2025年数学中考专题复习课件：4.19 等腰三角形与直角三角形

2025年数学中考复习 4.19 等腰三角形与直角三角形 基础知识 项目四 三角形 考点要求 壹 1.等腰三角形 (1)理解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合. (2)探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形. 对标要求 (3)探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°. (4)探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形. 对标要求 2.直角三角形 (1)理解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形. (2)探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题. 对标要求 核心知识点 贰 性质 (1)等腰三角形的两腰相等; (2)等腰三角形的两个底角 (简写成“对边对等角”); (3)等腰三角形的 、 、 相互重合(简写成“三线合一”); (4)等腰三角形是轴对称图形,对称轴是 所在的直线. 知识点1 等腰三角形 相等 顶角平分线 底边上的高 底边上的中线 底边上的高 (或顶角平分线,或底边上的中线) 对标要求 判定 (1)有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义); (2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”). 面积 对标要求 知识点2 等边三角形 性质 (1)等边三角形的三边都相等; (2)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于 ; (3)等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴,对称轴为三边的垂直平分线. 60° 对标要求 判定 (1)三条边都相等的三角形是等边三角形(定义); (2)三个角都相等的三角形是等边三角形; (3)有一个角是 的等腰三角形是等边三角形. 面积 60° 对标要求 知识点3 直角三角形 性质 (1)直角三角形的两个锐角 ; (2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ; (3)在直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的 ; (4)勾股定理:如果直角三角形的两条直角边分别为,那么 . 互余 一半 一半 对标要求 判定 (1)有一个角为90°的三角形是直角三角形(定义); (2)有两个角 的三角形是直角三角形; (3)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长满足 ,那么这个三角形是直角三角形. 面积 互余 对标要求 考点攻坚 叁 考点1 等腰三角形 (2023•深圳)若等腰三角形有一个内角为110°.则这个等腰三角形的底角是（ ） 例1 【解析】等腰三角形的顶角为110°时，则它的底角,故选C. A.70° B.45° C.35° D.50° 对标要求 例2(2023·十堰)如图所示，是等边△的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于,连接.求证：. 对标要求 【解析】证明：∵是等边△的中线，∴.∴. ∵,∴.∵,∴.∴. 对标要求 (2023·贵州)5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为120°,腰长为12m,则底边上的高是( ) 例3 考点2 直角三角形 A.4m B. 6m C. 10m D.12m 对标要求 【解析】如图所示，作于点. 在△中，，,∴，又∵，∴m.故选B. 对标要求 例4(2024·百色)如图,在中,,,点为斜边上的中点,则为( ) A.10 B.3 C.5 D.4 【解析】解:;故选C. 对标要求 专项训练 肆 达标训练 1.(2024·山东)的周长是14,,,则的长为(B ) A.1 B.2 C.3 D.4 对标要求 2.(2023·株洲)如图所示，在中,,,点是的中点， . 5 对标要求 3.(2023·湘潭)如图所示，在中，,,,为上一点，若是的角平分线，则5 . 对标要求 4.(2023·乐山)如图所示，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm,底面周长为16cm,在杯内壁离杯底4cm的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm,且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 cm(杯壁厚度不计). 10 对标要求 5.(2023·襄阳)如图所示，,直线与,分别交于点,,上有一点且,,求的度数. 对标要求 答案 5.解： 对标要求 提升训练 6.(2023·达州)将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于两点，则的长是(B ) A.2- B.2-2 C.2 D.2 对标要求 7.(2023·成都)《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数的计算公式：()，，()，其中,,是互质的奇数.下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是( ) C A.3,4,5 B.5,12,13 C.6,8,10 D.7,24,25 对标要求 8.(2023·大理)如图,在中,,点,,分别在,,边上,且,. (1)求证:是等腰三角形; (2)当时,求的度数. 对标要求 答案 对标要求 答案 对标要求 课堂练习 伍 1.(2023·九江)如图，△中，,,则的度数为(C ) A.70° B.100° C.110° D.140° 对标要求 2.(2022·镇江)如图所示,在中,,上的点,交,,那么四边形的周长是( ) A.5 B.10 C.15 D.20 B 对标要求 3.(2022·荆州)如图1所示，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损.如图2所示，已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来的高度为( ) B A.120 m B.60m C.60 m D.120 m 对标要求 4.(2024·山西)如图,在一个高为3米,长为5米的楼梯表面铺地毯,则地毯长度为(C)米. A.4米 B.5米 C.7米 D.8米 对标要求 5. 已知等边三角形一边上的高为2,则它的边长为( ) A.2 B.3 C.4 D.4 6.(2023·莱州)的三边长满足,则是( D ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 C 对标要求 7.(2023·崇左)一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知,点的中点,点对应的刻度为,7,则(B) A.3.5cm B.3cm C.4.5cm D.6cm 对标要求 8.如图所示，等边三角形纸片的边长为6,,是边上的三等分点.分别过点,沿着平行于,方向各剪一刀，则剪下的△的周长是 . 6 对标要求 9.(2022·太原)我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”,极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,则 . 3 对标要求 10.《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题:“今有池一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭长各几何?”题意是:有一个池塘,其地面是边长为10尺的正方形,一棵芦苇生长在它的中央,高出水面部分为1尺,如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的处(如图),水深和芦苇长各多少尺? 经过对上述信息的分析,可知水深是 尺. 12 对标要求 11.如图所示,在△中,∠的平分线交,过点交于点. (1)求证:; (2)若,,求的度数. 对标要求 答案 对标要求 12.(2023·南昌)如图,是等边上的高,以点为圆心,长为半径作弧交的延长线于点,则(C ) A.20° B.25° C.30° D.35 对标要求 13.如图所示,在中,,上任意一点,于点,于点,若,则 . 1 对标要求 14.(2024·浙江)生活中,可以用身体上的尺子:肘、拃、步长等来估计距离.某校教室新安装了一批屏幕为矩形的多媒体设备,某同学想知道屏幕有多大,他用手掌测量得多媒体屏幕的长是12拃,宽是5拃,请你帮他计算出多媒体屏幕的对角线长度大约是(1拃≈20cm)(C ) A.100cm B.240cm C.260cm D.340cm 对标要求 15.(2024·张家界)如图,四边形中,,,,连接,∠的角平分线交,分别于点E若,,则的长为(D) A.2 B.2 C. D. 对标要求 16.如图所示，在中，,,.若,是边上的两个动点，以为边的等边的顶点在内部或边上，则等边的周长的最大值为 . 6 对标要求 谢谢观看 $$