精品解析：湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题

2024-2025学年湖北省新高考联考协作体·湖北部分名校高一3月联考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，再根据集合的交集运算求解. 【详解】因为， ， . 故选：C. 2. 若命题“，”是真命题，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据命题为真命题得出即可求解． 【详解】因为，， 则当时，， 故选：B． 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的零点存在性定理结合单调性判断. 【详解】函数，在上连续且单调递增， ，，，  根据函数的零点的判定定理可得，函数的零点所在的区间是. 故选：C. 4. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】由条件利用诱导公式，的图象变换规律，得出结论. 【详解】， ， 所以只需把函数的图象，向左平移个单位，得到的图象. 故选：A. 5. 已知向量，满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用得出，再利用向量夹角公式即可. 【详解】， ， ， ， 又， 与的夹角为 故选： 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】， . 故选：D 7. 下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两边同时取以为底的对数，可判断A选项；将变形为可判断B；将的指数幂都变换成整数次幂与的乘积的形式，比较两个幂函数的大小可判断C选项；将变换为以10为底的对数，做差与0比较可判断D选项. 【详解】解：A项，， ，故，即，故A项错误; B项，，，故B项错误; C项，，  ，，故C项错误; D项，，， 则， 而，，， 故，即，故D项正确. 故选：D 8. 在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图像的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数，使得不等式成立的实数m的取值范围为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析函数的对称性和单调性，根据函数性质，把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】令，则， 函数可化为. 因为， 所以函数是偶函数，其图象关于y轴对称，那么函数的图象关于直线对称. 当时，. 对求导，， 因为，所以，，，则， 所以 这表明函数在上单调递增. 因为函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，所以等价于. 即，两边平方得 移项化为，因式分解得. 所以实数m的取值范围是. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若正实数p，q满足，则（ ） A. pq的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是6 【答案】BCD 【解析】 【分析】AB均利用求解即可；C利用1代换，即再利用基本不等式；D利用消元，求一元二次函数的最值. 【详解】由题意知 ，，且 对于A，由，解得，当且仅当，时等号成立，则pq的最大值为，故A错误； 对于B，， 当且仅当，时等号成立，所以的最大值为，故B正确； 对于C ，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是，故C正确． 因为，所以 ， 因为，所以，当，时等号成立，D选项正确. 故选：BCD 10. 已知函数，若有四个不等的实数解，，，，下列说法正确的是（ ） A. 有最小值2 B. m的取值范围是 C. D. 方程有4个不同的解 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意作出函数的图像，由图像即可判断AB；根据偶函数的性质及二次函数的对称性，结合图象即可判断C；令，数形结合即可判断D． 【详解】解：由题意作出函数的图像，如图所示： 可得，，，， 所以有最小值2，故A正确； 有四个不等的实数解，，，，可得，故B错误； 因为为偶函数，所以图象关于轴对称， 又的对称轴为直线， 所以由对称性可知，，可得，故C正确； 令，则方程可化为方程， 结合图像得有4个解，且，，，， 因为有最小值2，所以只有当时，有4个不同的x与之对应， 故方程有4个不同的解，故D正确， 故选：ACD． 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 的最小正周期为 C. 关于对称 D. 的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据与的关系即可判断A；由与的关系即可判断B；与的关系即可判断C；令，利用换元法，即可判断D. 【详解】的定义域为关于原点对称， 对于A，因为， 所以为偶函数，故A正确； 对于B，因为， 所以的周期为，故B错误； 对于C，因为， 所以关于对称，故C正确； 对于D，令，则，， 由于，所以，进而， 所以， 因为函数在上都是减函数， 所以函数在上是减函数，且， 所以函数在上是减函数 因此的值域为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在上有两个零点，则a的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，问题转化为函数的图象和直线在上有两个交点，判断的单调性和最值，得解. 【详解】函数在上有两个零点， 函数的图象和直线在上有两个交点． 上，， 在上单调递增，在上单调递减，最大值是， 又，， . 故答案为：. 13. 已知函数的定义域为R，且满足：，，，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，求出函数的周期为6，利用周期性求解. 【详解】， ， 两式相加得，， ， 函数的周期为6， ， ，， ， . 故答案： 14. 如图，正方形的边长为1，分别为边上的点，若，求的面积的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，，，，得出，，，根据基本不等式求解即可． 【详解】设，，，， 则，，， 整理得， 因为 当且仅当等号成立，解得或， 因为， 所以，则当时，的最大值为， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行四边形中，，，若M，N分别是边，所在直线上的点，且满足，，其中k，，设，. （1）当，时，用向量和分别表示向量和； （2）当，时，求的取值范围. 【答案】（1），  （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算求解； （2）用表示，利用数量积的运算律求出，根据二次函数的性质可求其范围. 【小问1详解】 当  ，时，  ，   【小问2详解】 当，时，   ，  ， 故      ， 因为 ，故    故 的取值范围为 . 16. 计算： （1）已知，，求的值; （2）已知，求的值; （3）若正实数同时满足下列三个方程，，，求的值. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将对数式化为指数式，再根据指数幂的运算性质即可得解； （2）根据结合诱导公式及二倍角的余弦公式即可得解； （3）先根据对数的运算性质求出，再根据对数的运算性质即可得解. 【小问1详解】 ，， ； 【小问2详解】 ， ； 【小问3详解】 正实数x，y，z同时满足下列三个方程，，， ， . 17. 已知函数的最大值为 （1）求常数a的值; （2）求函数在的单调递增区间; （3）若在区间上有9个零点，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式、余弦正弦的两角差及辅助角公式先化简，再求解的值； （2）利用正弦函数的单调性计算即可求解单调递增区间； （3）利用正弦函数的图象与性质计算即可. 【小问1详解】 由题意可知： ， 当时，， 故 【小问2详解】 令，t在上单调递增，且， 而在和上单调递增， 因此，，解得，， 在的单调递增区间为， 【小问3详解】 令，，，则 由题可知：在上有9个根，即， 因此，即 故实数的取值范围是 18. 已知函数为偶函数. （1）求实数k的值; （2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围; （3）若函数，是否存在实数m使得的最小值为0，若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义计算，化简求出可结果. （2）函数有两个零点，即方程有两个实数根．化简，根据复合函数单调性可求出的最小值，从而求出的范围. （3）化简可得出是以为整体的二次型函数，令，根据二次函数轴动区间定讨论函数的最小值，即可求出的值. 【小问1详解】 偶函数， 即对任意恒成立， ， 【小问2详解】 函数有两个零点，即方程有两个实数根． 令，则函数的图象与直线有两个交点， 由复合函数的单递性知，在上单调递减，在上单调递增， 当时，；当时，， 当且仅当即时，等号成立. 的取值范围是 【小问3详解】 ，， 令，，则，， 最小值为0， 或或 或或 19. 已知函数． （1）若，求的值； （2）试求，，的取值范围，猜想当，时，的取值范围不需要写出证明过程； （3）存在，使得关于x的不等式对任意的恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知，利用同角三角函数的平方关系即可求解； （2）分别写出，，，根据正弦函数的值域求解范围，进而得出的取值范围； （3）由已知结合辅助角公式得出，由不等式放缩得，换元法求得值域即可求解a的取值范围． 【小问1详解】 ， 则， ． 【小问2详解】 ， ， 此时有， 此时有， 由此猜想当，时，． 【小问3详解】 ， ∴，， 又， ， 因为，则，， 存在，则，， 又， ，单调递增， ， 综上所述：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年湖北省新高考联考协作体·湖北部分名校高一3月联考数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若命题“，”是真命题，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 4. 要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 5. 已知向量，满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列不等关系正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图像的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数，使得不等式成立的实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 若正实数p，q满足，则（ ） A. pq的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 的最小值是6 10. 已知函数，若有四个不等的实数解，，，，下列说法正确的是（ ） A. 有最小值2 B. m的取值范围是 C. D. 方程有4个不同的解 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 最小正周期为 C. 关于对称 D. 的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在上有两个零点，则a的取值范围为__________. 13. 已知函数的定义域为R，且满足：，，，则__________. 14. 如图，正方形的边长为1，分别为边上的点，若，求的面积的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平行四边形中，，，若M，N分别是边，所在直线上点，且满足，，其中k，，设，. （1）当，时，用向量和分别表示向量和； （2）当，时，求的取值范围. 16. 计算： （1）已知，，求的值; （2）已知，求的值; （3）若正实数同时满足下列三个方程，，，求值. 17. 已知函数的最大值为 （1）求常数a的值; （2）求函数在的单调递增区间; （3）若在区间上有9个零点，求实数m取值范围. 18. 已知函数为偶函数. （1）求实数k的值; （2）若函数有两个零点，求实数a的取值范围; （3）若函数，是否存在实数m使得的最小值为0，若存在，求出实数的值;若不存在，请说明理由. 19 已知函数． （1）若，求的值； （2）试求，，的取值范围，猜想当，时，的取值范围不需要写出证明过程； （3）存在，使得关于x的不等式对任意的恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$