28.1 锐角三角函数 课件 2024-2025学年人教版九年级数学下册

第二十八章 28.1 锐角三角函数 第二十八章 锐角三角函数 课堂环节导航 新知导入 知识探究 课堂小结 学习目标 课堂检测 新知导入 知识探究 课堂小结 学习目标 课堂检测 第2课时 第1课时 第二十八章 锐角三角函数 课堂环节导航 新知导入 知识探究 课堂小结 学习目标 课堂检测 新知导入 知识探究 课堂小结 学习目标 课堂检测 课后作业 第4课时 第3课时 第二十八章 锐角三角函数 正弦 第1课时 第二十八章 锐角三角函数 鞋跟多高合适 美国人体工程研究学人员调查发现， 当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11°左 右时，人脚的感觉最舒适，假设某成年人前脚掌到 脚后跟长为15厘米，请问鞋跟在几厘米高度为最佳？ 11˚ 新知导入 第二十八章 锐角三角函数 1. 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实. 2. 理解锐角正弦的概念，掌握正弦的表示方法. 3. 会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值，并且能利用正弦求直角三角形的边长. 学习目标 第二十八章 锐角三角函数 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？ 分析：这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即 可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管． A B C 知识点 1 正弦的定义 解： B A C 30° 35m 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 7 【思考】在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？ A B C 50m 35m B ' C ' AB'＝2B'C' ＝2×50＝100(m) 在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 . 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 8 在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得: 因此 在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 . 如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比 ， 你能得出什么结论？ A B C 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 9 归纳总结 综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值. 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 10 【思考】一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 11 A B C A' B' C' 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？ 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 因此 在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值． 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 13 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即 例如，当∠A＝30°时，我们有 当∠A＝45°时，我们有 A B C c a b 对边 斜边 归纳： ∠A的对边 斜边 sin A = 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 注意 sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”； sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比； sinA不表示“sin”乘以“A”. 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值． 解：（1）在Rt△ABC中， 因此 （2）在Rt△ABC中， 因此 素养考点 1 利用正弦的定义求有关角的正弦值 A B C 3 4 （1） A B C 13 5 （2） 求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 16 1.判断对错: A 10m 6m B C (1) （ ） (2) （ ） (3)sin A=0.6m （ ） (4)sin B=0.8 （ ） √ √ × × sin A是一个比值（注意比的顺序），无单位； 2)如图②， （ ） × A B C 1) 如图① 图① 图② 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 17 2. 在 Rt△ABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sinA 的值 ( ) A. 扩大100倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定 C 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值. 解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA . A (3，0) 在Rt△APO中，由勾股定理得 因此 α 素养考点 2 在平面直角坐标系内求锐角的正弦值 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 方法点拨 结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解. 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 3.在平面直角坐标系中,已知点A(3,0)和B(0,-4),则sin∠OAB等于____ 3 4 5 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ， BC = 3，求 sinB 及 Rt△ABC 的面积. A B C 提示：已知 sinA 及∠A的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长. 然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积. 素养考点 3 利用正弦求直角三角形的边长 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 ∴ AB = 3BC =3×3=9. ∴ ∴ ∴ A B C 解：∵在 Rt△ABC 中， ∴ 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k， sinB = h，AB = c，则 BC = ck， AC = ch. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k， sinB = h，BC=a，则 归纳： A B C ， . 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 8 4.如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10， ， BC的长是 ． A Ｃ B 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 例4 在 △ABC 中，∠C=90°，AC=24cm， ，求这个三角形的周长． 解：设BC=7x，则AB=25x，在 Rt△ABC中，由勾股定理得 即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm. 故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm. 所以 △ABC 的周长为 AB+BC+AC = 7+24+25 = 56 (cm). 素养考点 4 利用方程和正弦求直角三角形中线段 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, , AC=12. 求sinB的值. 5 13 解:在Rt △ABC中, 设AB=13x，BC=5x, 由勾股定理得：(5x)2+122=(13x)2 A B C 12 解得x=1.所以AB=13，BC=5 因此 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 1. 如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于( ) O x y P (a，b) α A. B. C. D. D 基础巩固题 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 2. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大 2 倍，则 锐角 A 的正弦值 （ ） A. 扩大 2 倍 B.不变 C. 缩小 D. 无法确定 B 基础巩固题 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 D A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 2 3. 在Rt△ABC中，∠C=90°， ，BC=6，则 AB 的长为 （ ） 4. 在△ABC中，∠C=90°，如果 ，AB=6， 那么BC=_____. 基础巩固题 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 5. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 . 解析：∵ ， ， ， ∴ ∴ AB 2 ＝ BC 2＋AC 2， ∴ ∠ACB＝90°， 基础巩固题 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 如图，在 △ABC中， AB= BC = 5， ，求 △ABC 的面积. D 5 5 C B A 解：作BD⊥AC于点D， ∴ 又∵ △ABC 为等腰三角形，BD⊥AC，∴ AC=2AD=6， ∴S△ABC=AC×BD÷2=12. 能力提升题 ∵ ， 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 32 求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值。 　　如图, ∠C=90°，CD⊥AB. sinB可以由哪两条线段之比得到? 若AC=5,CD=3,求sinB的值. ┌ A C B D 解: ∵∠B =∠ACD ∴sinB = sin∠ACD 在Rt△ACD中， 拓广探索题 ∴ ∴ 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 33 正弦函数 正弦函数的概念 正弦函数的应用 已知边长求正弦值 已知正弦值求边长 ∠A的对边 斜边 sin A = 课堂小结 第二十八章 锐角三角函数 余弦和正切 第2课时 第二十八章 锐角三角函数 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. A C B 对边a 邻边b 斜边c 当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就确定，此时，其他边之间的比是否也确定呢？ 新知导入 第二十八章 锐角三角函数 2. 能灵活运用锐角三角函数进行相关运算. 1. 通过类比正弦函数，理解余弦函数、正切函数的定义，进而得到锐角三角函数的概念 . 3. 通过锐角三角函数的学习，培养学生类比学习的能力. 学习目标 第二十八章 锐角三角函数 如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？ A B C D E F 知识点 1 余弦的定义 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 我们来试着证明前面的问题： ∵ ∠A=∠D，∠C=∠F=90°， ∴ ∠B=∠E， 从而 sinB = sinE， 因此 A B C D E F 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 归纳： A B C 斜边c 邻边b ∠A的邻边 斜边 cos A = 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 归纳总结 从上述探究和证明过程，可以得到互余两角的三角函数之间的关系： 对于任意锐角α，有 cos α = sin (90°－α), 或sin α = cos (90°－α). 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 1. sinA、cosA是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形). 2. sinA、 cosA是一个比值（数值）. 3. sinA、 cosA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°， 正弦 余弦 注意： A B C 斜边c ∠A的邻边b ∠A的对边a 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 42 1．Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，那么cosB的值为（ ） A. B. C. D. A 2. Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，BC=3， 那么cosB的值为_______ 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？为什么？ A B C D E F 知识点 2 正切的定义 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 证明：∵∠C=∠F=90°， ∠A=∠D， ∴Rt△ABC ∽ Rt△DEF A B C D E F ∴ 即 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 45 当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是唯一确定的吗？ A B C 斜边c ∠A的邻边b ∠A的对边a 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 46 如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°， 我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切，记作 tanA. 在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比是一个固定值. A B C 斜边c ∠A的邻边b ∠A的对边a 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 47 1.如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？ 【想一想】 2.锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？ 可以大于1吗？ 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 3．在Rt∆ABC中，∠C＝90°，如果 那么tanB的值为（ ） A. B. C. D. D 4. 在Rt∆ABC中，∠C＝90°，如果 那么tanA的值为_______. 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的锐角三角函数. sin A= cos A= tan A= 脑中有“图”，心中有“式” 知识点 3 锐角三角函数的定义 A B C 斜边c ∠A的邻边b ∠A的对边a ∠A的邻边 斜边 ∠A的对边 斜边 ∠A的对边 ∠A的邻边 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求sinA，cosA，tanA的值. A B C 10 6 解：由勾股定理得 因此 素养考点 1 已知直角三角形两边求锐角三角函数的值 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 方法点拨 已知直角三角形中的两条边求锐角三角函数值的一般思路是：当所涉及的边是已知时，直接利用定义求锐角三角函数值；当所涉及的边未知时，可考虑运用勾股定理的知识求得边的长度，然后根据定义求锐角三角函数值． 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 5．Rt△ABC中，∠C为直角，AC=5，BC=12，那么下列∠A的四个三角函数中正确的是( ) 6．如图：P是∠ α的边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则cos α ______，tan α = ________. B A. B． C． D． α A 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 A B C 6 又 在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其它的所有锐角三角函数值. 素养考点 2 已知一边及一锐角三角函数值求函数值 例2 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6， ，求 cosA、tanB 的值． ∴ 解：∵在Rt△ABC中， ∴ 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 A B C 8 解：∵在 Rt△ABC中， ∴ ∴ ∴ 7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8， ， 求sinA，cosB 的值． 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，AB =13. sinA=______，cosA=______，tanA=____， sinB=______，cosB=______，tanB=____. 基础巩固题 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 2. 如图，△ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 ⊙O 相切与点 C，若 BC=4，AB=5，则 tanA=___. A B C 基础巩固题 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 3. 已知 ∠A，∠B 为锐角， (1) 若∠A =∠B，则 cosA cosB； (2) 若 tanA = tanB，则∠A ∠B. (3) 若 tanA · tanB = 1，则 ∠A 与 ∠B 的关系为： . = = ∠A +∠B = 90° 基础巩固题 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB 的值. 解: ∵ ∠ACB＝∠ADC =90°， ∴∠B+ ∠A=90°， ∠ACD+ ∠A =90°， ∴∠B = ∠ACD， 能力提升题 ∴ 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6. 求cosB 及 tanB 的值. 解：过点 A 作 AD⊥BC 于 D. ∵ AB = AC， ∴ BD = CD = 3， 在 Rt△ABD 中, A B C D 提示：求锐角的三角函数值问题，当图形中没有直角三角形时，可用恰当的方法构造直角三角形. 拓广探索题 ∴ ∴ 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 余弦函数和 正切函数 余弦 正切 性质 ∠A的邻边 斜边 cos A = ∠A的对边 tan A = ∠A的邻边 ∠A的大小确定的情况下，cosA，tanA为定值，与三角形的大小无关 课堂小结 第二十八章 锐角三角函数 30°、45°、60°角的三角函数值 第3课时 第二十八章 锐角三角函数 还记得我们推导正弦关系的时候所得到的结论吗？即 ， ，你还能推导出sin60°的值及 30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？ 新知导入 第二十八章 锐角三角函数 1. 理解特殊角的三角函数值的由来. 3. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用，根据一个特殊角的三角函数值说出这个角. 2. 运用三角函数的知识，自主探索，推导出30°、45°、60°角的三角函数值. 学习目标 第二十八章 锐角三角函数 两块三角尺中有几个不同的 锐角？分别求出这几个锐角的正 弦值、余弦值和正切值？ 设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a， 另一条直角边长＝ 30° 60° 45° 45° 30° 知识点 1 特殊角（30°、45°、60°）的三角函数值 ∴ 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 设两条直角边长为a，则斜边长＝ 60° 45° ∴ ∴ 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角a 30° 45° 60° sin a cos a tan a 三角函数 仔细观察,说说你发现这张表有哪些规律? 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 例1 求下列各式的值： （1）cos260°＋sin260° （2） 解： （1） cos260°＋sin260° = 1 （2） =0 素养考点 1 特殊角的三角函数值的运算 提示：sin260°表示（sin60°）2 这道例题的两个式子中包含几种运算？运算顺序是怎样的？ 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 方法点拨 含特殊角三角函数值的计算注意事项： （1）熟记特殊角的锐角三角函数值是关键； （2）注意运算顺序和法则； （3）注意特殊角三角函数值的准确代入． 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 1.计算： (1) sin30°+ cos45°； 解：（1）原式 (2) sin230°+ cos230°－tan45°. （2）原式 ＝1-1 ＝0 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 解：在 Rt△ABC中 A B C ∴ ∠A = 45°. ∵ 素养考点 2 利用三角函数值求特殊角 例2 (1) 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°， ， ，求 ∠A 的度数； 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 解：在 Rt△ABO中 A B O ∴ α = 60°. (2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径， ，求 α 的度数. ∵ 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°， 求∠A、∠B的度数． A B C 解： 由勾股定理 ∴ ∠ A=30° ∠B = 90°－ ∠ A = 90°－30°= 60° ∴ 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 例3 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tanA)2 ＋|sinB－ |＝0，试判断 △ABC 的形状． ∴ tanA＝1， ， ∠C＝180°－45°－60°＝75°， ∴ △ABC 是锐角三角形． 素养考点 3 特殊角的三角函数值的应用 解：∵ (1－tanA)2 ＋ | sinB－ |＝0， ∴ ∠A＝45°，∠B＝60°， 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 3. 已知： 求∠A，∠B的度数。 解： 即 ∴ ∴ ∵ 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 1．下列各式中不正确的是（ ） A． B．sin30°+cos30°=1 C．sin35°=cos55° D．tan45°>sin45° 2．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ） A．2 B． C．-1 D．1 B D 基础巩固题 sin260°+cos260°=1 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 3.求满足下列条件的锐角 α . (1) 2sinα － = 0； (2) tanα－1 = 0. ∴ ∠α = 60°. (2) tanα =1， 解：(1) ， ∴ ∠α = 45°. 基础巩固题 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 4．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且 ， ，则△ABC的形状是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 B 5. 在 △ABC 中，若 ， 则∠C = . 120° 基础巩固题 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 6. 求下列各式的值： (1) 1－2 sin30°cos30°； (2) 3tan30°－tan45°+2sin60°； (3) ； (4) 答案：(1) (2) (3) 2 (4) 基础巩固题 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 已知 α 为锐角，且 tanα 是方程 x2 + 2x －3 = 0 的一个根，求 2 sin2α + cos2α － tan (α+15°)的值． 解：解方程 x2 + 2x － 3 = 0，得 x1 = 1，x2 = －3. ∵ tanα ＞0，∴ tanα =1，∴ α = 45°. ∴ 2 sin2α + cos2α － tan (α+15°) = 2 sin245°+cos245°－ tan60° 能力提升题 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 80 如图，在△ABC中，AD⊥BC，M为AB的中点，∠B=30°， . 求tan∠BCM. E M D C B A 解：过点M作ME⊥BC于点E 拓广探索题 ∴CD=AD,又∵M是AB的中点 ∴BE=DE，AD=2ME. 又∵∠B=30°， ∵AD⊥BC， ∴ ∴ ∴ 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 30°、45°、60°角的三角函数值 通过三角函数值求角度 特殊角的三角函数值 课堂小结 第二十八章 锐角三角函数 用计算器求锐角三角函数值 第4课时 第二十八章 锐角三角函数 锐角a 三角 函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 1 填写下表： 新知导入 第二十八章 锐角三角函数 前面我们学习了特殊角30°，45°，60°的三角函数值,一些非特殊角(如17°，56°，89°等)的三角函数值又怎么求呢? 这一节课我们就学习借助计算器来完成这个任务. 新知导入 第二十八章 锐角三角函数 1. 会使用科学计算器求锐角的三角函数值. 2. 会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求锐角的大小. 3. 熟练运用计算器解决锐角三角函数中的问题. 学习目标 第二十八章 锐角三角函数 例如 (1) 用计算器求sin18°的值； 解：第一步：按计算器 键； sin 第二步：输入角度值18； 屏幕显示结果 sin18°= 0.309 016 994. 不同计算器操作的步骤可能不同！ 知识点 1 利用计算器求三角函数值、角的度数 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 (2) 用计算器求 tan30°36′ 的值； 解：方法①： 第二步：输入角度值30.6 (因为30°36′ = 30.6°)； 屏幕显示答案：0.591 398 351. 第一步：按计算器 键； tan 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 屏幕显示答案：0.591 398 351. 方法②： 第一步：按计算器 键； tan 第二步：输入角度值30，分值36 (使用 键)； ° ′ ″ 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 (3) 已知 sinA = 0.501 8，用计算器求锐角∠A的度数. 第二步：输入函数值0. 501 8； 屏幕显示答案： 30.119 158 67°(按实际需要进行 精确). 解： 第一步：依次按计算器 键； 2nd F sin 还可以利用 键，进一步得到 ∠A = 30°07′08.97 ″ (这说明锐角 A 精确到 1′ 的结果 为 30°7′，精确到 1″ 的结果为0°7′9″). 2nd F ° ′ ″ 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 1. 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)： (1) sin47°； (2) sin12°30′； (3) cos25°18′；(4) sin18°＋cos55°－tan59°. 答案：(1) 0.7314 (2) 0.2164 (3) 0.9041 (4) －0.7817 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 2. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角 ∠A， ∠B的度数 (结果精确到0.1°)： (1) sinA＝0.7，sinB＝0.01； (2) cosA＝0.15，cosB＝0.8； (3) tanA＝2.4，tanB＝0.5. 答案：(1) ∠A ≈ 44.4°；∠B ≈ 0.6°. (2) ∠A ≈ 81.4°；∠B ≈ 36.9°. (3) ∠A ≈ 67.4°；∠B ≈ 26.6°. 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 （1）通过计算 (可用计算器)，比较下列各组数的大小，并提出你的猜想： ① sin30°____2sin15°cos15°； ② sin38°____2sin19°cos19°； ③ sin45°____2sin22.5°cos22.5°； ④ sin60°____2sin30°cos30°； ⑤ sin84°____2sin42°cos42°. 猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α___2sinαcosα. = 知识点 2 利用计算器探索三角函数的性质 = = = = = 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 93 (2) 如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α， 请利用面积方法验证 (1) 中的结论． 证明：∵ S△ABC = AB · sin2α · AC = sin2α， S△ABC = ×2ABsinα · ACcosα = sinα · cosα， ∴sin2α＝2sinαcosα. 2α 知识探究 第二十八章 锐角三角函数 （1）sin35°= ，cos35°= ， sin235°= ，cos235°= ； 猜想： 已知0°＜α＜90°，则 sin2α + cos2α = . 0.3420 0.5735 0.9397 0.1170 0.8830 0.8192 0.3290 0.6710 3.利用计算器求值，并提出你的猜想： 1 （2）sin20°= ， cos20°= ， sin220°= ， cos220°= ； 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 4. 已知：sin254°+ cos2α =1，则锐角 α = .　 54° 5. 用计算器比较大小：20sin87° tan87°. ＞ sin20° cos20°， sin220° cos220°； sin35° cos35°. ＜ ＜ ＜ 巩固练习 第二十八章 锐角三角函数 1. 下列式子中，不成立的是( ) A．sin35°= cos55° B．sin25°+ sin40°= sin65° C． cos47°= sin43° D．sin218°+ cos218°=1 B 基础巩固题 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 2. 用计算器求sin24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是 （ ） A． B． C． D． A sin 2 4 ° ′ ″ 3 7 ° ′ ″ 8 1 ° ′ ″ = sin 2 4 ° ′ ″ 3 7 ° ′ ″ 8 1 ° ′ ″ = 2nd F sin 2 4 ° ′ ″ 8 1 ° ′ ″ = sin 2 4 ° ′ ″ 3 7 ° ′ ″ 8 1 ° ′ ″ = 2nd F 基础巩固题 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 (1) sin40°≈ (精确到0.0001)； (2) tan63°27′≈ (精确到 0.0001)； (3) cos18°59′27″≈ (精确到 0.0001)； (4) 若sinα = 0.5225，则 α ≈ (精确到 0.1°)； (5) 若cosα = 0.3145，则 α ≈ (精确到 0.1°). 0.6428 2.0013 31.5° 3. 利用计算器求值： 71.7° 0.9452 基础巩固题 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，请验证sin2α + cos2α =1 的结论. 证明：在 Rt△ABC中，a2 + b2 = c2， b A B C a c α ∴ 能力提升题 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠BAC = 42°24′， ∠A 的 平分线 AT = 14.7cm，用计算器求 AC 的长(精确到0.001). 解：∵ AT 平分∠BAC，且∠BAC = 42°24′， 在 Rt△ACT 中, ， ∴ AC = AT · cos∠CAT = 14.7×cos21°12′ ≈13.705(cm). 拓广探索题 A B C T ∴ . 课堂检测 第二十八章 锐角三角函数 用计算器求锐角三角函数值及锐角 用计算器求锐角的三角函数值或角的度数 注意：不同的计算器操作步骤可能有所不同 利用计算器探索锐角三角函数的性质 课堂小结 第二十八章 锐角三角函数 1.教材作业 2.课后习题作业 课后作业 第二十八章 锐角三角函数 $$