精品解析：福建省龙岩市龙岩莲东中学与龙钢学校教育组团 2024-2025学年下学期第一次阶段性统一练习

龙岩莲东中学与龙钢学校教育组团 2024-2025学年第二学期第一次阶段性统一练习 九年级数学学科 （时间：120分钟满分：150分） 命题人：曹淑霞审核人：陈鸿洲 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2025 C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. (a－1)2＝a2－1 B. 4a·2a＝8a2 C. 2a－a＝2 D. a8÷a2＝a4 3. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列几何体的三视图中没有矩形的是（　　） A. B. C. D. 5. 网购已成为新的消费模式，阿里巴巴官方正式公布2019年天猫“双11”购物节最终成交额为2684亿元，转化为以元作为单位，用科学记数法可表示为（ ）元. A. 268 400 000 000 B. 2.684×108 C. 2.684×1011 D. 2.684×1012 6. 孙子算经中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车；若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人？设共有辆车，则（ ） A B. C. D. 7. 如图，点A在x轴上，点B，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上．有一个动点P从点A出发，沿A→B→C→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，设△POM的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 8. 数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，与正六边形的边，分别相切于点，．若，则的半径长为（ ） A. 3 B. C. D. 2 10. 已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 因式分解：=______． 12. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，其中红球有2个，这些球除颜色外其他都相同，随机摸出1个球，摸出的是红球的概率是___________． 13. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为_____m． 14. 如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，CO＝2，则阴影部分的面积为_____． 15. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为：开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失）．求该学生接温水的时间为___________s．（物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度．） 16. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点（在的左侧），点关于抛物线对称轴的对称点为点，动点在轴上，点在以点为圆心，半径为的圆上，则的最小值是 ___________． 三、解答题（共8小题，满分86分） 17. 计算： 18 解方程：． 19. 如图，在菱形中，过点D分别作于点E，作于点F．求证：． 20. 学习贯彻习近平新时期中国特色社会主义思想主题教育工作会议以来，各学校努力在“以学铸魂，以学增智，以学促干”方面行动起来某校为了解教师“主题教育”的学习情况，组织了竞赛，从中抽取了部分教师成绩进行了统计，（成绩为整数，满分分）按成绩分成了，，，个小组，并绘制成了如下不完整的统计表和统计图： 组别 分数段分 频数 10 12 合计 请结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的 ______； ______；并补全条形统计图； （2）扇形统计图组对应扇形的圆心角为______度； （3）调查的名教师成绩的中位数落在______组； （4）该学校七年级二级部有名年轻男教师和名年轻女教师，现从中随机挑选名年轻教师参加“主题教育”宣传活动，请用树状图或列表法求出恰好选中“一男一女”的概率． 21. 在中，，． （1）求作射线，交边于点M，使．（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若线段长为，求边长． 22. 【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． 23. 毛笔书法是我国传统文化中极具代表性的一种艺术形式．某校书法兴趣小组计划购进一批毛笔，已知每支乙种毛笔的价格比每支甲种毛笔的价格多10元，且用600元购买甲种毛笔的数量与用1000元购买乙种毛笔的数量相等． （1）求甲、乙两种毛笔每支各多少元? （2）若要求购进甲、乙两种毛笔共50支，且乙种毛笔数量不少于甲种毛笔数量2倍，试求购买这两种毛笔总费用的最小值． 24. 已知抛物线与y轴交于点，对称轴是直线． 直线与抛物线交于B，C两点（点B在点C的左侧），点Q是直线BC下方抛物线上的一个动点，点P在抛物线对称轴上． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在x轴上，且和的面积相等时，求m的值； （3）求证：当四边形是平行四边形时，不论m为何值，点Q的坐标不变． 25. 如图，已知四边形内接于，且，点E为弦的中点，连结．延长相交于点F，连结，与相交于点G，与相交于点H． （1）求证：． （2）若点C是的中点，，求的值． （3）连结，探究与之间的等量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 龙岩莲东中学与龙钢学校教育组团 2024-2025学年第二学期第一次阶段性统一练习 九年级数学学科 （时间：120分钟满分：150分） 命题人：曹淑霞审核人：陈鸿洲 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2025 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 2. 下列计算正确的是（　　） A. (a－1)2＝a2－1 B. 4a·2a＝8a2 C. 2a－a＝2 D. a8÷a2＝a4 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式、同底数幂的乘除法运算法则、合并同类项的知识分别判断得出答案． 【详解】A．，此选项错误，不符合题意； B．，此选项正确，符合题意； C．，此选项错误，不符合题意； D．，此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幂的乘除法、合并同类项，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． 3. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 4. 下列几何体的三视图中没有矩形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据长方体、三棱柱、圆柱以及圆锥的三视图进行判断即可． 【详解】解：A．该长方体的主视图、左视图、俯视图都是矩形， 因此选项A不符合题意； B．该三棱柱的主视图、左视图是矩形， 因此选项B不符合题意； C．该圆柱体的主视图、左视图是矩形， 因此选项C不符合题意； D．该圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆、所以它的三视图没有矩形， 因此选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体的三视图的形状是正确判断的前提． 5. 网购已成为新的消费模式，阿里巴巴官方正式公布2019年天猫“双11”购物节最终成交额为2684亿元，转化为以元作为单位，用科学记数法可表示为（ ）元. A. 268 400 000 000 B. 2.684×108 C. 2.684×1011 D. 2.684×1012 【答案】C 【解析】 【分析】把一个数表示成的形式，其中，n是整数，这种记数方法叫做科学记数法，根据科学记数法的要求即可解答. 【详解】2684亿元=2.684×1011， 故选：C. 【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，按此方法即可正确求解. 6. 孙子算经中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余辆车；若每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人？设共有辆车，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据每3人共乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，即可列出相应的方程． 【详解】解：依题意，得：． 故选：B． 7. 如图，点A在x轴上，点B，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上．有一个动点P从点A出发，沿A→B→C→O的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，设△POM的面积为S，点P的运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先写出当点P从点O运动到点A的过程中，S与t的关系式，然后再根据函数关系式得到这一段函数图像；当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变；当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同， 【详解】解：设∠AOM＝α，点P运动的速度为a， 当点P从点O运动到点A的过程中，S＝＝a2•cosα•sinα•t2， 由于α及a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且S随着t的增大而增大； 当点P从A运动到B时，由反比例函数性质可知△OPM的面积为k，保持不变， 故本段图象应为与横轴平行的线段； 当点P从B运动到C过程中，OM的长在减少，△OPM的高与在B点时相同， 故本段图象应该为一段下降的线段； 故选D． 【点睛】本题考查动点问题，涉及到面积计算、图像的判断等知识点，能够把P点运动过程分段是解题关键 8. 数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据折叠的性质得到，然后根据同角的余角相等得到，进而得到，设，，则，，根据定理求出，，最后利用矩形面积公式求解即可． 【详解】解：∵矩形沿折叠，使点C落在边的点F处， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，，则，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴解得：，负值舍去， ∴，， ∴矩形的面积． 故选：A． 【点睛】此题考查了矩形和折叠问题，勾股定理，三角形函数的运用，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 9. 如图，与正六边形的边，分别相切于点，．若，则的半径长为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，，过点D作于点G，过点E作于点H，根据切线的性质得到，求得，根据等边三角形的性质得，求得，根据全等三角形的性质得，得到，求得，过点O作于点M，解直角三角形即可得出结论． 【详解】连接，，，过点D作于点G，过点E作于点H， ， 是的切线， ， 多边形是正六边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， 过点O作于点M， ， ， 的半径长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形与圆、正六边形的性质、解直角三角形、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 10. 已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件列出不等式，利用二次函数与轴的交点和二次函数的性质，即可解答． 【详解】解：， ， 点，都在直线的上方，且， 可列不等式：， ， 可得， 设抛物线，直线， 可看作抛物线在直线下方的取值范围， 当时，可得， 解得， ， 的开口向上， 的解为， 根据题意还可列不等式：， ， 可得， 整理得， 设抛物线，直线， 可看作抛物线在直线下方的取值范围， 当时，可得， 解得， ， 抛物线开口向下， 的解为或， 综上所述，可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确列出不等式是解题的关键． 二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 因式分解：=______． 【答案】2（x+3）（x﹣3） 【解析】 【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可． 【详解】=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）． 故答案为：2（x+3）（x﹣3） 【点睛】考点：因式分解． 12. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，其中红球有2个，这些球除颜色外其他都相同，随机摸出1个球，摸出的是红球的概率是___________． 【答案】##0.1 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算．熟练掌握简单的概率计算是解题的关键． 根据简单的概率计算公式求解作答即可． 【详解】解：由题意知，摸出的是红球的概率是， 故答案为：． 13. 如图，小树AB在路灯O照射下形成投影BC．若树高AB＝2m，树影BC＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4m．则路灯的高度OP为_____m． 【答案】 【解析】 【分析】由于OP和AB与地面垂直，则AB∥OP，根据相似三角形的判定可证△ABC∽△OPC，然后利用相似三角形的性质即可求出OP的长． 【详解】解：∵AB∥OP， ∴△ABC∽△OPC， ∴， 即， ∴OP＝m． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 14. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，CO＝2，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂径定理可得CE=DE，∠CEO=∠DEB=90°，然后根据∠CDB=30°，得出∠COB=60°，继而证得△OCE≌△BDE，把阴影部分的面积转化为扇形的面积计算即可． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， ∴CE＝DE，∠CEO＝∠DEB＝90°． ∵∠CDB＝30°， ∴∠COB＝60°，∠OCE＝∠CDB， 在△OCE和△BDE中， ， ∴△OCE≌△BDE（ASA）， ∴S阴影＝S扇形OCB＝π， 故答案为． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算以及垂径定理、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是理解性质和定理，注意掌握扇形的面积公式． 15. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为：开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失）．求该学生接温水的时间为___________s．（物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度．） 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，理清数量关系是解决问题的关键．设该学生接温水的时间为，则接温水，开水，由物理常识的公式可得方程，解方程即可． 【详解】解：设该学生接温水的时间为， 根据题意可得：， 解得， 该学生接温水的时间为, 故答案为：8 16. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点（在的左侧），点关于抛物线对称轴的对称点为点，动点在轴上，点在以点为圆心，半径为的圆上，则的最小值是 ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据抛物线的对称性求出点的坐标，再找到点关于轴的对称点，连接交轴于点，交圆于点，则点、为所求点，根据两点之间线段最短可知的最小值为线段的长度，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出最小值． 【详解】解：当时，可得方程， 解方程得：，， 点的坐标为，点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 的对称点的坐标为， 如下图所示，过点作轴的对称点，连接交轴于点，交圆于点，则点、为所求点， 点、关于轴对称，则， 则为最小， 则最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、轴对称的性质、勾股定理，圆的基本性质，解决本题的关键是作出点关于轴的对称点，利用对称的性质求出最小值． 三、解答题（共8小题，满分86分） 17. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，零次幂，再运算乘法和去括号，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先把分式方程化为整式方程，再解得，最后要验根，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， 解得， 经检验：当时，， 故是分式方程的解． 19. 如图，在菱形中，过点D分别作于点E，作于点F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据菱形的性质和垂线的定义，证明即可解答． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟知上述性质是解题的关键． 20. 学习贯彻习近平新时期中国特色社会主义思想主题教育工作会议以来，各学校努力在“以学铸魂，以学增智，以学促干”方面行动起来某校为了解教师“主题教育”的学习情况，组织了竞赛，从中抽取了部分教师成绩进行了统计，（成绩为整数，满分分）按成绩分成了，，，个小组，并绘制成了如下不完整的统计表和统计图： 组别 分数段分 频数 10 12 合计 请结合以上信息回答下列问题： （1）统计表中的 ______； ______；并补全条形统计图； （2）扇形统计图组对应扇形的圆心角为______度； （3）调查的名教师成绩的中位数落在______组； （4）该学校七年级二级部有名年轻男教师和名年轻女教师，现从中随机挑选名年轻教师参加“主题教育”宣传活动，请用树状图或列表法求出恰好选中“一男一女”的概率． 【答案】（1），，补全条形统计图见解析 （2）86.4 （3）C （4）树状图见解析，选中“一男一女”的概率为． 【解析】 【分析】（1）先用组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数乘以组人数所占的百分比得到的值，接着计算出的值，然后补全条形统计图； （2）用乘以组人数所占的百分比即可； （3）第25个数和第26个数都在组，所以调查的50名教师成绩的中位数落在组； （4）画树状图展示所有12种等可能结果，找出一男一女的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：调查的总人数为（人， 所以， 补全条形统计图为： 故答案为：4，50； 【小问2详解】 解：扇形统计图组对应扇形的圆心角为； 故答案为：86.4； 【小问3详解】 解：调查的50名教师成绩的中位数落在组； 故答案为：； 【小问4详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果数为8， 所以恰好选中“一男一女”的概率． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．也考查了统计图和中位数． 21. 在中，，． （1）求作射线，交边于点M，使．（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若线段长为，求边长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据可得，结合三角形内角和可得平分，故作的角平分线交边于点M，即可解题； （2）过点M作，垂足为H，根据解三角形很容易求出，，进而求出边长． 本题主要考查了解三角形，利用又，得是解题关键． 【小问1详解】 解：∵中，，． ∴， 又∵， ∴， ∴平分， 如图，作的角平分线交边于点M，即：射线为所求． 【小问2详解】 过点M作，垂足为H， ∵，， ∴， ， ∴， ∴ 22. 【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论． 【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积 与较大数的和一定为较大数的平方． （1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数n的平方数． 【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方． 请你举例验证及推理证明； 【深入思考】若 （m， n为两个连续奇数， 求证：p一定是偶数． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简； 类比猜想：参考发现问题的举例和推理过程计算即可； 深入思考：由m， n为两个连续奇数， ，可得，，然后代入计算即可． 【详解】解：类比猜想：（1）举例验证：当 则 （2）推理证明：小明同学做了如下的证明： 设， m、n是连续的正整数， ∴； ∵， ∴． ∴一定是正数的平方数． 深入思考：∵m， n为两个连续奇数，， ∴， ∴， ∴， ∴p一定是偶数． 23. 毛笔书法是我国传统文化中极具代表性的一种艺术形式．某校书法兴趣小组计划购进一批毛笔，已知每支乙种毛笔的价格比每支甲种毛笔的价格多10元，且用600元购买甲种毛笔的数量与用1000元购买乙种毛笔的数量相等． （1）求甲、乙两种毛笔每支各多少元? （2）若要求购进甲、乙两种毛笔共50支，且乙种毛笔数量不少于甲种毛笔数量的2倍，试求购买这两种毛笔总费用的最小值． 【答案】（1）甲种毛笔的价格为15元，乙种毛笔的价格为25元 （2）购买这两种毛笔总费用的最小值为1090元． 【解析】 【分析】（1）设购买甲种毛笔的价格为x元，则购买乙种毛笔的价格为元，根据题意可列出关于x的分式方程，解出x的值即可解答； （2）设购买这两种毛笔总费用为w元，购买甲种毛笔的数量为y支，则购买乙种毛笔的数量为支，根据题意可列出关于w与y的一次函数关系式，再根据一次函数的图象和性质解题即可． 【小问1详解】 解：设购买甲种毛笔价格为x元，则购买乙种毛笔的价格为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原分式方程的解， ， ∴甲种毛笔的价格为15元，乙种毛笔的价格为25元； 【小问2详解】 解：设购买这两种毛笔总费用为w元，购买甲种毛笔的数量为y支，则购买乙种毛笔的数量为支， 根据题意得：，且， ∴， ∵，且为整数， ∴当时，w有最小值，最小值为， ∴购买这两种毛笔总费用的最小值为1090元． 【点睛】本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． 24. 已知抛物线与y轴交于点，对称轴是直线． 直线与抛物线交于B，C两点（点B在点C的左侧），点Q是直线BC下方抛物线上的一个动点，点P在抛物线对称轴上． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P在x轴上，且和的面积相等时，求m的值； （3）求证：当四边形是平行四边形时，不论m为何值，点Q的坐标不变． 【答案】（1）抛物线的表达式是 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）代入点，与对称轴是直线两个条件，列方程即可求出抛物线的解析式； （2）分别过点A，C作的垂线，垂足为E，F，连接交于点G，根据和的面积相等，得到，再证明，证明点G是的中点，再代入点G的坐标即可； （3）先根据一元二次方程根与系数的关系，得，再根据四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式列方程即可． 【小问1详解】 解：将代入，得． 对称轴是直线， ， ， 抛物线的表达式是． 【小问2详解】 解法一：分别过点A，P作的垂线，垂足为E，F，连接交于点G， ． 和的面积相等， ． ． 又， ． ． 即点G是的中点， ，， 点G的坐标为． 点在直线上，得． 解法二： 设直线与y轴交于点H，与直线交于点I， ， ． 和的面积相等， ． 点H，I在直线上， 点H的坐标为，点I的坐标为． ． ． 【小问3详解】 解法一：直线与抛物线交于，两点， ． ．． 连接交于点M． 四边形是平行四边形， ，． 即． ， ． 点在抛物线上， ， 点Q的坐标为． 即点的坐标不变． 解法二： 直线与抛物线交于，两点， ． 整理，得． 解得 ，． 四边形是平行边形， ，． 根据平移的性质 ， 即． （经检验是原方程的解且符合题意）． 点在抛物线上， ， 点Q的坐标为． 即点的坐标不变． 【点睛】此题考查二次函数的性质、求一次函的解析式、动点问题，平行四边形的性质，综合性较强，难度较大．运用数形结合及方程思想是解题的关键． 25. 如图，已知四边形内接于，且，点E为弦的中点，连结．延长相交于点F，连结，与相交于点G，与相交于点H． （1）求证：． （2）若点C是的中点，，求的值． （3）连结，探究与之间的等量关系，并证明． 【答案】（1）见详解 （2） （3），理由见详解 【解析】 【分析】（1）可得，由直角三角形斜边上中线的性质及圆内接四边形性质得到，由，可得，即可求证； （2）过点B作，垂足为点P，由可得，，故，由，可得，，则，，代入数据即可求解； （3）连接并延长交于点T，连接，由三角形的中位线定理得，，可证，则，根据圆周角定理得，故． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵点E为弦的中点， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得：，， ∴，， ∴， 过点B作，垂足为点P， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：． 连接并延长交于点T，连接， ∵点O、E为中点， ∴，， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的内接四边形性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，正确添加辅助线是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$