精品解析：湖北省武汉中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

武汉中学2024-2025学年高二下学期3月考月考 数学试卷 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 有三对双胞胎共6人，从中随机选出2人，且不能是同一对双胞胎的选法种数为 （ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 30 2. 已知是等差数列，是等比数列，且.设，数列的前项的和为，则（ ） A. 242 B. 243 C. 244 D. 245 3. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数（均为非零常数）既有极大值也有极小值，则 （ ） A. B. C. D. 5. 由3名医生和6名护士组成的一支医疗小队下乡送医扶助新农村建设，他们要全部分配到三个农村医疗点，每个医疗点分到1名医生和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，则不同的分配方法有（ ）种 A. 540 B. 684 C. 756 D. 792 6. 在数列中，，，，前项和为，则下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（ ） A. 66种 B. 93种 C. 195种 D. 273种 8. 已知是递增的等比数列，若，则当取得最小值时，（ ） A. B. 1 C. 4 D 16 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知且，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 函数 ，则下列说法正确的是 （ ） A. 当 时， 的极小值为 B. 为奇函数 C. 当 时， 一定有三个零点 D. 若直线 与 有三个交点 ，则 11. 已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，，则（ ） A. 关于直线对称 B. C. 的周期为4 D. 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 函数在处切线的方向向量与向量共线，则 _____. 13. 已知函数，当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 14. 为激励高三学子的学习热情，数学老师开发了一款小游戏程序，同学们表现优秀时可参与一次.游戏规则如下： 第一步，在图①所示的棋盘内，学生点击摇奖，程序会随机放上7枚黑棋； 第二步，学生自行选择空格放上枚白棋； 最终，每当有枚棋子在同一行、列或对角线上时，称连成一条线.若未连成线，则获 安慰奖；连成一、二、三条线，分别获三、二、一等奖，图②就是一种获一等奖的情况. 现在小明和小红都可参与一次游戏.小明点击摇奖后，出现了图③的情况，若他随机地放 上白棋，则他获二等奖方法数有______种；已知小红放上白棋时总能保证奖励最大化，则在“点击摇奖后，枚黑棋中恰有枚在第一列”的条件下，她获一等奖的方法有______种. 四、解答题：本题共 5 个小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的前项和为. （1）若成等差数列，求值. （2）若存在，使得成等差数列，证明：对于任意的，成等差数列. 16. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）证明：当时，函数极小值小于0. 17. 已知数列为等差数列，且满足． （1）若，求数列的前项和； （2）若数列满足，且数列的前项和，求数列的通项公式． 18. 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）． ①求实数的值； ②求证：． 19. 已知函数，过点作曲线的切线，交轴于点，若，则过点作曲线的切线，交轴于点，以此类推，得到数列. （1）当正整数，试求出与的关系式； （2）当正整数. ①证明：； ②是否存在正整数()，使得依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，试说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉中学2024-2025学年高二下学期3月考月考 数学试卷 本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 有三对双胞胎共6人，从中随机选出2人，且不能是同一对双胞胎的选法种数为 （ ） A. 10 B. 12 C. 13 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据分步乘法原理，可得答案. 【详解】先从三对双胞胎中选出两对，有种选择， 然后从选出的两对双胞胎中每对中选出一个人，共有种选择. 根据乘法原理，总共有种选法. 故选：B. 2. 已知是等差数列，是等比数列，且.设，数列的前项的和为，则（ ） A. 242 B. 243 C. 244 D. 245 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列与等比数列的相关概念，结合题意，写出通项公式，可得答案. 【详解】由题意可得等比数列的公比，通项公式， 则，， 所以等差数列的公差，通项公式， 则，所以. 故选：C. 3. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导得，代入运算即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，所以. 故选：A. 4. 若函数（均为非零常数）既有极大值也有极小值，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出在内有两个不相等的实数根，列出不等式组即可判断． 【详解】由题意，， 所以在内有两个不相等的实数根， 不妨设这两根分别为，则， 所以，，则， 故选：A． 5. 由3名医生和6名护士组成的一支医疗小队下乡送医扶助新农村建设，他们要全部分配到三个农村医疗点，每个医疗点分到1名医生和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，则不同的分配方法有（ ）种 A. 540 B. 684 C. 756 D. 792 【答案】B 【解析】 【分析】首先分步：先安排医生，再安排护士，其次特殊元素护士甲和护士乙捆绑，即护士名可分为和两类，应用分类和分步计数原理可得总的分配方法. 【详解】先安排医生，再安排护士. 安排医生，方法数有种； 再安排护士，护士名，由于护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，故可分为和两类： 如果是，一共有种， 如果是，又分为若甲乙在人小组中，则有种； 若甲乙在人小组中，则有种， 最后将分好的三组医生、三组护士全排列安排到三个医疗点， 所以一共有种分配方法. 故选：B. 6. 在数列中，，，，前项和为，则下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用递推关系式构造出等差数列，可求出数列通项公式，再利用错位相减法求和，根据所求可对各选项做出判断. 【详解】由题意，，等式两边同时除以，可得. 设，则，又因为， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列. 则，故A 正确； 所以，， 则， 两式相减可得 ， 所以.故B正确； 对于C，.故C正确； 对于D，，， 则.故D错误. 故选：D. 7. 高考入场安检时，某学校在校门口并排设立三个检测点，进入考场的学生只需要在任意一个检测点安检即可进入．现有三男三女六位学生需要安检，则每个检测点通过的男生和女生人数相等的可能情况有（ ） A. 66种 B. 93种 C. 195种 D. 273种 【答案】B 【解析】 【分析】分①每个检测点均为一男一女通过、②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女、③六人均在同一个检测点通过三种情况进行讨论求解即可. 【详解】①每个检测点均为一男一女通过，共有种不同结果； ②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女，共有种不同的结果； ③六人均在同一个检测点通过，共有种不同的结果. 则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的情况有种. 故选：B. 8. 已知是递增的等比数列，若，则当取得最小值时，（ ） A. B. 1 C. 4 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得，有，，及，则取得最小值等价于函数取得最小值，利用导数法得时，取得最小值，即可求解. 【详解】设的公比为q，由得，，故， 又因为是递增的数列，所以， 因为，所以取得最小值等价于函数取得最小值， 求导得， 令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，此时. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知且，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数求导，明确导函数的单调性，并构造函数，求导研究其单调性，可得原函数的最值，根据最值的取值范围，可得答案. 【详解】由，求导可得，易知函数在单调递增， 令，求导可得在上恒成立， 则在上单调递增，所以， 易知，使得，则，即， 当时，，则函数在上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增， 所以，由，则， 当，即时，，故A错误，B可能正确； 当，即时，令，求导可得， 则函数在上单调递减. 由，,则存在，使得， 所以当时，此时符号不定，故CD可能正确. 故选：BCD. 10. 函数 ，则下列说法正确的是 （ ） A. 当 时， 的极小值为 B. 为奇函数 C. 当 时， 一定有三个零点 D. 若直线 与 有三个交点 ，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数确定极值判断A；利用奇函数的定义判断B；由极大值、极小值的正负判断C；利用中心对称的性质判断D. 【详解】对于A，当时，，求导得， 当时，，当时，，为极大值，A错误； 对于B，令，则， 函数是奇函数，B正确； 对于C，，当时，令的二根， ，当或时，；当时，， 函数在上递增，在上递减，， 由三次函数的图象特征知，函数的图象与轴有3个交点，C正确； 对于D，由选项B知，函数的图象关于点对称，而直线关于点对称， 因此函数的图象与直线的3个交点关于点对称， 其交点的横坐标满足，D正确. 故选：BCD 11. 已知定义在R上的函数的导函数分别为，且，，则（ ） A. 关于直线对称 B. C. 的周期为4 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意，根据函数的对称性，合理赋值即可判断A；利用导数求导可得、，通过合理赋值即可判断BCD. 【详解】由，得①， ②，得③， 由①②③，得，所以函数图象关于直线对称，故A正确； 由，得，令，得； 由，得， 令，得， ∴④， 又⑤，令，得，故B错误； ④⑤两式相加，得，得， 所以，即函数的周期为4，故C正确； 由，令，得，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的对称性和周期性，结合导数的运算，寻找关系式、和是解题的关键，原函数与导函数的联系，对称性与周期性的联系，都是解题的思路. 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 函数在处切线的方向向量与向量共线，则 _____. 【答案】1 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义及方向向量的意义求出. 【详解】函数，求导得，则函数的图象在处切线斜率， 由切线的方向向量与向量共线，得切线斜率为2， 因此，所以. 故答案为：1 13. 已知函数，当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数，分别讨论的范围，求出函数的单调区间，进而求得满足条件的范围． 【详解】由题意，， 当时，在恒成立， 所以在恒成立，不合题意； 当时，令， 则，且， ①当时，即，， 所以在上单调递减， 所以，即， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立，符合题意； ②当，即，， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 又，所以当时，， 所以在上单调递增，则在上恒成立， 所以不符合题意， 综上所述，． 故答案为： 14. 为激励高三学子的学习热情，数学老师开发了一款小游戏程序，同学们表现优秀时可参与一次.游戏规则如下： 第一步，在图①所示的棋盘内，学生点击摇奖，程序会随机放上7枚黑棋； 第二步，学生自行选择空格放上枚白棋； 最终，每当有枚棋子在同一行、列或对角线上时，称为连成一条线.若未连成线，则获 安慰奖；连成一、二、三条线，分别获三、二、一等奖，图②就是一种获一等奖的情况. 现在小明和小红都可参与一次游戏.小明点击摇奖后，出现了图③的情况，若他随机地放 上白棋，则他获二等奖的方法数有______种；已知小红放上白棋时总能保证奖励最大化，则在“点击摇奖后，枚黑棋中恰有枚在第一列”的条件下，她获一等奖的方法有______种. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】对于第空，根据条件，结合图形，即可求解；对于第间，根据条件，结合图形，分类讨论，再排除重复情况，即可求解. 【详解】对于小明，在图③的情况下，再放枚白棋形成二条线的不同情况有种， 对于小红，枚棋子形成三条线形状（下称为“三线”）必然由一行、一列和一对角线构成， 由于第一列已经确定，所以当第一或四行连上时，对角线还有种情况； 当第二行或三行连上时，对角线还有种情况，因此“三线”共有种, 由于小红总能保证奖励最大化，所以只需随机出来的形状恰好是“三线”去掉枚棋子（下称为“准三线”）即可. 因此，从第一列之外的枚棋子中去掉枚形成的“准三线”共种, 但是，有一些“准三线”可以由多个“三线”得到. 其一，第一列和某一对角线形成的“准三线”，可以由个不同的“三线”得到（如下图）， 重复计算的“准三线”，可以以由个不同的“三线”得到（如下图），重复计算的“准三线”有次； 其二，第一列和第二行或三行形成的“准三线”，可以由个不同的“三线”得到（如下图）， 重复计算的“准三线”有次.因此，“准三线”实际上只有种, 故答案为：，. 四、解答题：本题共 5 个小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等比数列的前项和为. （1）若成等差数列，求的值. （2）若存在，使得成等差数列，证明：对于任意的，成等差数列. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用等比数列的前项和公式得到，即可求解； （2）根据条件，利用等比数列的前项和公式得到，再利用等差中项法，即可求解. 【小问1详解】 设等比数列的首项为，公比为，又成等差数列， 若，则，不满足题意，所以， 则由，得到，化间得到， 解得或（舍）， 所以. 【小问2详解】 由题知，若，则，显然不成立， 则，所以， 整理得到，解得或（舍）， 又，， 所以，故对于任意的，成等差数列. 16. 已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）证明：当时，函数的极小值小于0. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由函数解析式，求得导数，从而求得切点与切线斜率，根据点斜式，可得答案； （2）明确定义域，求导，从而可得函数的单调性，求得极小值，结合题干参数的取值范围，可得答案. 【小问1详解】 当时，，，求导可得，所以， 所以函数在处的切线为，即. 【小问2详解】 证明：的定义域为，且， 当时，令，则，所以在上单调递增； 令，则，所以在上单调递减. 故当时，取极小值， 当时，极小值. 17. 已知数列为等差数列，且满足． （1）若，求数列的前项和； （2）若数列满足，且数列的前项和，求数列的通项公式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知等式应用等差数列的基本量运算得出，再应用裂项相消法计算求和； （2）先应用，再结合解得，得出，最后计算得出. 【小问1详解】 当时，由， 则，由，则， 所以等差数列的公差为，所以， 故 故数列的前项和． 【小问2详解】 当时，，可得， 当时， ， 将代入上式，则， 综上所述，． ，可得， 又因为，则， 由方程，可得，解得， 由，则等差数列的公差为3，所以， 由，则． 18. 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，若曲线上的动点到直线距离的最小值为（为自然对数的底数）． ①求实数的值； ②求证：． 【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）① ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，结合a的取值范围分析可得函数的单调区间； （2）①利用导数的几何意义，结合动点到直线的最小值列等式即可求出a的值；②分和两种情况讨论，利用导数研究函数的单调性及最值，则不等式可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为， 因为，令，得：，令，得：， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 ①由（1）知：．由， 又，所以切点， 由（1）可知，切点在直线的上方， 所以，整理得， 设，则， （也可构造） 设，则在上恒成立． 所以在单调递增． 又，又，方程只有1解：． ②依题意：要证， 当时，，令， 在上单调递增 ，所以不等式成立； 当时，要证，即． 设，则． 设．则． 当时，，所以． 所以在上单调递减． 所以，即． 所以在上单调递减，， 即当时，成立． 综上：当时，在上恒成立． 19. 已知函数，过点作曲线的切线，交轴于点，若，则过点作曲线的切线，交轴于点，以此类推，得到数列. （1）当正整数，试求出与的关系式； （2）当正整数. ①证明：； ②是否存在正整数()，使得依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，试说明理由. 【答案】（1）（） （2）①证明见解析 ②存在， 【解析】 分析】（1）设切点，求切线，令求出即可； （2）①构造函数，求证其最大值小于等于； ②利用和得到关于的方程，再构造函数，求出，得出，即可求出值. 【小问1详解】 由，得， 当时，曲线在处的切线方程为， 令，则， 所以()； 【小问2详解】 由（1）得，所以当时，， 令，则， 令，则，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， ①因为，所以，即当时，. ②假设存在正整数，使得依次成等差数列， 则公差，由①得. 又由得， 而，所以，即. 令，则，显然， 则在上单调递增，且，， 所以函数在上必有唯一零点. 又，故仅存在成等差数列. 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $