7.1.1 数系的扩充和复数的概念（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

复数 第七章 7.1　复数的概念 7.1.1　数系的扩充和复数的概念 返回目录 数学　必修 第二册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　复数的有关概念 R 虚数单位 实部 虚部 z z＝a＋bi 全体复数 C 返回目录 数学　必修 第二册 要点二　复数的分类 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 要点三　复数相等的充要条件 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究一　复数的概念 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究二　复数的分类 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究三　复数相等的充要条件 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　必修 第二册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.2.通过方程的解，认识复数并了解复数的相关概念.3.理解复数的代数表示和两个复数相等的含义(重点).4.发展数学抽象和数学运算的核心素养． 1．复数 (1)定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈_____，i叫做__________，a叫做复数的_______，b叫做复数的_______. (2)表示方法：复数通常用字母____表示，即___________(a，b∈R)． 2．复数集 (1)定义：_________所构成的集合{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集． (2)表示：通常用大写字母_____表示，即C＝{a＋bi|a，b∈R}． 1．复数的分类 复数a＋bi(a，b∈R) 2．集合表示 思考：(1)数系的扩充脉络是什么？ (2)0是复数吗？ 提示　(1)自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集． (2)0既是实数也是复数，可写成a＋bi(a，b∈R)的形式为0＋0i，即0的实部和虚部都是0. 设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔______________. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　) (3)方程x2＋x＋1＝0没有解．(　　) (4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都为0，那么这两个复数相等．(　　) 解析　(1)错误，复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为b． (2)错误，虚数不可以比较大小． (3)错误，方程x2＋x＋1＝0无实数解，但有虚数解． (4)正确，实部和虚部的差都为0表示这两个复数的实部和虚部相等，所以这两个复数相等． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 误区防错　 在复数z＝a＋bi(a，b∈R)中应注意的两点： (1)a，b∈R，这是确定z的实部、虚部的前提，并可进一步判定z是实数、虚数还是纯虚数． (2)设复数z时，要注明a，b的范围，如果z是纯虚数，可设z＝bi(b∈R且b≠0)；如果z是虚数，可设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)．形如bi的数不一定是纯虚数，只有b∈R且b≠0时，bi才是纯虚数． 【例题1】 下列命题中，真命题的个数是(　　) ①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1； ②若a，b∈R且a＞b，则a＋i>b＋i； ③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0. A．0 B．1 C．2 D．3 答案　A 解析　①因为x，y∈C，当x＝i，y＝－i时，x＋yi＝1＋i，所以①是假命题；②因为两个虚数不能比较大小，所以②是假命题；③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题．故真命题的个数是0.故选A项． 答案　ABC 【变式1】 (多选)下列命题中正确的是(　　) A．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等 B．两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等 C．1－ai(a∈R)是一个复数 D．i2(i是虚数单位)是虚数 解析　对于A项，两个复数相等可以推出它们的实部相等，故A项正确；对于B项，两个复数的虚部不相等可以推出这两个复数不相等，故B项正确；对于C项，1－ai(a∈R)可能是实数，也可能是虚数，实数和虚数都属于复数，故C项正确；对于D项，i2＝－1是实数，故D项错误．故选ABC项． 解题技巧　 求解复数的分类问题的关键 (1)要判定一个复数是什么类型的数，首先要分清复数的实部和虚部及它们对复数的分类的影响，然后结合定义求解． (2)依据复数的类型求参数时要先确定参数的取值使代数式有意义，再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0. 【例题2】 当实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋5m＋6)i是下列数？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数． 解析　由已知得复数z的实部为，虚部为m2＋5m＋6. (2)复数z是虚数的充要条件是解得m≠－3且m≠－2，所以当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数． (3)复数z是纯虚数的充要条件是解得m＝3，所以当m＝3时，复数z是纯虚数． 【变式2】 设复数z＝m2－2m－3＋(m2＋3m＋2)i，试求实数m取何值时，z是下列数？ (1)实数； (2)纯虚数． 解析　(1)由m2＋3m＋2＝0，解得m＝－1或－2，所以当m＝－1或－2时，z是实数． (2)由解得m＝3，所以当m＝3时，z是纯虚数． 解题技巧　 已知两个复数相等，可根据复数相等的充要条件将其转化为方程(组)来求解，体现了化归与转化的思想．当两个复数相等时，应先分清两个复数的实部与虚部，然后让实部与实部相等、虚部与虚部相等． 【例题3】 已知(x－3y－2)＋(5x＋3y＋4)i＝－4＋12i，求实数x，y的值. 解析　依题意得解得所以实数x，y的值分别为1和1. 【变式3】 (1)已知a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0(m∈R)成立，求实数a的值． (2)已知(m2－1)＋(m2－2m)i＞1，求实数m的值． 解析　(1)因为a，m∈R，所以由a2＋am＋2＋(2a＋m)i＝0，可得消去m，得a＝±，所以实数a的值为或－. (2)由题意得解得m＝2，所以实数m的值为2. 1．复数z＝2 024－2 024i的虚部是(　　) A．－2 024 B．2 024 C．2 024i D．－2 024i 答案　A 解析　由z＝2 024－2 024i，得复数z的虚部是－2 024.故选A项． 2．在2＋，i,0,8＋5i，(1－)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　在2＋，i,0,8＋5i，(1－)i，0.618这几个数中，纯虚数是i，(1－)i，共2个．故选C项. 3．若复数z＝m－1＋(m＋1)i(i为虚数单位)是实数，则实数m的值为(　　) A．0 B．－1 C．－2 D．－3 答案　B 解析　因为z是实数，所以m＋1＝0，所以m＝－1.故选B项． 4．已知(3x＋y)＋(2x－y)i＝(7x－5y)＋3i，则实数x＝___，y＝_______. 解析　由(3x＋y)＋(2x－y)i＝(7x－5y)＋3i可以得到解得 答案　　 $$