27.2.3 相似三角形应用举例 课件 2024-2025学年人教版九年级数学下册

第二十七章 27.2.3 相似三角形应用举例 第二十七章 相似 课堂环节导航 新知导入 知识探究 课堂小结 学习目标 课堂检测 课后作业 第二十七章 相似 新知导入 怎样测量这些非常高大 的物体的高度? 第二十七章 相似 1.能运用三角形相似的性质定理与判定定理进行简单的几何推理. 2.进一步了解数学建模思想,能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型,能利用相似三角形的知识设计方案解决一些简单的实际问题,如高度和宽度的测量问题. 学习目标 第二十七章 相似 据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度. 知识点 1 利用相似三角形测量高度 知识探究 第二十七章 相似 素养考点 1 利用相似三角形测量高度 知识探究 解:太阳光是平行的光线,因此∠BAO=∠EDF. 因此金字塔的高为134m. 又 ∠AOB=∠DFE=90 , 例1 、如图,木杆 EF 长 2 m,它的影长 FD 为3 m,测得 OA 为 201 m,求金字塔的高度 BO. ∴ ABO∽ DEF. 第二十七章 相似 6 6 【总结】测量不能到达顶部的物体的高度 测高方法一: 可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决. 表达式:物1高 :物2高 = 影1长 :影2长 知识探究 第二十七章 相似 巩固练习 1.如图,要测量旗杆AB的高度,可在地面上竖一根竹竿DE,测量出DE的长以及DE和AB在同一时刻下地面上的影长即可,则下面能用来求AB长的等式是( ) C 第二十七章 相似 A F E B O 还可以有其他测量方法吗? ABO∽ AEF 平面镜 【想一想】 知识探究 第二十七章 相似 知识探究 测高方法二: 可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 【归纳总结】 测量不能到达顶部的物体的高度 第二十七章 相似 2.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点 P 处放一水平的平面镜,光线从点 A出发经平面镜反射后, 刚好射到古城墙的顶端 C 处,已知 AB = 2 米,且测得 BP = 3 米,DP = 12 米,那么该古城墙的高度是 ( ) A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米 B 知识探究 第二十七章 相似 素养考点 2 利用相似三角形测量宽度 知识探究 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P,Q,S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,RT确定PT与过点Q且垂直PS 的直线b的交点R.已测得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,请根据这些数据,计算河宽PQ. 第二十七章 相似 知识探究 分析: 设河宽PQ长xm,由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线, 故可得到_∽_, PST PQR 再解x的方程可求出河宽. 因此有 即 已测得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m, 请根据这些数据,计算河宽PQ. 第二十七章 相似 知识探究 解: 设河宽PQ长Xm, 依题意得:a // b ∴ PST ∽ PQR ∴ ∴ 解得 X=90 因此河宽为90m。 经检验: X=90是原分式方程的解。 已测得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m, 请根据这些数据,计算河宽PQ. 第二十七章 相似 【讨论】测量前面例题中的河宽,你还有哪些方法? 【方法总结】利用相似测量不能直接到达的两点间的距离,关键是构造相似三角形,构造的相似三角形可以为“A”字型,也可以为“X”字型,并测量出必要的数据,然后根据相似三角形的性质求出所要求的两点间的距离. 知识探究 第二十七章 相似 巩固练习 3.如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A,再在河的这一边选点 B 和 C,使 AB⊥BC,然后,再选点 E,使 EC ⊥ BC ,用视线确定 BC 和 AE 的交点 D. 此时如果测得 BD=80 m,DC=30 m,EC=24 m, 求两岸间的大致距离 AB. E A D C B 30 m 24 m 80 m 第二十七章 相似 巩固练习 解:∵ ∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90 , ∴ ABD∽ ECD. 解得 AB = 64. 因此,两岸间的大致距离为 64 m. E A D C B 30m 24m 80m 第二十七章 相似 巩固练习 测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度, 常构造相似三角形求解. 【归纳总结】 第二十七章 相似 例3 已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m,两树底部的距离BD=5m.一个人估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l 从左向右前进,当她与左边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端点C了? 分析:如图(1),设观察者眼睛的位置为点F,画出观察者的水平视线FG,分别交AB、CD于点H、K.视线FA、FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角.类似地,∠CFK是观察点C时的仰角.由于树的遮挡,区域 和 都在观察者看不到的区域(盲区)之内. 素养考点 3 利用相似三角形测量有遮挡的物体 图(1) 仰角 水平线 视线 知识探究 第二十七章 相似 解:如图(2),假设观察者从左向右走到点E时,她的眼睛的位置点E与两棵树顶端点A、C恰在一条直线上. 由题意可知,AB⊥l,CD⊥l ∴ AB∥CD, AEH∽ CEK 即 解得 EH=8(m) 由此可知,如果观察者继续前进,即她与左边树的距离小于8m时,由于这棵树的遮挡,右边树的顶端点C在观察者的盲区之内,观察者看不到它. 图(2) ∴ 知识探究 第二十七章 相似 【讨论】利用相似来解决测量物体高度的问题的一般思路是怎样的? 【方法总结】一般情况下,可以从人眼所在的部位向物体作垂线,根据人、物体都与地面垂直构造相似三角形数学模型,利用相似三角形对应边的比相等解决问题. 知识探究 第二十七章 相似 4. 如图,AD⊥AB,EF ⊥ AB,BC ⊥ AB,DH ⊥ BC,DH交EF于G点,则AD=_=_,图中的相似三角形是 _∽_. EG BH DGF DHC 巩固练习 第二十七章 相似 1. 如图,要测量旗杆 AB 的高度, 可在地面上竖一根竹竿 DE, 测量出 DE 的长以及 DE 和 AB 在同一时刻下地面上的影长即 可,则下面能用来求AB长的等式是 ( ) A. B. C. D. C 课堂检测 第二十七章 相似 2. 如图,九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度,当身高 1.6 米的楚阳同学站在 C 处时,他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合,同一时刻,其他成员测得 AC = 2 米,AB = 10 米,则旗杆的高度是_米. 8 课堂检测 第二十七章 相似 3. 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点 A,再在河的这一边选点 B 和 C,使 AB⊥BC,然后,再选点 E,使 EC ⊥ BC ,用视线确定 BC 和 AE 的交点 D. 此时如果测得 BD=120米, DC=60米,EC=50米, 求两岸间的大致距离 AB. E A D C B 60m 50m 120m 课堂检测 第二十七章 相似 解:∵ ∠ADB=∠EDC, ∠ABC=∠ECD=90 , ∴ ABD∽ ECD. ∴ ,即 , 解得 AB = 100(m). 因此,两岸间的大致距离为 100 m. E A D C B 60m 50m 120m 课堂检测 第二十七章 相似 4.如图,某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度,他们通过调整测量位置,使斜边 DF 与地面保持平行,并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上,已知 DE = 0.5 米,EF = 0.25 米,目测点 D 到地面的距离 DG = 1.5 米,到旗杆的水平距离 DC = 20 米, 求旗杆的高度. A B C D G E F 课堂检测 第二十七章 相似 A B C D G E F 解:由题意可得: DEF∽ DCA, ∵DE=0.5米,EF=0.25米,DG=1.5米,DC=20米, 则 解得:AC = 10, AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 (m). 答:旗杆的高度为 11.5 m. ∴ 课堂检测 第二十七章 相似 5.如图,某一时刻,旗杆 AB 的影子的一部分在地面上,另一部分在建筑物的墙面上.小明测得旗杆 AB 在地面上的影长 BC 为 9.6 m,在墙面上的影长 CD 为 2 m.同一时刻,小明又测得竖立于地面长 1 m 的标杆的影长为 1.2 m.请帮助小明求出旗杆的高度. A B C D 课堂检测 第二十七章 相似 解:如图:过点 D 作 DE∥BC,交 AB 于点 E, ∴ DE = CB = 9.6 m,BE = CD = 2 m, ∵ 在同一时刻物高与影长成正比例, ∴ EA : ED=1 : 1.2,∴ AE = 8 m, ∴ AB = AE + EB = 8 + 2 = 10 (m), 故学校旗杆的高度为 10 m. E A B C D 课堂检测 第二十七章 相似 课堂检测 6.小刚身高1.7m,测得他站立在阳光下的影子长为 0.85m,紧接着他把手臂竖直举起,测得影子长为 1.1m,那么小刚举起的手臂超出头顶( ) A. 0.5m B. 0.55m C. 0.6m D . 2.2m 7.如图,小明在打网球时,使球恰好能打过网,而且 落在离网4米的位置上,则球拍击球的高度h为_. A 1.5米 第二十七章 相似 课堂检测 8.如图,为了估算河的宽度,我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选定点B和点C,使AB⊥BC,然后,再选点E,使EC⊥BC,用视线确定BC和AE的交点D,此时如果测得BD=118米,DC=61米,EC=50米,求河的宽度AB(精确到0.1米). 第二十七章 相似 课堂检测 解:∵∠ADB=∠EDC ∠ABD=∠ECD= 90 答:河的宽度AB约为96.7米. ∴ ABD∽ ECD (两角分别相等的两个三角形相似), 解得 第二十七章 相似 相似三角形的应用举例 利用相似三角形测量高度 利用相似三角形测量宽度 利用相似解决有遮挡物问题 课堂小结 第二十七章 相似 1.教材作业 2.课后习题作业 课后作业 第二十七章 相似 $$