27.2.2 相似三角形的性质 课件 2024-2025学年人教版九年级数学下册

第二十七章 27.2.2 相似三角形的性质 第二十七章 相似图形 课堂环节导航 新知导入 知识探究 课堂小结 学习目标 课堂检测 课后作业 第二十七章 相似图形 相似三角形的判定方法有哪几种？ 1.对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似. 2.平行于三角形一边，与另外两边相交所构成的三 角形与原三角形相似. 3. 三边对应成比例的两三角形相似. 4. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 5. 两角分别相等的两个三角形相似. 6. 两边对应成比例的两直角三角形相似. 新知导入 第二十七章 相似图形 三角形除了三个角,三条边外,还有哪些要素? 【思考】如果两个三角形相似，那么它们的这些要素有一些怎样的性质呢? 高线 角平分线 中线 面积 周长 新知导入 第二十七章 相似图形 1. 在理解相似三角形特征的基础上，掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积的比等性质，并运用其进行计算与推理. 2.通过实践体会相似三角形的性质，会用性质与判定解决相关的问题. 学习目标 第二十七章 相似图形 三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何量？ 高、角平分线、中线的长度，周长、面积等 高 角平分线 中线 知识探究 第二十七章 相似图形 A B C A' B' C' 知识点 1 相似三角形对应线段的比 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 ，它们对应高线、对应中线、对应角平分线的比各是多少？ 知识探究 第二十七章 相似图形 A C B A′ B′ C′ （2） △ABC ∽△A′B′C′ 相似比为 对应高的比 D′ D 知识探究 第二十七章 相似图形 C A′ B′ C′ （1） △ABC ∽△A′B′C′ 相似比为 对应中线的比 D′ D A B 知识探究 第二十七章 相似图形 C A′ B′ C′ （3） △ABC ∽△A′B′C′ 相似比为 对应角平分线的比 D′ D A B 知识探究 第二十七章 相似图形 如图， △ABC ∽△A′B′C′ ，若相似比为k ，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比又各是多少？ A B C A' B' C' 知识探究 第二十七章 相似图形 相似三角形对应高的比等于相似比 证明： ∵△ A′B′C′∽△ABC， ∴ ∠B′= ∠B． 又∵ ∠A'D′B' =∠ADB =90°, ∴△A′B′D′∽△ABD 从而 如图，△A′B′C′ ∽△ABC，相似比为k，分别作BC，B′C′上的高AD，A′D′． 求证： 知识探究 第二十七章 相似图形 12 12 证明：∵△ABC∽△DEF. 相似三角形对应中线的比等于相似比. A B C M D E F N 又∵AM、DN分别是△ABC和△DEF的中线. ∴△ABM∽△DEN. 求证： 已知： △ABC∽△DEF. AM、DN分别为中线 ∴BC=2BM,EF=2EN, ∴ ∴ ∴∠B =∠E, 知识探究 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 第二十七章 相似图形 证明：∵△ABC∽△DEF. ∴∠B =∠E, ∠BAC=∠EDF. 又∵AM、DN分别是∠BAC和∠EDF的角平分线. 相似三角形对应角平分线的比等于相似比. A B C M D E F N 求证： 已知： △ABC∽△DEF. AM、DN分别为角平分线 ∴ ∴∠BAM=∠EDN. ∴△AMB∽△DNE. ∴ ， ， 知识探究 第二十七章 相似图形 相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比. 相似三角形对应高的比等于相似比. 一般地，我们有： 相似三角形对应线段的比等于相似比. 归纳总结 知识探究 第二十七章 相似图形 解：∵ △ABC ∽△DEF， 　 D E F H 例1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC和 △DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4cm，BG = 4.8 cm. 求 EH 的长. ∴ ∴ ，解得 EH = 3.2. A G B C 故 EH 的长为 3.2 cm. 素养考点 1 利用相似三角形对应线段的比求线段的长度 知识探究 第二十七章 相似图形 1.相似三角形对应边的比为2∶3,那么相似比为________,对应角的角平分线的比为 . 2∶ 3 2 ∶ 3 2.两个相似三角形对应边上的高的比为1∶4 , 若一个三角形的最长边是为12，则另一个三角形的最长边是_______. 3或48 巩固练习 第二十七章 相似图形 相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？ 【想一想】 知识探究 第二十七章 相似图形 相似三角形周长的比等于相似比. 已知： 求证： 证明1： ∴ ∴ (等比性质) A C B B′ A′ C′ ∵△ABC ∽△A′B′C′ △ABC ∽△A′B′C′ 知识探究 第二十七章 相似图形 A B C 证明2： ∴AB=kA′B′，BC=kB′C′，AC=kA′C′ 相似三角形的周长比等于相似比 ∵△ABC ∽△A′B′C′， 相似比为k ∴ A′ B′ C′ 知识探究 第二十七章 相似图形 3.相似三角形对应边的比为2∶5,那么周长比为________. 2∶5 4.两个相似三角形周长的比为1∶7 , 则它们的相似比为_______,对应边上角平分线的比为_______. 1∶7 1∶7 知识探究 第二十七章 相似图形 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k，它们的面积比是多少？ A B C A' B' C' 知识点 2 相似三角形面积的比 知识探究 第二十七章 相似图形 由前面的结论，我们有 A B C A' B' C' D' D 知识探究 第二十七章 相似图形 ∴ 几何表述: 相似三角形性质定理: 相似三角形面积的比等于相似比的平方. ∵△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k ， 归纳: ∴ A′ B′ C′ A B C 知识探究 第二十七章 相似图形 5. 已知两个三角形相似，请完成下列表格： 相似比 2 k …… 周长比 …… 面积比 10000 …… 2 4 100 100 k k2 巩固练习 第二十七章 相似图形 解：在 △ABC 和 △DEF 中， ∵ AB=2DE，AC=2DF， 又 ∵∠D=∠A， ∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2. A B C D E F ∴ 例2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ， AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积. 素养考点 1 利用相似三角形面积的比求面积或线段 知识探究 第二十七章 相似图形 A B C D E F 面积为 ∴△DEF 的边 EF 上的高为 ， ∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ， 知识探究 第二十七章 相似图形 6. 如果两个相似三角形的面积之比为 4 : 9，较大三角形一边上的高为 18，则较小三角形对应边上的高为______. 12 巩固练习 第二十七章 相似图形 例3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为100 cm2，且 ，求四边形 BCDE 的面积. 　 ∴ △ADE ∽△ABC. ∵ 它们的相似比为 3 : 5， ∴ 面积比为 9 : 25. B C A D E 解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且 素养考点 2 利用相似三角形面积的比求多边形的面积(比） 又∵ △ABC 的面积为 100 cm2， ∴ △ADE 的面积为 36 cm2 . ∴ 四边形 BCDE 的面积为100－36 = 64 (cm2). 知识探究 第二十七章 相似图形 7. 如图，这是圆桌正上方的灯泡 （点A ） 发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米，则地面上阴影部分的面积约为多少 (结果保留两位小数)？ A D E F C B H 解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米，桌面的直径为 1.2 米， ∴ AF = AH－FH = 2 (米)，DF = 1.2÷2 = 0.6(米). ∵DF∥CH，∴△ADF ∽△ACH， 巩固练习 第二十七章 相似图形 ∴ 即 解得 CH = 0.9米. (平方米). 答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米. ∴ 阴影部分的面积为： A D E F C B H 巩固练习 第二十七章 相似图形 3. 把一个三角形变成和它相似的三角形， (1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为 原来的______倍； (2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大 为原来的______倍. 25 10 基础巩固题 课堂检测 第二十七章 相似图形 4. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm， (1) 它们的周长差 60 cm，这两个三角形的周长分别是________________； (2) 它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面积分别是______________. 100 cm、40 cm 50 cm2、8 cm2 基础巩固题 课堂检测 第二十七章 相似图形 如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值. A B C D F E 解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点， ∴ △ADE ∽ △ABC ， 相似比为 1 : 2， 因此面积比为 1 : 4. ∴ 能力提升题 课堂检测 第二十七章 相似图形 A B C D F E 又∵ EF∥AB， ∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2， 面积比为 1 : 4. 设 S△ABC= 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1， S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2， ∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 :4 = 能力提升题 课堂检测 第二十七章 相似图形 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于点 D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求 S△ADE ∶S△ABC 解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，则 ∴ 又∵ DE∥BC，∴ △ADE ∽△ABC. A B C D E F 拓广探索题 课堂检测 第二十七章 相似图形 ∴ 即 S△ADE : S△ABC ＝4 : 9. 拓广探索题 A B C D E F 课堂检测 第二十七章 相似图形 相似三角形的性质 相似三角形对应线段的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 相似三角形性质的运用 课堂小结 第二十七章 相似图形 1.教材作业 2.课后习题作业 课后作业 第二十七章 相似图形 $$