7.1.2 复数的几何意义（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

复数 第七章 7.1　复数的概念 7.1.2　复数的几何意义 返回目录 数学　必修 第二册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　复数的几何意义 复平面 实轴 虚轴 Z(a，b) 返回目录 数学　必修 第二册 要点二　复数的模和共轭复数 绝对值 |a＋bi| 返回目录 数学　必修 第二册 相等 互为相反数 共轭虚数 a －bi 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究一　复平面与复数的几何意义 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究二　 复数的模 返回目录 数学　必修 第二册 19 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究三　复数的模的几何意义 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　必修 第二册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.了解复平面的概念，掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等相关概念(重点).2.理解复数的几何意义(重点).3.发展数学抽象和数学运算的核心素养． 1．复平面的定义 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做________，x轴叫做_______，y轴叫做_______.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的两种几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点________； (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量_____. 1．复数的模 (1)定义：复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z的模或________，记作|z|或_________，即|z|＝|a＋bi| ＝________. (2)几何意义：复数z的模就是复数z＝a＋bi(a，b∈R)所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离． 2．共轭复数 (1)一般地，当两个复数的实部_______，虚部____________时，这两个复数叫做互为共轭复数． (2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做__________. (3)复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝___ _____. 思考：互为共轭复数的两复数的模有何关系？在复平面内它们对应的点有何关系？ 提示　互为共轭复数的两复数的模相等，在复平面内它们对应的点关于实轴对称． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)在复平面内，原点是实轴和虚轴的交点．(　　) (2)复数的模一定是正实数．(　　) (3)在复平面内，实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．(　　) (4)若两个复数互为共轭复数，则它们的模相等．(　　) 解析　(1)正确，根据复平面的相关概念可知正确． (2)错误，复数的模可能是0. (3)错误，虚轴上的原点不表示纯虚数． (4)正确，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，因此|z|＝||＝. 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 规律总结　 根据复数的定义，任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定，而每一个有序实数对(a，b)在平面直角坐标系中又唯一确定一个点Z(a，b)(或一个向量)，这就是说，每一个复数对应着平面直角坐标系中唯一的一个点(或一个向量)；反过来，平面直角坐标系中每一个点(或每一个向量)也对应着唯一的一个有序实数对．这样我们通过有序实数对，可以 建立复数 z＝a＋bi(a，b∈R)和点Z(a，b)(或向量)之间的一一对应关系．点Z和向量是复数z的几何表示，如图所示． 【例题1】 (1)当k为何实数时，复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点位于下列位置？ ①x轴正半轴上； ②y轴负半轴上； ③第四象限的平分线上． (2)在复平面内画出下列复数对应的向量． 1，－＋i，－－i. 解析　(1)因为k为实数，所以k2－3k－4，k2－5k－6都是实数，所以复数z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i对应的点的坐标为(k2－3k－4，k2－5k－6)． ①由题意得解得所以k＝6.所以当k＝6时，复数z对应的点位于x轴正半轴上． ②由题意得解得所以k＝4.所以当k＝4时，复数z对应的点位于y轴负半轴上． ③由题意得 解得所以k＝5. 所以当k＝5时，复数z对应的点位于第四象限的平分线上． (2)如图，在复平面内画出各复数对应的向量． 显然复数1，－＋i，－－i对应的向量分别为，，. 【变式1】 (1)在复平面内，向量对应的复数为2－i，将向量向右平移1个单位长度后，再向上平移2个单位长度，得到向量，则向量对应的复数是_______． (2)当实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点位于下列位置？ ①第二象限； ②直线y＝x上． 解析　(1)向量平移时向量的坐标表示不变，则向量对应的复数也不变，所以向量对应的复数是2－i. 答案　2－i (2)根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点就是点Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)． ①由点Z位于第二象限，得解得－2＜a＜1. 故满足条件的实数a的取值范围为(－2,1)． ②由点Z位于直线y＝x上，得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故满足条件的实数a的值为1. 规律总结　 计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部，然后再利用模的公式进行计算．两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． 【例题2】 求复数z1＝6＋8i及z2＝－－i的模，并比较它们模的大小． 解析　因为z1＝6＋8i，z2＝－－i， 所以|z1|＝＝10， |z2|＝＝， 所以|z1|＞|z2|. 【变式2】 若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i(m∈R)为纯虚数，求z的模． 解析　因为z＝(m－2)＋(m＋1)i(m∈R)为纯虚数， 所以解得m＝2，所以z＝3i，所以|z|＝3. 规律总结　 解决复数的模的几何意义的问题应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决． 【例题3】 已知复数z满足条件|z|2－|z|－6＝0，且复数z在复平面内对应的点为Z，则点Z的集合是什么图形？ 解析　因为|z|2－|z|－6＝0， 所以(|z|－3)(|z|＋2)＝0. 因为|z|＋2≠0，所以|z|＝3， 所以复数z在复平面内对应的点Z的集合表示的图形是以原点为圆心，3为半径的圆． 【变式3】 如果复数z的模不大于1，而z的虚部的绝对值不小于，那么复数z在复平面内对应的点的集合表示的平面图形是什么？ 解析　因为|z|≤1，所以z在复平面内对应的点组成的图形是一个以原点为圆心，以1为半径的圆面(包括边界)．因为z的虚部的绝对值不小于，所以复数z在复平面内对应的点的集合表示的图形如图中阴影部分(包括边界)所示． 1．复数z＝1＋2i，则复数＝(　　) A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 答案　B 解析　由共轭复数的定义知＝1－2i.故选B项． 2．实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　实部为－2，虚部为1的复数所对应的点的坐标为 (－2,1)，位于复平面的第二象限．故选B项． 3．已知i为虚数单位，与x轴同方向的单位向量e1和与y轴同方向的单位向量e2对应的复数分别是(　　) A．1，i B．i，－i C．1，－i D．1或－1，i或－i 答案　A 解析　由题意知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，故对应的复数分别为1，i.故选A项． 4．已知复数z满足z＝(i为虚数单位)，则|z|＝(　　) A． B． C．3 D．4 答案　A 解析　因为复数z＝＝－＋i，所以|z|＝＝.故选A项． $$