5.4.3正切函数的性质与图象教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.4.3正切函数的性质与图象 教学设计 一、教学内容及其解析 （一）教学内容 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修一（A版）》第五章的5.4.3 正切函数的性质与图象。 （2） 内容解析 三角函数是一类最典型的周期函数，在高中数学课程《标准(2017年版）》中把三角函数内容安排在必修课程”主题二函数”中，体现了“三角函数”与＂函数概念与性质”及“幂函数、指数函数、对数函数”等内容的联系。通过三角函数的概念、性质和应用等内容的学习，提升学生对于“函数”大单元思想方法的整体理解。这样设计使函数思想内容整体性更强。 正切函数是三角函数中的最后一类。在“函数”单元中函数研究方法的学习中有着承上启下的作用。正余弦函数的图象与性质研究采用根据定义画函数图象推导性质的思路。正切函数的图象是间断的，单用描点法难以把握正切函数的图象，因此采用“先利用诱导公式，单位圆讨论部分性质，再利用性质画图，再利用图得到更多性质”的思路。故本节课在数学思想方法体系上内在目的是以正切函数的为例拓展研究函数图象与性质方法思路。 本节课围绕“了解正切函数的图象形成路径”展开。类比正弦函数的性质研究思路，结合定义域和诱导公式得到正切函数具有周期性和奇偶性；利用周期性和奇偶性将整个定义域上图象和性质的问题归结到区间的图象和性质。类比正弦函数的图象绘制过程，正切函数图象生成思路：绘制一个精确的点、取到较多的特殊点得到大致图象、利用信息技术得到足够多的点得到比较精确的图象；借助区间绘制的图形利用好质将局部图象拓展到整个定义域上。其中难点为利用正切值的几何意义准确作图。在研究正切函数图象性质的同时，体会三角函数中以单位圆为工具研究函数的主线地位。 二、教学目标及其解析 （一）教学目标 1.类比正弦函数的图象与性质的研究，理解正切函数的性质与图象的研究路径通过“问题链”的形式促进学生理解，生成完整知识体系。完善“函数”单元中关于函数研究的方法。可以用数学语言准确将正切函数的性质表达 2.让学生经历观察、分析、归纳、抽象等思维活动，领悟从性质到图象、从图象到性质的不同路径中所包含的类比迁移、数形结合的思想方法，发展数学直观想象、逻辑推理的核心素养。学习过程中渗透组内互评、师生评价，培养善于探索的思维品质，渗透核心价值观。 （二）教学重点 能够利用正切函数的部分性质得到正切函数的图象，由图象再认识性质。全面深入的理解数形结合思想。教学过程中渗透数学思想，提升数学素养。 （三）教学难点 正切函数图象的构造和生成过程。 三、学生学情分析 1.本节课的授课对象是高一年级的学生，他们思维活跃，具备一定的直观想象和逻辑推理能力。前期学习了幂函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数，函数知识又有了新的发展，从中积累的一些研究函数性质的方法为本节课的新知探索提供了认知基础。尤其通过正弦、余弦函数的图象和性质的知识学习，学生对于图象周期性和奇偶性的定义和应用已经有了较好的认识。 2.高一学生的数学思维发展仍处于由具体到抽象，由感性认识到理性表达的过渡时期，抽象概括能力较弱，难以用自己的语言进行严谨的数学表达.故存在以下难点：如何在不依赖于具体函数图象的情形下，体会符号语言所包含的图象性质？如何从性质中抽象归纳，发现图象？如何将探究“性质-图象”中得到的数学思想推广到一般情形？其中利用单位圆正切函数的定义得到其图象是较难的点。 3.这一系列的问题，对学生的抽象、归纳能力要求较高，需要学生体会研究过程中渗透类比推理思想和数形结合思想，并且通过对比不同的研究方法，教师为学生创造交流平台，借助学生的多元思维构建“对话式”课堂.在探索过程中，借助小组合作，实现资源共享、思维碰撞。 四、教学理念及路径分析 教学理念：问题驱动促理解 、类比迁移重过程 教学路径：课前准备—布置前置作业，渗透课堂内容和思想方法。 课堂教学—类比正弦函数的研究方法，探究正切函数的性质和图象的研究过程和研究方法。 5、 教学过程设计 【课前任务设计】 任务一、再次阅读教科书5.4节（196-197页）的内容，回顾正弦函数图象的绘制过程：首先准确绘制图象上一点，其次在描点得到大致图象，再次借助信息技术得到比较精确的图象，最后从区间延伸到实数集。 思考：根据正弦函数的定义，的横坐标在单位圆上表示哪个几何量？正弦值是如何确定的？它的几何意义是什么？请绘制出点。 设计意图：通过复习正切函数借助单位圆绘制图象的过程，尤其是精确绘制一个点的方法，为后面精确绘制正切函数图象上一点做铺垫。 任务二、纵观本章正弦函数的学习：借助单位圆，从正弦函数的定义出发，先得到正弦函数的图象，再利用诱导公式得到了余弦函数的图象，进而借助图象研究了正弦、余弦函数的性质，最后应用性质解决问题；结合幂函数、指数函数、对数函数的学习过程，请总结研究函数的一般思路： 设计意图：引导学生总结概括前期具体研究函数一般思路为“概念-图象-性质”。与后面正切函数研究思路：“根据定义推导性质，再由性质画图象”形成对比。 任务三、你能否借助周期性和奇偶性，根据在上的图象画出整个定义域上的图象？请尝试画图，并写出作图步骤。 设计意图：通过作图使学生感受周期性和奇偶性为函数研究带来的便捷，为提出研究函数的新思路“定义-性质-图象-性质”提供实际价值和情感支撑。 【课堂教学内容设计】 引导语：在课前任务单中，回顾了正弦函数的作图过程：从定义出发，借助单位圆先精确绘制一个点，再画出一个周期上的图象，最后拓展到整个定义域。画出图象之后，由图象直观获得了性质。目前为止，纵观函数单元，研究函数的一般思路可以概括为：由定义出发，画出函数图象，由图象获得性质，应用性质解决问题。通过上节课的学习，我们知道，函数的周期性和奇偶性对研究函数是有帮助的。受此启发，在研究函数时可以换一种思路：从函数定义出发，先分析函数的周期性和奇偶性，再画出函数图象。现在，采用这种新思路研究正切函数的性质与图象。 （1） 课堂探究·构建学习 问题1：正弦函数的周期性和奇偶性，除了能从图象直观感知，还能从哪些知识中得到？ 师生活动：学生独立思考得出结论：借助诱导公式。 设计意图：类比正弦函数的的性质研究过程，思考正切函数诱导公式的特点。 问题2：从诱导公式中能判断正切函数的周期和奇偶吗？ 追问1：判断函数是周期函数和奇函数还需要注意什么？ 追问2：正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质有哪些帮助？ 追问3：从哪个区间开始研究？ 师生活动：教师提出问题，学生独立思考，回答上述问题。引导学生分析正切函数周期性和奇偶性。利用周期性和奇偶性可以将整个定义域上的图象和性质问题归结到区间上的图象和性质。 设计意图：通过分析，明确正切函数是周期函数和奇函数，将函数图象和性质问题归结到区间上。 探究1：如何绘制上的图象？ 追问1：要绘制一个新函数的图象，一般会采用什么方法？ 追问2：类比正弦函数作图过程，思考如何借助单位圆确定任意角的正切值？并画出？ 师生活动：教师引导学生通过类比正弦函数图象，准确绘制一点的方法，绘制正切函数图象上的点。学生独立思考后讨论交流，学生展示得到绘制点的方法：利用线段AT表示任意角的正切值。 预设答案：采用描点法。借助单位圆，利用线段AT表示任意角的 追问3：为了得到正切函数在上的大致图象，那你会选择哪些点？ 追问4：请你画出的大致图象，观察图象有什么特征？ 预设答案：图象特征：在单调递增、无限逼近直线。 师生活动：学生给出设想，师生讨论后，尽可能多的取点。学生画图，教师予以指导。教师借助信息技术得到上比较精确的图象，分析图象特征。 设计意图：通过问题串的形式引导学生类比正弦函数的作图过程，构建线段AT表示任意角的正切值，帮助学生突破难点，进而得到上的正切函数大致图象，借助信息技术印证学生的答案，体会信息技术给数学研究带来的便捷。 （2） 直观想象·图象性质 探究2：你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？正切函数的图象有怎样的特征和性质？ 师生活动：学生画图，教师予以指导。一名学生板书画图。 教师指出：正切函数的图象就做正切曲线。 追问：观察正切曲线有什么特征？还能得到正切函数的哪些性质？ 师生活动：教师提出问题，引导学生观察图象，并说出他们的结论。 设计意图：利用直观想象和逻辑推理的方法，根据周期性和奇偶性将局部图象拓展到整个定义域上，通过观察图象，直观感知特征和性质。 （3） 尝试应用·形成经验 例：求函数的定义域、周期及单调区间。 师生活动：学生先独立完成，然后展示讲解解题思路和结果，教师点评并给出规范的解答。 设计意图：巩固学生对正切函数图象特征的掌握，理解变量代换的数学方法。 （4） 总结提升·布置作业 1.总结提升 （1）正切函数的图象是什么形状的？具有哪些性质？ （2）通过本节课的学习，你对研究函数的方法有了哪些新的体会？ 2.布置作业 （1）基础检测 P213,练习1、2、3、4、5；习题19题 （2）能力拓展 请你完成题目设计：设函数是定义在上的（奇/偶）函数，周期为4，当时， ，研究该函数的图象与性质。 （3）前置预习 已知、的正弦、余弦值，你能由此推出的余弦值吗？选择合适的研究载体，尝试给出计算方法。 设计意图：分层作业；第一层次是基础性题目检测，考查学生对正切函数知识的掌握；第二层次是课时内容综合应用题目检测，考察学生对函数研究方法的深层次理解，是本节课的思想方法在我们函数单元中的推广应用；第三部分是前置作业，为下节课做铺垫。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$