(精讲册)第3章 第六节 二次函数的实际应用（课件PPT）-【练客中考】2025年安徽中考数学提优方案

数学 精讲册 2025安徽 第六节 二次函数的实际应用 1 核心知识　精讲练 2 安徽真题　随堂测 目录 CONTENTS (2022安徽23题14分) 如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为 2米.以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米.E(0，8)是抛物线的顶点. 核心知识　精讲练 类型 1 例 1 抛物线型问题 返回目录 (1)求此抛物线对应的函数表达式； 解：由题意可得A(－6，2)，D(6，2).又∵E(0，8)是抛物线的顶点， ∴设此抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8(a≠0)， 将A(－6，2)代入，得(－6)2a＋8＝2，解得a＝－， ∴此抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋8. 【思路点拨】 分析A点坐标，利用待定系数法求函数表达式 返回目录 (2)在隧道截面内(含边界)修建“ ”型或“ ”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等.栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和，请解决以下问题： (i)修建一个“ ”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上.设点P1的横坐标为m(0＜m≤6)，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值； 【思路点拨】 结合矩形的性质分析得出P2的坐标为(m，－m2＋8)，再列出函数关系式，利用二次函数的性质求最值 返回目录 解：∵点P1的横坐标为m(0＜m≤6)，且四边形P1P2P3P4为矩形， 点P2，P3在抛物线AED上，∴点P2的坐标为(m，－m2＋8)， ∴P1P2＝P3P4＝MN＝－m2＋8，P2P3＝2m， ∴l＝3(－m2＋8)＋2m＝－(m－2)2＋26. ∵－＜0， ∴当m＝2时，l有最大值，最大值为26. 返回目录 (ii)现修建一个总长为18米的栅栏，有如图3所示的“ ”型和“ ”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围(点P1在点P4右侧). 【思路点拨】 设P2P1＝n，先表示出P2P3，再分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质求最值，要特别注意的是要结合实际情况确定自变量的取值范围 返回目录 ∴当n＝3时，矩形P1P2P3P4的面积取最大值，最大值为27.此时P2P1＝3，P2P3＝9. 令－x2＋8＝3，解得x＝±. ∴此时点P1的横坐标的取值范围为－＋9≤p≤. 解：设点P1的横坐标为p， 方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n， ∴矩形P1P2P3P4的面积为(18－3n)n＝－3n2＋18n＝－3(n－3)2＋27.∵－3＜0， 返回目录 方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝＝9－n， ∴矩形P1P2P3P4的面积为(9－n)n＝－n2＋9n＝－(n－)2＋. ∵－1＜0， ∴当n＝时，矩形P1P2P3P4的面积取最大值，最大值为，此时P2P1＝，P2P3＝. 令－x2＋8＝，解得x＝±， ∴此时点P1的横坐标的取值范围为－＋≤p≤. 返回目录 (2024烟台)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”.康宁公司新研发了一批便携式轮椅，计划在该月销售.根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元.设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元. 例 2 知识点 2 最大利润问题 返回目录 (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 解：y＝(200－x)(60＋4×) ＝－0.4x2＋20x＋12000 ＝－0.4(x－25)2＋12250. ∵200－x≥180， ∴x≤20， ∴当x＝20时，利润最大，最大利润为－0.4(20－25)2＋12250＝12240(元). 答：y与x的函数关系式为y＝－0.4x2＋20x＋12000；每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元. 【思路点拨】 ①根据单价每降低10元，每天可多售出4辆.可得单价每降低1元，每天可多售出0.4辆 ②销售利润＝每辆轮椅的销售利润×(原销售量＋增加的销售量) 返回目录 (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 解：12160＝－0.4(x－25)2＋12250， 0.4(x－25)2＝12250－12160， 0.4(x－25)2＝90， (x－25)2＝225， 解得x1＝40(不合题意，舍去)，x2＝10. ∴售出轮椅的辆数为：60＋4×＝64(辆). 答：这天售出了64辆轮椅. 【思路点拨】 ①取y＝12160，代入(1)中得到的函数关系式，求得合适的x的解即可 ②解决实际问题时，要结合现实情境，注意题中隐含的条件，本题中限制了每辆轮椅的利润不低于180元 返回目录 如图1，有长为24 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃ABCD．设花圃的宽AB为x m(宽AB不大于长BC)，面积为S m2. 例 3 类型 3 几何图形面积问题 返回目录 (1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 解：∵宽AB＝x m，则长BC＝(24－3x)m， ∴S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x. 又∵x＞0，且10≥24－3x≥x， ∴≤x≤6， ∴S关于x的函数关系式为S＝－3x2＋24x(≤x≤6). 返回目录 (2)请求出花圃ABCD能围成的最大面积，并写出此时x的值； 解：S＝－3x2＋24x＝－3(x－4)2＋48， ∵－3＜0， ∴当x＞4时，y随x的增大而减小. ∵≤x≤6， ∴当x＝时，S有最大值，最大值为， ∴当x＝时，花圃ABCD能围成的最大面积为 m2. 【思路点拨】 将(1)中所得函数关系式化为顶点式，再根据自变量的取值范围即可求出最大面积 返回目录 (3)如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽均为1 m的两扇小门，能否使围成的花圃面积为51 m2？如果能，求出花圃宽AB和长BC的值；如果不能，请说明理由. 【思路点拨】 ①开两扇小门不影响花圃的面积 ②要注意墙的最大可用长度a为10 m，计算出的结果要结合实际意义进行取舍 返回目录 解：能使围成的花圃面积为51 m2. 设AB＝x m，则BC＝24－3x＋2＝(26－3x)m， ∴S＝x(26－3x)＝－3x2＋26x. 令S＝51，则－3x2＋26x＝51， 解得x1＝，x2＝3， ∵墙的最大可用长度为10 m， 返回目录 ∴x≤26－3x≤10， ∴≤x≤， ∴x＝. 此时，BC＝26－3x＝26－17＝9(m)， ∴当AB＝ m，BC＝9 m时，能使围成的花圃面积为51 m2. 返回目录 1.(2024合肥瑶海区一模)在行知学校第二届趣味篮球赛活动中，某班一位身高1.6 m女同学参加3.5 m定点投篮比赛(如图1).为了获得更好的成绩，同学们对这位选手的训练数据进行了收集和分析：篮球运行的路线是一条抛物线，不起跳投掷时，球在该选手头顶上方0.15 m处投出，在距离该选手2.5 m时达到最大高度3 m. 安徽真题　随堂测 命题点 1 抛物线型问题(2022.23) 拓 展 训 练 返回目录 (1)如图2，以该选手投球站立点为原点，身体竖直向上方向为y轴正半轴建立平面直角坐标系，求出篮球运行高度h与运行水平距离x之间的函数关系式； 解：由题意得，顶点的坐标为(2.5，3)， ∴设篮球运行高度h与运行水平距离x之间的函数关系式为h＝a(x－2.5)2＋3. 1.6＋0.15＝1.75， 将(0，1.75)代入抛物线表达式，得1.75＝a(0－2.5)2＋3， 解得a＝－0.2， ∴所求的函数关系式为h＝－0.2(x－2.5)2＋3. 返回目录 (2)已知比赛时篮圈中心到地面的高度为3.05 m，为保证篮球准确投入篮圈内，该选手在训练时应如何调整自己的起跳高度？ 解：设起跳增加k m， 则新抛物线的表达式为h＝－0.2(x－2.5)2＋3＋k， 将(3.5，3.05)代入上式，得3.05＝－0.2(3.5－2.5)2＋3＋k， 解得k＝0.25， 故选手在训练时应增加起跳高度0.25 m. 返回目录 2.(2024合肥蜀山区二模)如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接.已知两端主塔之间水平距离为800 m，两主塔塔顶距桥面的高度为42 m，主索最低点P离桥面的高度为2 m，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系. 返回目录 (1)求这条抛物线对应的函数表达式； 解：由题意可知，抛物线的顶点为P(0，2)， 设抛物线的表达式为y＝ax2＋2， ∵D(400，42)， ∴42＝a×4002＋2， 解得a＝， ∴该抛物线的表达式为y＝x2＋2. 返回目录 (2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点M(－30，－1)处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． (i)求主索到射灯光线的最大竖直距离； 解：设直线MD的表达式为y＝kx＋b(k≠0)， 将M(－30，－1)，P(0，2)代入可得， 解得，∴直线MD的表达式为y＝x＋2. 返回目录 如解图，作垂直于x轴的直线交MD于点N，交抛物线于点L， 设点N的坐标为(n，n＋2)，则L为(n，n2＋2)， 当n＞0时，NL＝n＋2－n2－2＝－n2＋n＝－(n－200)2＋10， 故n＝200时，NL有最大值，为10. 当n＜0时，NL＝n2＋2－n－2＝n2－n＝(n－200)2－10， ∵n＜200时，NL随n的增大而减小，－30≤n≤400， ∴当n＝－30时，NL有最大值，为＋3＜10. 综上所述，主索到射灯光线的最大竖直距离为10 m. 解图 返回目录 (ii)现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索.则最多向右平移_____米. 100 返回目录 3.(2024蚌埠蚌山区三模)在“乡村振兴”行动中，某企业以农作物为原料研发了甲、乙两种有机产品，并投入市场.经市场调查发现，甲种有机产品每天的销量y甲(单位：袋)与销售单价m(单位：元/袋)的函数关系式为y甲＝－3m＋202，乙种有机产品每天的销量y乙(单位：袋)与销售单价n(单位：元/袋)的函数关系式为y乙＝－2n＋196，其中m，n均为自然数.根据农委的指示及市场监督部门的要求，该企业以每袋甲种有机产品和每袋乙种有机产品利润相同的标准来确定销售单价，且单价均高于成本，已知甲种有机产品的成本为每袋26元，乙种有机产品的成本为每袋35元. 命题点 2 最大利润问题 拓 展 训 练 返回目录 (1)当甲种有机产品的销售单价为30元时，甲、乙两种有机产品每天的销量分别为多少袋？ 解：甲销售单价为30元时，乙销售单价为35＋(30－26)＝39(元)，∴m＝30，n＝39. y甲＝－3m＋202＝－3×30＋202＝112(袋)， y乙＝－2n＋196＝－2×39＋196＝118(袋)， 答：甲种有机产品每天的销量为112袋，乙种有机产品每天的销量为118袋. 返回目录 (2)当乙种有机产品的销售单价n为多少时，这两种有机产品每天销售的总利润最大？最大利润是多少元？ 解：由m－26＝n－35得m＝n－9， 设两种产品每天总利润为w元， 则w＝(m－26)·y甲＋(n－35)·y乙＝(m－26)·(－3m＋202)＋(n－35)·(－2n＋196)， 整理，得w＝－5(n－60)2＋3125， ∵－5＜0， ∴当乙种有机产品的销售单价n为60时，这两种有机产品每天销售的总利润最大，最大利润是3125元. 返回目录 4.(2023合肥五十中三模)春回大地，万物复苏，又是一年花季到.某花圃基地计划将如图所示的一块长40 m，宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域.其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉.活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10 m.A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元. 命题点 3 几何图形面积问题 拓 展 训 练 返回目录 (1)设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量： 花卉A的种植面积是 m2，花卉B的种植面积是_____________m2，花卉C的种植面积是_____________m2； (x2－60x＋800) (－x2＋30x) (－x2＋20x) 返回目录 (2)育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？ 解：∵A，B两种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元. ∴A，B两种花卉的总产值分别为2×(x2－60x＋800)百元和3×(－x2＋30x)百元. ∵A，B两种花卉的总产值相等， ∴2×(x2－60x＋800)＝3×(－x2＋30x)， ∴x2－42x＋320＝0，解得x＝32(舍去)或x＝10， ∴当育苗区的边长为10 m时，A，B两种花卉的总产值相等. 返回目录 (3)若花卉A与B的种植面积之和不超过560 m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值. 解：∵花卉A与B的种植面积之和为x2－60x＋800＋(－x2＋30x)＝(－30x＋800)m2， ∴－30x＋800≤560，∴x≥8. 返回目录 设A，B，C三种花卉的总产值之和为y百元， ∴y＝2(x2－60x＋800)＋3(－x2＋30x)＋4(－x2＋20x)＝－5x2＋50x＋1600＝－5(x－5)2＋1725， ∴当x≥8时，y随x的增加而减小， ∴当x＝8时，y最大，最大值为y＝－5×(8－5)2＋1725＝1680(百元)＝168000(元). 答：A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值为168000元. 请完成《课后提升练》P30～32习题 返回目录 $$