(精讲册)第3章 第五节 二次函数性质综合题（课件PPT）-【练客中考】2025年安徽中考数学提优方案

数学 精讲册 2025安徽 第五节 二次函数性质综合题 1 核心知识　精讲练 2 安徽真题　随堂测 目录 CONTENTS (2024安徽23题14分)已知抛物线y＝－x2＋bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y＝－x2＋2x的顶点横坐标大1. (1)求b的值； 核心知识　精讲练 类型 1 例 1 性质综合题 解：∵抛物线y＝－x2＋bx的顶点横坐标为， y＝－x2＋2x的顶点横坐标为1，∴－1＝1， ∴b＝4. 返回目录 (2)点A(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋2x上，点B(x1＋t，y1＋h)在抛物线y＝－x2＋bx上. (i)若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值； (ii)若x1＝t－1，求h的最大值. 解：∵点A(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋2x上， ∴y1＝－＋2x1. ∵点B(x1＋t，y1＋h)在抛物线y＝－x2＋4x上， ∴y1＋h＝－(x1＋t)2＋4(x1＋t)， ∴－＋2x1＋h＝－(x1＋t)2＋4(x1＋t)， ∴h＝－t2－2x1t＋2x1＋4t. 【思路点拨】 (i)把点B的坐标代入抛物线，得出h关于t的表达式，再把h用含t的式子表示，先计算出t的值 返回目录 (i)∵h＝3t， ∴3t＝－t2－2x1t＋2x1＋4t， ∴t(t＋2x1)＝t＋2x1. ∵x1≥0，t＞0， ∴t＋2x1＞0， ∴t＝1， ∴h＝3. 返回目录 (ii)将x1＝t－1代入h＝－t2－2x1t＋2x1＋4t， ∴h＝－3t2＋8t－2， ∴h＝－3(t－)2＋. ∵－3＜0， ∴当t＝，即x1＝时，h取最大值为. 【思路点拨】 (ii)在(i)的基础上将x1用t－1代换，根据二次函数的性质求最值 返回目录 (2024合肥包河区一模改编)点A的坐标为(4，0)，抛物线M1：y＝ax2＋bx(a≠0)过点A，B为第四象限内抛物线上一点，其纵坐标为－6，tan∠OAB＝2. (1)求抛物线M1的表达式； 例 2 类型 2 与图象的变化有关 解：如解图1，设AB交y轴于点M， ∵点A的坐标为(4，0)， ∴OA＝4.∵tan∠OAB＝＝2， 【思路点拨】 设AB交y轴于点M，先根据题意画出抛物线M1，由tan∠OAB＝2，先求出点M的坐标，再求直线AB的表达式，求出点B的坐标 返回目录 ∴OM＝2OA＝8，∴点M的坐标为(0，－8). 设直线AB的表达式为y＝kx＋t，将点A，M的坐标代入，得 ，解得，∴直线AB的表达式为y＝2x－8. ∵点B的纵坐标为－6，把y＝－6代入y＝2x－8得x＝1， ∴点B的坐标为(1，－6).∵抛物线M1：y＝ax2＋bx(a≠0)过点A，B，∴，解得，∴抛物线M1的表达式为y＝2x2－8x. 返回目录 (2)已知C为直线AB下方的抛物线上一动点，过点C作CD∥x轴交直线AB于点D，设点C的横坐标为h，点E(0，－4)，连接AE. (i)当CD取最大值时，求h的值； 解：∵点C在抛物线y＝2x2－8x上， 点C的横坐标为h，∴C(h，2h2－8h). ∵CD∥x轴，∴点D的纵坐标为2h2－8h. 把y＝2h2－8h代入y＝2x－8得x＝h2－4h＋4， ∴D(h2－4h＋4，2h2－8h)， 【思路点拨】 先设出点C的坐标，点C与点D的纵坐标相同，把点D纵坐标代入直线AB表达式求出点D的横坐标 返回目录 ∴CD＝h－(h2－4h＋4)＝－h2＋5h－4＝－(h－)2＋. ∵C为直线AB下方的抛物线上一动点， ∴1≤h≤4. ∵－1＜0， ∴当h＝时，CD取最大值为. 返回目录 (ii)将抛物线M1向上平移m(m＞1)个单位长度得到抛物线M2，当≤x≤时，若抛物线M2与直线AE有两个交点，求m的取值范围. 【思路点拨】 判断抛物线与直线的交点情况时，如果限制了区间不能直接联立方程判断，要根据区间的端点对应的坐标，求出相应的未知数，再确定范围.①设平移后的抛物线表达式为y＝2x2－8x＋m，求出直线AE上横坐标为和的两点P和Q的坐标，分别计算出当抛物线M2过点P，Q时m的值，再判断此时抛物线M2与线段PQ的交点情况，②求平移后的抛物线与直线AE有唯一公共点时对应的m值 返回目录 解：设直线AE的表达式为y＝k1x＋b1， ∵直线AE过点A(4，0)，E(0，－4)， ∴，解得， ∴直线AE的表达式为y＝x－4. 当x＝时，y＝－，直线AE的对应点为P(，－)； 返回目录 如解图2，当抛物线M2与直线AE有唯一的公共点时， ，即2x2－9x＋m＋4＝0，Δ＝(－9)2－4×2(m＋4)＝0，解得m＝，∴当≤x≤时， 若抛物线M2与直线AE有两个交点， m的取值范围为6≤m＜. 返回目录 (2024合肥四十五中一模改编)抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0). (1)求抛物线的表达式； 例 3 类型 3 与面积有关 解：设抛物线的表达式为y＝a(x－x1)(x－x2)， 即y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3. 返回目录 (2)当a－2≤x≤a＋1时，抛物线有最小值5，求a的值； 解：∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，即抛物线的最小值是－4， 即x＝a－2和x＝a＋1不可能在抛物线对称轴两侧. 当a＋1≤1时，即a≤0， 则x＝a＋1时，抛物线取得最小值， 即y＝(a＋1)2－2(a＋1)－3＝5， 解得a＝3(舍去)或a＝－3， 即a＝－3. 【思路点拨】 涉及求抛物线的最小值时，要先判断对称轴在区间位置， 方法参考P43 返回目录 当a－2≥1时，即a≥3， 则x＝a－2时，抛物线取得最小值， 即y＝(a－2)2－2(a－2)－3＝5， 解得a＝6或a＝0(舍去)， 综上所述，a＝6或a＝－3. 返回目录 (3)若P是第四象限内抛物线上一动点，连接PB，PC，求△PBC的面积S的最大值. 解：如解图，过点P作PH∥y轴交BC于点H， 由抛物线的表达式知，点C(0，－3)， 由点B，C的坐标得，直线BC的表达式为y＝x－3， 设点H(x，x－3)，则点P(x，x2－2x－3)， 则S＝S△PHC＋S△PHB＝·PH·OB＝×(x－3－x2＋2x＋3)×3 ＝－(x－)2＋≤. 即△PBC的面积S的最大值为. 【思路点拨】 求面积最值的方法参考P45微专题二 返回目录 1.(2021安徽22题12分)已知抛物线y＝ax2－2x＋1(a≠0)的对称轴为直线x＝1. (1)求a的值； 安徽真题　随堂测 命题点 1 性质综合题(2024.23，2021.22) 解：根据题意可知，抛物线y＝ax2－2x＋1(a≠0)的对称轴为直线x＝－＝＝1， ∴a＝1. 返回目录 (2)若点M(x1，y1)，N(x2，y2)都在此抛物线上，且－1＜x1＜0，1＜x2＜2，比较y1与y2的大小，并说明理由； 解：由(1)可知，抛物线的解析式为y＝x2－2x＋1＝(x－1)2. ∵a＝1＞0， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大， 当x＜1时，y随x的增大而减小. ∵－1＜x1＜0，1＜x2＜2， 结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，y值越大，∴y1＞y2. 返回目录 (3)设直线y＝m(m＞0)与抛物线y＝ax2－2x＋1交于点A，B，与抛物线y＝3(x－1)2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比. 解：联立y＝m与y＝(x－1)2， 可得A(1－，m)，B(1＋，m)， ∴AB＝2. 联立y＝m与y＝3(x－1)2， 可得C(1－，m)，D(1＋，m)， ∴CD＝， ∴AB∶CD＝∶1. 返回目录 2.(2024合肥瑶海区二模)已知：抛物线y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，交y轴于点C，P为抛物线上一动点，其横坐标为t. (1)求抛物线的表达式； 拓 展 训 练 解：将点A(－1，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋4中，得，解得， ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋3x＋4. 返回目录 (2)将点P向右平移2个单位长度得到点Q，若点Q也在抛物线上，求t的值； 解：∵点P的横坐标为t，点P向右平移2个单位长度得到点Q， ∴点Q的横坐标为t＋2，纵坐标与点P的纵坐标相同， 为y＝－t2＋3t＋4， ∴－t2＋3t＋4＝－(t＋2)2＋3(t＋2)＋4， 整理，得－t2＋3t＝－t2－4t－4＋3t＋6，解得t＝. 返回目录 (3)当点P到x轴的距离不大于时，求t的取值范围. 解：∵点P到x轴的距离不大于，∴｜－t2＋3t＋4｜≤， ∴－≤－t2＋3t＋4≤，∴令－t2＋3t＋4＝－， ∴(t－)2＝，∴t－＝±，解得t＝或t＝. 令－t2＋3t＋4＝，∴(t－)2＝4， ∴t－＝±2，解得t＝或t＝－， 返回目录 ∵＜－＜＜， ∴≤t≤－或≤t≤. 综上所述，≤t≤－或≤t≤. 返回目录 3.(2020安徽22题12分)在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，直线y＝x＋m 经过点A，抛物线y＝ax2＋bx＋1恰好经过A，B，C三点中的两点. (1)判断点B是否在直线y＝x＋m上，并说明理由； 命题点 2 与图象的变化有关(2021.14，2020.22) 解：点B在直线y＝x＋m上.理由如下： ∵直线y＝x＋m过点A(1，2)， ∴2＝1＋m，解得m＝1， ∴直线的表达式为y＝x＋1. ∵点B(2，3)代入表达式y＝x＋1，式子成立， ∴点B在直线y＝x＋m上. 返回目录 (2)求a，b的值； 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋1与直线AB都经过点(0，1)，且B，C两点横坐标相同， ∴此抛物线只能经过A，C两点. 将A(1，2)，C(2，1)代入y＝ax2＋bx＋1， 得，解得. 返回目录 (3)平移抛物线y＝ax2＋bx＋1，使其顶点仍在直线y＝x＋m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值. 解：由(2)得抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋1，设平移后所得抛物线的表达式为y＝－x2＋px＋q，其顶点坐标为(，＋q). ∵顶点在直线y＝x＋1上，∴＋q＝＋1， ∴抛物线与y轴交点的纵坐标为q＝－＋＋1＝－(p－1)2＋. ∵－＜0， ∴当p＝1时，此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最大值，最大值为. 返回目录 4.(2024德阳改编)抛物线y＝x2－x＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； 拓 展 训 练 返回目录 (2)当0＜x≤2时，求y＝x2－x＋c的函数值的取值范围； 返回目录 (3)将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PA＋PM的最小值. 解：如解图，连接BM，AM，过点A作AH⊥BM于点H， 交抛物线对称轴直线x＝于点P'，设直线x＝交x轴于点N. 在y＝x2－x－2中，令y＝0得0＝x2－x－2， 解得x＝－1或x＝2，∴B(2，0)， 返回目录 ∴AB＝3，BN＝2－＝. ∵将抛物线的顶点(，－)向下平移 个单位长度得到点M，∴M(，－3)， ∴MN＝3，∴BM＝＝＝， ∴sin∠BMN＝＝＝，∴＝，∴P'H＝P'M， 返回目录 ∴P'A＋P'M＝P'A＋P'H＝AH.由垂线段最短可知， 当P与P'重合时，PA＋PM最小，最小值为AH的长度， ∵2S△ABM＝AB·MN＝BM·AH， ∴AH＝＝＝， ∴PA＋PM的最小值为. 返回目录 5.(2023安徽23题14分)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，3)，对称轴为直线x＝2. (1)求a，b的值； 命题点 3 面积有关(2023.23) 解：∵抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，3)，对称轴为直线x＝2， ∴，解得. 返回目录 (2)已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t＋1.过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E. (i)当0＜t＜2时，求△OBD与△ACE的面积之和； 解：如解图1，易知直线OA的解析式为y＝x. 由题意可知B(t，－t2＋4t)，D(t，t)，C(t＋1，－t2＋2t＋3)，E(t＋1，t＋1)， ∴BD＝－t2＋4t－t＝－t2＋3t，CE＝－t2＋2t＋3－(t＋1)＝－t2＋t＋2， ∴S△OBD＝BD·xB＝×(－t2＋3t)·t＝－t3＋t2， S△ACE＝CE·(xA－xC)＝×(－t2＋t＋2)·[3－(t＋1)]＝t3－t2＋2， ∴S△OBD＋S△ACE＝2. 返回目录 (ii)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由. 解：存在.过点D作DH⊥CE于点H，则H(t＋1，t). 分以下两种情况讨论. ①当2＜t＜3时，如解图2， 易知四边形DCEB为梯形， 图2 返回目录 此时BD＝－t2＋3t，CE＝t＋1－(－t2＋2t＋3)＝t2－t－2， DH＝t＋1－t＝1， ∴＝(BD＋CE)·DH＝(－t2＋3t＋t2－t－2)×1＝t－1. 令t－1＝， 解得t＝； 返回目录 ②当t＞3时，如解图3，易知四边形DBCE为梯形， 此时BD＝t－(－t2＋4t)＝t2－3t，CE＝t2－t－2，DH＝1， ∴＝(BD＋CE)·DH＝(t2－3t＋t2－t－2)×1＝t2－2t－1. 令t2－2t－1＝， 解得t1＝＋1(舍去)，t2＝－＋1(舍去). 综上所述，t的值为. 解图3 返回目录 6.(2024合肥瑶海区三模改编)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3). (1)求二次函数的表达式； 拓 展 训 练 解：由题意可知，设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)，将C(0，3)代入上式，得3＝a×(0＋1)×(0－3)，解得a＝－1， ∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3. 返回目录 (2)已知D为线段BC上的一动点. (i)求△AOD周长的最小值； 拓 展 训 练 解：如解图1，作点O关于直线BC的对称点E，连接EC，EB，EO， ∵点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，∠BOC＝90°， ∴OA＝1，OB＝OC＝3. ∵O，E关于直线BC对称， ∴四边形OBEC为正方形，∴E(3，3). 解图1 返回目录 连接AE，交BC于点D，连接DO， 由对称性可得｜DE｜＝｜DO｜， 此时｜DO｜＋｜DA｜有最小值，最小值为AE的长， ∴AE＝＝＝5. ∵△AOD 的周长为DA＋DO＋AO，AO＝1，DA＋DO的最小值为5， ∴△AOD周长的最小值为5＋1＝6. 返回目录 (ii)过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标. 解：如解图2，连接PC， 由PD∥AC得，S△APD＝S△CPD， ∴S＝S△PAD＋S△PBD＝S△PCD＋S△PBD＝S△PBC. 解图2 过点P作PN⊥x轴于点N，交BC于点M， 则S＝S△PBC＝S△PMC＋S△PMB＝OB·PM＝PM. 返回目录 易知直线BC的表达式为y＝－x＋3. 设P(m，－m2＋2m＋3)，则M(m，－m＋3)， ∴S＝[(－m2＋2m＋3)－(－m＋3)] ＝(－m2＋3m)＝－(m－)2＋. ∵－＜0，∴当m＝时，S有最大值，最大值为， 此时点P的坐标为(，). 请完成《课后提升练》P28～29习题 返回目录 $$