(精讲册)第1章 第二节 代数式与整式(含因式分解)（课件PPT）-【练客中考】2025年安徽中考数学提优方案

数学 精讲册 2025安徽 第二节 代数式与整式(含因式分解) 1 核心知识　精讲练 2 安徽真题　随堂测 目录 CONTENTS (人教七上P86 T2(2)改编)某种商品原价为每件b元，第一次降价打八折，第二次降价每件又降10元，则第一次降价后的售价是______元，第二次降价后的售价是____________元. 核心知识　精讲练 知识点 1 例 1 代数式及其求值 0.8b (0.8b－10) 返回目录 变式1－1　(1)(2024苏州)若a＝b＋2，则(b－a)2＝___； (2)(2024蚌埠蚌山区三模改编)若实数a，b满足a－2b＋1＝0，则代数式2024－2a＋4b的值为______. 变式1－2　(2024云南)按一定规律排列的代数式：2x，3x2，4x3，5x4，6x5，…，第n个代数式是(　　) A．2xn B．(n－1)xn C．n D．(n＋1)xn 4 2026 D 返回目录 1.代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.单独的一个数或字母也是代数式 2.代数式求值 (1)直接代入法 把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值 (2)整体代入法 ①当单个字母的值不能或不易求时，观察已知条件和所求代数式的关系 ②将所求代数式变形后与已知代数式成倍数或分数关系，一般会用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式 知识精讲 返回目录 下列说法正确的是(　　) A．－不是整式 B．是单项式 C．多项式4x2－3x是三次二项式 D．单项式3πmn的系数和次数都是3 例 2 知识点 2 整式的相关概念 B 返回目录 变式2－1　下列各式中，与5x2y是同类项的是(　　) A．xy2 B．5x3　　　　 C．2x2y D．－2y3 变式2－2　已知关于y的多项式2y－3yn＋7与my3＋4y2－5的次数相同，那么－5n2的值是(　　) A．80 B．－80 C．－80或－54 D．－45或－20 变式2－3　若3b4与a2bn是同类项，则mn的值为_____. C D －4 返回目录 1.单项式 (1)用数与字母的积表示的式子叫作单项式，单独的一个数或字母也是单项式 (2)系数：单项式中的数字因数 (3)次数：一个单项式中所有字母的指数和 2.多项式 (1)几个单项式的和叫作多项式 (2)项：每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项 (3)次数：多项式中次数最高的项的次数 知识精讲 返回目录 3.整式：单项式与多项式统称整式 4.同类项：所含字母相同，并且相同字母的①______也相同的项叫作同类项，常数项与常数项是同类项 指数 下列运算结果正确的是(　　) A．3a·(a2)3＝3a6 B．(a＋2)(a－3)＝a2－6 C．(a＋b)2＝a2＋b2 D．(a2－ab)÷a＝a－b 知识点 3 整式的运算(重点) D 返回目录 变式3－1　若多项式2(x2－xy－3y2)－(3x2－axy＋y2)中不含xy项，则a的值为___. 变式3－2　若3m＝a，9n＝b，且m，n都是正整数，则32m＋2n＝_____.(用含a，b的代数式表示) 2 a2b 变式3－3　如图，从边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是(　　) A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．a2＋ab＝a(a＋b) A 返回目录 变式3－4　(2024合肥四十一中三模)先化简，再求值：(x＋2)(x－2)－x(x－1)，其中x＝6. 解：原式＝x2－4－x2＋x ＝x－4， 当x＝6时，原式＝6－4＝2. 返回目录 1.整式的加减运算 (1)合并同类项：把同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变 (2)去括号法则：a＋(b＋c)＝a＋b＋c a－(b＋c)＝a－b－c 知识精讲 2.幂的运算(ab≠0，m，n为正整数) (1)同底数幂乘法：am·an＝am＋n (2)同底数幂除法：am÷an＝am－n(m＞n) (3)幂的乘方：(am)n＝amn (4)积的乘方：(ab)n＝anbn 返回目录 3.整式的乘除运算 (1)单×单：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式，如－3a2b2×2a3＝－6a5b2 (2)单×多：用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积②______，如a(b＋c)＝ab＋ac (3)多×多：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积③______，如(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd 相加 相加 返回目录 (4)乘法公式 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 完全平方公式：(a±b)2＝④_____________ (5)单÷单：把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式，如4a2b÷ab＝4a (6)多÷单：先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商⑤______，如(3a2b2＋a2b)÷a＝3ab2＋ab a2±2ab＋b2 相加 返回目录 分解因式： (1)－m＋2m2－m3＝____________； (2)x3y－25xy＝________________； (3)x2＋5x－24＝______________. 例 4 知识点 4 因式分解 －m(m－1)2 xy(x＋5)(x－5) (x＋8)(x－3) 十字相乘法：x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q) 8或－8 变式4　若x2＋mx＋16能用完全平方公式分解因式，则m＝________. 返回目录 1.概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式 2.基本方法 (1)提公因式法： ma＋mb＋mc m(a＋b＋c) (2)公式法： a2－b2 (a＋b)(a－b)； a2±2ab＋b2 (a±b)2 知识精讲 返回目录 1.(2024合肥包河区一模)某公司今年2月份的利润为x万元，3月份比2月份减少7％，4月份比3月份增加了8％，则该公司4月份的利润(单位：万元)为(　　) A．(x－7％)(x＋8％) B．(x－7％＋8％) C．(1－7％＋8％)x D．(1－7％)(1＋8％)x 安徽真题　随堂测 命题点 1 代数式及其求值 拓 展 训 练 D 返回目录 2.(2024亳州一模)一组数按下列规律排列：，，2，3，5，8，…，x，y，z，…，则相邻的三个数x，y，z之间的关系是_________. 拓 展 训 练 x＋y＝z 返回目录 3.(2020安徽2题4分)计算(－a)6÷a3的结果是(　　) A．－a3 B．－a2 C．a3 D．a2 4.(2022安徽4题4分)下列各式中，计算结果等于a9的是(　　) A．a3＋a6 B．a3·a6 C．a10－a D．a18÷a2 命题点 2 整式的运算(必考) C B 返回目录 5.(2023安徽3题4分)下列计算正确的是(　　) A．a4＋a4＝a8 B．a4·a4＝a16 C．(a4)4＝a16 D．a8÷a4＝a2 6.(2024安徽4题4分)下列计算正确的是(　　) A．a3＋a3＝a6 B．a6÷a3＝a2 C．(－a)2＝a2 D．＝a C C 返回目录 7.(2024合肥瑶海区二模)计算(－2xy3)3的结果是(　　) A．－6x3y6 B．－8x3y6 C．－6x3y9 D．－8x3y9 8.(2024蚌埠二模)已知M＝x2－2x，N＝2x－5，且x为任意实数，则M－N的值(　　) A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定 拓 展 训 练 D A 9.(2024宿州校级模拟)若－3a6÷　 ＝－3a3，则“ 　”中的式子 是(　　) A．a3 B．－a2　　 C．6a3 D．－6a2 A 返回目录 11.(2024合肥瑶海区二模)下列因式分解正确的是(　　) A．a2b－ab2＝a(a＋b)(a－b) B．a2－(2b－1)2＝(a＋2b－1)(a－2b＋1) C．a3－2ab＋ab2＝a(a－b)2 D．a2b2－4a2b＋4a2＝a(b－2)2 12.(2024合肥瑶海区一模)分解因式：2x2＋12x＋18＝__________. 拓 展 训 练 B 2(x＋3)2 10.(2020安徽12题5分)分解因式：ab2－a＝_______________. 命题点 3 因式分解(2020.12) a(b＋1)(b－1) 返回目录 13.(2024安徽18题8分)数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为x2－y2(x，y均为自然数)”的问题. (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下(n为正整数)： 命题点 4 规律探索(必考) N 奇数 4的倍数 表示结果 1＝12－02 3＝22－12 5＝32－22 7＝42－32 9＝52－42 … 4＝22－02 8＝32－12 12＝42－22 16＝52－32 20＝62－42 … 一般结论 2n－1＝n2－(n－1)2 4n＝ 返回目录 按上表规律，完成下列问题： (i)24＝(___)2－(___)2； (ii)4n＝__________________； 7 5 (n＋1)2－(n－1)2 返回目录 (2)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…，这些形如4n－2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2－y2(x，y均为自然数).师生一起研讨，分析过程如下： 假设4n－2＝x2－y2，其中x，y均为自然数. 分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数， 则x2－y2＝(2k)2－(2m)2＝4(k2－m2)为4的倍数. 而4n－2不是4的倍数，矛盾.故x，y不可能均为偶数. 返回目录 ②若x，y均为奇数，设x＝2k＋1，y＝2m＋1，其中k，m均为自然数， 则x2－y2＝(2k＋1)2－(2m＋1)2＝_________________为4的倍数. 而4n－2不是4的倍数，矛盾.故x，y不可能均为奇数. ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2－y2为奇数. 而4n－2是偶数，矛盾.故x，y不可能一个是奇数一个是偶数. 由①②③可知，猜测正确. 阅读以上内容，请在情形②的横线上填写所缺内容. 4(k2－m2＋k－m) 【解法提示】(2k＋1)2－(2m＋1)2＝(2k＋1＋2m＋1)(2k＋1－2m－1)＝4(k2－m2＋k－m). 返回目录 14.(2022安徽18题8分)观察以下等式： 第1个等式：(2×1＋1)2＝(2×2＋1)2－(2×2)2； 第2个等式：(2×2＋1)2＝(3×4＋1)2－(3×4)2； 第3个等式：(2×3＋1)2＝(4×6＋1)2－(4×6)2； 第4个等式：(2×4＋1)2＝(5×8＋1)2－(5×8)2； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：___________________________________； (2×5＋1)2＝(6×10＋1)2－(6×10)2 返回目录 (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明. 解：第n个等式为(2n＋1)2＝[(n＋1)×2n＋1]2－[(n＋1)×2n]2. 证明：∵左边＝4n2＋4n＋1， 右边＝4n2(n＋1)2＋4n(n＋1)＋1－4n2(n＋1)2 ＝4n2＋4n＋1， ∴左边＝右边. ∴等式成立. 返回目录 15.(2023安徽18题8分)【观察思考】 返回目录 【规律发现】 请用含n的式子填空： (1)第n个图案中“ ”的个数为____； (2)第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，…，第n个图案中“★”的个数可表示 为 ； 3n 返回目录 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1＋2＋3＋…＋n等于第n个图案中“ ”的个数的2倍. 解：由题意，得＝2×3n， 解得n＝11或n＝0(不符合题意，舍去). ∴n＝11. 返回目录 16.(2021安徽18题8分)某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列. 【观察思考】 当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块(如图2)；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块(如图3)；以此类推. 返回目录 【规律总结】 (1)若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加___块； (2)若一条这样的人行道一共有n(n为正整数)块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为_______(用含n的代数式表示)； 2 2n＋4 返回目录 【问题解决】 (3)现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？ 解：∵等腰直角三角形地砖块数(2n＋4)是偶数， ∴用的块数最多为2021－1＝2020(块). 令2n＋4＝2020， 解得n＝1008， ∴需要正方形地砖1008块. 请完成《课后提升练》P2习题 返回目录 $$