝2 D．z＝2 答案　BD 解析　z＝3＋i＝2＝2＝2.故选BD项． 3．复数4的代数形式是(　　) A．2＋2i B．2－2i C．－2－2i D．－2＋2i 答案　B 解析　4＝4×＋4×i＝2－2i.故选B项． 4.÷＝_______. 解析　÷＝×＝4＝－4i. 答案　－4i $$