2025年数学中考专题复习课件：3.16 二次函数与几何综合题

2025年数学中考复习 3.16 二次函数与几何综合题 基础知识 项目三 函数 考点要求 壹 1.会用描点法画出二次函数的图像,会利用一些特殊点画出二次函数的草图; 2.通过图像了解二次函数的性质,知道二次函数的系数与图像形状和对称轴的关系; 3.会根据二次函数的表达式求其图像与坐标轴的交点坐标; 对标要求 4.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式,能由此得出二次函数图像的顶点坐标,说出图像的开口方向,画出图像的对称轴,得出二次函数的最大值或最小值,并能确定相应自变量的值; 5.知道二次函数和一元二次方程之间的关系,会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解. 对标要求 核心知识点 贰 知识点1 二次函数与线段、面积的最值 问题 分析 求两条线段的和差最值. 找到相关两个点的坐标,若线段与轴垂直,则线段长为两点纵坐标相减;若线段与轴垂直,则线段长为两点横坐标相减;若为斜线段,则构造直角三角形,利用勾股定理或相似转化为函数来求解.设点技巧: ①垂直于轴的直线上的点的横坐标相等; ②垂直于轴的直线上的点的纵坐标相等; ③函数图象上的点满足函数解析式,两个函数图象的交点同时满足这两个函数解析式. 对标要求 知识点2 二次函数与特殊多边形问题 等腰三角形 已知点A,B的坐标，利用“两圆一线”法求点P,使得△ABP为等腰三角形.利用“两圆一直线”找点： ①若AB=AP,以A为圆心，AB长为半径画圆； ②若AB=BP,以B为圆心，AB长为半径画圆； ③若AP=BP,作AB的中垂线. 对标要求 相似三角形 二次函数与相似三角形问题中，需要先将点的坐标与线段长相互转化，表示出三角形的边长.如果使用“∽”符号将两个三角形连接起来，此时的对应点和对应边就已经一一对应了；否则需要考虑三种对应情况，讨论其存在的可能性，有时还需要根据题目条件进行取舍. 对标要求 平行四边形 ①平行四边形是中心对称图形； ②中心对称图形的性质：对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段，且使中心对称图形的面积被平分； ③中点坐标公式：若,,则中点的坐标为. 对标要求 由于平行四边形对角线互相平分,则对角线的交点即为平行四边形相对的两个端点所连线段的中点.只要知道三个点中任意两个点的坐标,就能根据中点坐标公式求出第三个点的坐标. 对标要求 考点攻坚 叁 考点 二次函数与特殊多边形问题 例(2024·咸宁)抛物线与轴交于 两点,与轴交于点是第四象限内抛物线上的一点. (1)求抛物线的解析式; (2)如图1,过轴于点,交直线.设点的横坐标为,当时,求的值; 对标要求 (3)如图2点,连接并延长交直线,点轴上方抛物线上的一点,在(2)的条件下,轴上是否存在一点,使得以为顶点的四边形是平行四边形.若存在,直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由. 对标要求 【解析】 (1)把点代入，得;解得；∴抛物线的解析式为: (2)把代入,得把代入得,把代入得,,,；∵∴ 对标要求 (3)存在，理由如下： 对标要求 专项训练 肆 达标训练 1.(2024·巴中)已知平面直角坐标系中,为坐标原点,抛物线与轴交于两点,与轴的正半轴交于点,且. (1)求抛物线的解析式; (2)如图1,点是抛物线在第一象限内的一点,连接过点作轴于点,交.记的面积分别为,,求 的最大值; (3)如图2,连接,点的中点,过点.抛物线上是否存在点若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由. 对标要求 对标要求 答案 1.解：(1)B(4,0),OB=4, BOC=90°,BC=, OC==4, C(0,4), 把B(4,0),C(0,4),代入函数解析式得： 解得： 对标要求 答案 (2).B(4,0),C(0,4), 设直线BC的解析式为：y=k+4(k≠0),把B(4,0)代入，得：k=-1, 对标要求 答案 对标要求 答案 对标要求 答案 对标要求 答案 对标要求 提升训练 2.(2022·云南)如图,抛物线过点,与轴交于点. (1)求抛物线的解析式; (2)点为抛物线对称轴上一动点,当为底边的等腰三角形时,求点的坐标. 对标要求 答案 解:(1)由题意得,∴; (2)设,∵,∴,∴,∴. 对标要求 3.(2023·济南)如图所示，二次函数的图象经过点,与轴交于点. 对标要求 (1)求二次函数的表达式； (2)如图1所示，在抛物线的对称轴上是否存在一点,使△面积为5,若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2所示，小明经过探究发现：位于轴下方的抛物线上，存在一点,使∠与∠互为余角；你认为他探究出的结论是否正确?若正确，求出点的坐标；若不正确，请说明理由. 对标要求 答案 3.解：(1)由题意得：,设抛物线的解析式为：,∴,∴,∴; (2)如图1，过点作,交轴于点,作于Q,∴,∴△∽△,∴，∴, ∵(-1,0),(0,4),(-4,0),∴,,直线的解析式为：.抛物线的对称轴为：， 对标要求 ∴, 由得,10,∴,∴, ∴ ∴直线的解析式为,当时，, ∴,同理可得：直线解析式为, 时，,∴, ∴(，4)或(，); 答案 对标要求 (3)如图2,存在,使,理由如下： 作 ,连接,设 轴交于点, ∴,∴, ∵,∴,∵ , ∴ , ∵.∴, 答案 对标要求 答案 对标要求 课堂练习 伍 1.(2023·河南)如图①所示是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分(如图②所示),抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，,点在抛物线上，且点到对称轴的距离,点在抛物线上，点到对称轴的距离是1. 对标要求 (1)求抛物线的表达式； (2)如图②所示，为更加稳固，小星想在上找一点,加装拉杆,,同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标； (3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为(),当4≤≤6时，函数的值总大于等于9.求的取值范围. 对标要求 答案 对标要求 答案 (3),∴抛物线的对称轴为直线,顶点坐标为(,),当时，得：,解得：≥∴<4,当时，由,得：,∴.解得,∴;由≤,得：≤,∴,解得：≥，∴≤;∴当时，都成立；当≥时，得：∴,解得：≥，∴≥6都成立；综上所述，的取值范围为 对标要求 2.(2024·合肥)如图1所示，平面直角坐标系中，抛物线()与轴分别交于点和点,与轴交于点,对称轴为直线,且,为抛物线上一动点. (1)直接写出抛物线的表达式； (2)如图2所示，连接,当点在直线上方时，求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标. 对标要求 答案 2.解：(1)∵抛物线的对称轴是直线,抛物线交轴于点,(1,0),∴(3,0),∴,∴(0,3),∴设抛物线的解析式为.把(0,3)代入抛物线的解析式，得,∴抛物线的解析式为; (2)如图所示，连接,.设(,),,∴当时，的值最大，最大值为此时的坐标为(,). 对标要求 3.(2024·甘孜)在如图所示的平面直角坐标系中,有一斜坡,从点处抛出一个小球,落到点处.小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分. (1)求抛物线的解析式; (2)求抛物线最高点的坐标; (3)斜坡上点处有一棵树,点的三等分点,小球恰好越过树的顶端,求这棵树的高度. 对标要求 答案 对标要求 答案 对标要求 4.(2023·成都)已知:在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点,,与轴交于点. (1)求抛物线的解析式; (2)如图1所示,如果把抛物线轴下方的部分沿轴翻折180°,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象.当平面内的直线与新图象有三个公共点时,求的值; (3)如图2所示,如果把直线轴向上平移至经过点,与抛物线的交点分别是,直线,过点,若,求点的坐标. 对标要求 答案 对标要求 答案 对标要求 谢谢观看 $$