7.2.2 复数的乘、除运算（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

复数 第七章 7.2　复数的四则运算 7.2.2　复数的乘、除运算 返回目录 数学　必修 第二册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　复数的乘法 (ac－bd)＋(ad＋bc)i z2z1 z1(z2z3) z1z2＋z1z3 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 要点二　复数的除法 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究一　复数的乘法 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究二　复数的除法 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究三　在复数范围内解方程 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　必修 第二册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.掌握复数代数表示式的乘法和除法的运算法则(重点).2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.发展数学抽象和数学运算的核心素养． 1．运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝____________________. 2．运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝_______ 结合律 (z1z2)z3＝_________ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝_____________ 思考：复数的乘法运算与多项式乘法运算类似吗？ 提示　类似，多项式乘法的运算律在复数乘法中也成立，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)． 1．运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)，则＝＝__________________. 2．复数的除法运算 复数除法运算的实质是分母“实数化”(分子、分母同乘分母的“实数化因式”，即分母的共轭复数)，将复数的除法运算转化为复数的乘法运算进行求解． ＋i 3．复数代数运算中的常用结论 (1)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i. (2)3＝1. (3)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．(　　) (2)两个共轭复数的和与积都是实数．(　　) (3)若ω＝(i为虚数单位)，则ω3＝1.(　　) (4)若z为纯虚数，则z2≥0.(　　) 解析　(1)正确，加减乘除的混合运算法则都是先乘除，后加减． (2)正确，若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，所以z＋＝2a，z＝a2＋b2,2a与a2＋b2都是实数． (3)错误，ω3＝3＝ ＝＝－i. (4)错误，i是纯虚数，i2＝－1<0. 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 解题技巧　 复数的乘法运算技巧 (1)复数乘法的运算法则：复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数．(2)复数乘法的运算律：复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律． (3)i的幂的周期性：如果n∈N，则有i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i. 【例题1】 计算下列各式的值． (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)(1＋3i)(4－i)； (3)(2＋i)(1－i)(3＋4i)． 解析　(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i2＋(－1＋i)＝2＋(－1＋i)＝1＋i. (2)(1＋3i)(4－i)＝4－i＋12i－3i2＝7＋11i. (3)(2＋i)(1－i)(3＋4i)＝(2－2i＋i－i2)(3＋4i)＝(3－i)·(3＋4i)＝9＋12i－3i－4i2＝13＋9i. 【变式1】 设ω＝－＋i，求证：(1)1＋ω＋ω2＝0；(2)ω3＝1. 证明　(1)因为ω2＝2 ＝－i－＝－－i， 所以1＋ω＋ω2＝1＋＋＝0. (2)ω3＝ω·ω2＝＝2－2＝＋＝1. 【例题2】 当z＝－(i为虚数单位)时，z100＋z50＋1＝(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i 答案　D 解析　因为z2＝2＝＝－i，所以z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝[(－i)2]25＋(－i)＋1＝－1－i＋1＝－i.故选D项． 【变式2】 计算1＋i＋i2＋i3＋…＋i100＝(　　) A．－i B．i C．0 D．1 答案　D 解析　因为ik＋ik＋1＋ik＋2＋ik＋3＝ik(1＋i＋i2＋i3)＝ik(1＋i－1－i)＝0(k∈Z)，所以1＋i＋i2＋…＋i100＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i97＋i98＋i99＋i100)＝1＋0＋0＋…＋0＝1.故选D项． 规律总结　 两个复数相除(除数不为0)，所得的商是一个确定的复数，在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成(c＋di≠0)的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c－di，化简后可得结果．这与无理根式的除法运算是类似的，在无理根式的除法运算中，分子、分母都乘以分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化”．在这里分子、分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数)，从而使分母“实数化”． 【例题3】 计算下列各式的值． (1)； (2)； (3). 解析　(1)＝＝ ＝－－i. (2)＝ ＝＝＝＝＋i. (3)＝＝ ＝＝－－i. 【变式3】 计算下列各式的值． (1)＋； (2). 解析　(1)因为＝＝＝－i，＝＝＝i－1，所以原式＝(i－1)＋(－i)＝i－1－i＝－1. (2)＝ ＝＝＝ ＝＝1－i. 规律总结　 (1)在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为： ①当Δ≥0时，x＝； ②当Δ＜0时，x＝. (2)在复数范围内，实系数一元二次方程总有两个根．当Δ≥0时，有两个实数根；当Δ＜0时，有两个虚数根，且它们互为共轭复数． 【例题4】 在复数范围内解方程． (1)x2＋4x＋5＝0； (2)2x2－3x＋4＝0. 解析　(1)因为Δ＝42－4×1×5＝－4＜0，所以方程 x2＋4x＋5＝0的根为x＝，即x＝－2±i. (2)因为Δ＝(－3)2－4×2×4＝－23＜0，所以方程2x2－3x＋4＝0的根为x＝，即x＝. 【变式4】 (1)已知1＋i是关于x的方程ax2＋bx＋2＝0(a，b∈R)的一个根，则a＋b＝(　　) A．－1 B．1 C．－3 D．3 (2)已知关于x的方程x2＋kx＋k2－2k＝0有一个模为1的虚根，则实数k的值为_______. 解析　(1)当a＝0时，解得b∉R，不符合题意，所以原方程为一元二次方程．因为实系数一元二次方程的虚根成对(互为共轭复数)，所以1±i为方程的两根，所以可得解得故a＋b＝－1.故选A项． (2)由题意得Δ＝k2－4(k2－2k)＝－3k2＋8k＜0，所以 k＜0或k＞，设两根为z1，z2，则z2＝1，|z2|＝|z1|＝1，所以z1·z2＝k2－2k＝1，解得k1＝1－，k2＝1＋(不合题意，舍去)．所以实数k的值为1－. 答案　(1)A　(2)1－ 1．(2024·北京)已知＝i－1，则z＝(　　) A．1－i B．－i C．－1－i D．1 答案　C 解析　由题意得z＝i(i－1)＝－1－i.故选C项． 2．(2022·全国甲)若z＝1＋i，则|iz＋3|＝(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 答案　D 解析　因为z＝1＋i，所以iz＋3＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i，所以|iz＋3|＝＝2.故选D项． 3．复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　因为＝＝＝，所以该复数对应的点为，即该点在第一象限．故选A项． 4．已知复数z＝1－2i. (1)若zz0＝2z＋z0，求复数z0的共轭复数； (2)若z是关于x的方程x2－mx＋5＝0的一个虚根，求实数m的值． 解析　(1)因为zz0＝2z＋z0，所以z0＝＝＝2＋i.所以复数z0的共轭复数为2－i. (2)方法一　因为z是关于x的方程x2－mx＋5＝0的一个虚根，所以(1－2i)2－m(1－2i)＋5＝0，即(2－m)＋(2m－4)i＝0.又因为m是实数，所以2－m＝0，且2m－4＝0，所以m的值为2. 方法二　因为实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数，所以1±2i为方程的两根，所以m＝(1＋2i)＋(1－2i)＝2. $$