26.1.2 反比例函数的图象和性质 课件 2024-2025学年人教版九年级数学下册

第二十六章 26.1.2 反比例函数的图象和性质 第二十六章 反比例函数 课堂环节导航 新知导入 知识探究 学习目标 课堂检测 新知导入 知识探究 课堂小结 学习目标 课堂检测 课后作业 第2课时 第1课时 第二十六章 反比例函数 初步认识反比例函数的图象和性质 第1课时 第二十六章 反比例函数 （2）试一试，你能在坐标系中画出这个函数的图象吗？ 刘翔在2004 年雅典奥运会110 m 栏比赛中以 12.91s 的成绩夺得金牌，被称为中国“飞人” .如果刘翔在比赛中跑完全程所用的时间为 t s，平均速度为v m/s . （1）你能写出用t 表示v 的函数 表达式吗? 新知导入 第二十六章 反比例函数 2. 结合图象分析并掌握反比例函数的性质. 1. 会用描点法画反比例函数的图象 . 3. 体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法. 学习目标 第二十六章 反比例函数 画出反比例函数 与 的图象. 知识点1 反比例函数的图象和性质 【想一想】 用“描点法”画函数图象都有哪几步？ 列表 描点 连线 知识探究 第二十六章 反比例函数 6 解：列表如下： x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 … … … … … －1 －1.2 －1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1.2 1 －2 －2.4 －3 －4 －6 6 4 3 2.4 2 － 12 12 注：x的值不能为零，但可以以零为基础，左右均匀、对称地取值。 知识探究 第二十六章 反比例函数 7 O －2 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出各点． 5 6 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 －3 －4 －1 －5 －6 －1 －2 －3 －4 －5 －6 连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可 得 的图象． 知识探究 第二十六章 反比例函数 8 x 增大 O －2 5 6 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 －3 －4 －1 －5 －6 －1 －2 －3 －4 －5 －6 观察这两个函数图象，回答问题： 【思考】 (1) 每个函数图象分 别位于哪些象限？ (2) 在每一个象限内， 随着x的增大，y 如何 变化？你能由它们的 解析式说明理由吗？ y 减 小 知识探究 第二十六章 反比例函数 9 (3) 对于反比例函数 (k＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？ O x y 知识探究 第二十六章 反比例函数 （1）由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限，它们与 x 轴、y 轴都不相交； （2）在每个象限内，y 随 x 的增大而减小. 反比例函数 (k＞0) 的图象和性质： 归纳： O x y 知识探究 第二十六章 反比例函数 1. (1)函数 图象在第_______象限，在每个象限内， y随x的增大而 ______. 一、三 减小 (2)已知反比例函数 在每一个象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围是_____. m＞2 巩固练习 第二十六章 反比例函数 A. y1 > y2 B. y1 = y2 C. y1 < y2 D. 无法确定 C 例1 反比例函数 的图象上有两点 A(x1，y1)，B(x2， y2)，且点A，B 均在该函数图象的第一象限部分，若 x1＞ x2，则 y1与y2的大小关系为 （　　） 解析：因为8＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分，根据 x1＞x2，可知y1，y2的大小关系. 素养考点 1 利用反比例函数的性质比较大小 知识探究 第二十六章 反比例函数 观 察 与 思 考 当 k =－2，－4，－6时，反比例函数 的图象，有哪些共同特征？ y x O y x O y x O 知识探究 第二十六章 反比例函数 回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k＜0)的图象和性质吗？ y x O y x O y x O 知识探究 第二十六章 反比例函数 反比例函数 (k＜0) 的图象和性质： （1）由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限，它们与x轴、y轴都不相交； （2）在每个象限内，y随x的增大而增大. 归纳： y x O 知识探究 第二十六章 反比例函数 反比例函数的图象和性质 形状 位置 增减性 图象的发展趋势 对称性 由两支曲线组成的.因此称它的图象为双曲线; 当k>0时,两支双曲线分别位于第一、三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别位于第二、四象限内; 当k>0时,在每一象限内, y随x的增大而减小; 当k<0时,在每一象限内, y随x的增大而增大. 反比例函数的图象无限接近于x、y轴,但永远不能到达x、y轴. （1）反比例函数的图象是轴对称图形，也是中心对称图形.直线y=x和y=-x都是它的对称轴；（2）反比例函数 与 的图象关于x轴对称,也关于y轴对称. 知识探究 第二十六章 反比例函数 2.（1）已知点 A（－3，a），B（－2，b），在双曲线 ，则 a___b(填>、=或<). > （2）已知点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)在反比例函数 （k≠0) 的图象上,则下列结论中正确的是(　　) A.y1>y2>y3　　B.y1>y3>y2 C.y3>y1>y2 D.y2>y3>y1 B 巩固练习 第二十六章 反比例函数 18 例2 已知反比例函数 ，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大，求a的值. 解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0． 解得 a=－3. 素养考点 2 利用反比例函数的图象和性质求字母的值 知识探究 第二十六章 反比例函数 3. 已知反比例函数 在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值． 解：由题意得 m2－10=－1，且 3m－8＞0． 解得m=3. 巩固练习 第二十六章 反比例函数 1.已知点 都在反比例 函数 的图象上,则 y1、y2与 y3的大小关系 (从大到小)为 . A(-2,y1),B(-1,y2),C(4,y3) y3 ＞y1＞y2 能力提升题 课堂检测 第二十六章 反比例函数 21 2. 已知反比例函数 y = mxm²－5，它的两个分支分别在第一、第三象限，求 m 的值. 解：因为反比例函数 y = mxm²－5 的两个分支分别在第一、第三象限， 所以有 m2－5=－1， m＞0， 解得 m=2. 能力提升题 课堂检测 第二十六章 反比例函数 点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数 (k＞0) 的图象上，若y1＜y2，求a的取值范围. 解：由题意知，在图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小. ∴a－1＞a+1，无解； ②当这两点分别位于图象的两支上时， ∵y1＜y2，∴必有 y1＜0＜y2. ∴a－1＜0，a+1＞0， 解得：－1＜a＜1. 故 a 的取值范围为：－1＜a＜1． 拓广探索题 ① 当这两点在图象的同一支上时， ∵y1＜y2， 课堂检测 第二十六章 反比例函数 解析式 图象 所在 象限 渐进性 k>0，一、三象限 双曲线 k﹤0，二、四象限 x y o x y o 当k>0时,在每一象限 内, y随x的增大而减小 当k﹤0时,在每一象限 内, y随x的增大而增大 增减性 双曲线的两支无限靠近坐标轴，但无交点 对称性 既是轴对称图形也是中心对称图形 与 的图象关于x轴对称,也关于y轴对称 或 或 课堂检测 第二十六章 反比例函数 www.czsx.com.cn 24 反比例函数的图象和性质的综合运用 第2课时 第二十六章 反比例函数 二、四象限 一、三象限 函数 正比例函数 反比例函数 解析式 图象形状 K>0 K<0 位置 增减性 位置 增减性 y=kx ( k≠0 ) 直线 双曲线 y随x的增大而增大 一、三象限 在每个象限， y随x的增大而减小 二、四象限 y随x的增大而减小 在每个象限， y随x的增大而增大 正比例函数和反比例函数的区别 用对比的方法去记忆效果如何？ y x o y x o o y x o y x 新知导入 第二十六章 反比例函数 3. 深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法. 1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中. 2.能解决反比例函数与一次函数的综合问题． 学习目标 第二十六章 反比例函数 已知反比例函数的图象经过点A(2，6). (1)这个函数的图象分布在哪些象限? y随x的增大如何变化? (2)点B(3，4)、C( ）和D（2，5）是否在这个 函数的图象上？ 知识点 1 利用待定系数法确定反比例函数解析式 解：（1）因为点A（2,6）在第一象限，所以这个函数的图象在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。 知识探究 第二十六章 反比例函数 解：（2）设这个反比例函数的解析式为 ， 因为点A (2，6)在其图象上，所以有 ， 解得 k =12. 因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上. 所以反比例函数的解析式为 . 知识探究 第二十六章 反比例函数 方法总结：已知反比例函数图象上一点，可以根据坐标确定点所在的象限，然后确定反比例函数的性质.或用待定系数法求出反比例函数的解析式，再判断图象性质；要判断所给的点是否在该图象上，可以将其坐标代入求得的反比例函数解析式中，若满足左边＝右边，则在；若不满足左边＝右边，则不在． 【讨论】已知反比例函数图象上的一点,如何确定其图象的性质?以及所给的点是否在该图象上? 知识探究 第二十六章 反比例函数 1.已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)． (1) 求这个函数的表达式； 解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)， ∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ， 　　 解得 k = 6. ∴ 这个函数的表达式为 . 　　 巩固练习 第二十六章 反比例函数 (2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的图象上，并说明理由； 解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点C的坐标满足该解析式，所以点 B 不在该函数的图象上，点C 在该函数的图象上． 巩固练习 第二十六章 反比例函数 (3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围． 解：∵ 当 x = －3时，y =－2； 当 x = －1时，y =－6，且 k > 0， ∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小， ∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2. 巩固练习 第二十六章 反比例函数 解：（１）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、第三象限，或者分布在第二、第四象限.这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限． ∵函数的图象在第一、第三象限， ∴　m－５＞０， 解得 m＞５．　 知识点 2 如图是反比例函数 的图象一支，根据图象回答下列问题 ： （1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a，b）和B（a′，b′），如果a>a′，那 么b和b′有怎样的大小关系？ 反比例函数的综合性题目 （２）∵m－５＞０，在这个函数图象的任一支上，y随x的增大而减小， ∴当a＞a′时，b＜b′． 知识探究 第二十六章 反比例函数 【思考】根据反比例函数的部分图象，如何确定其完整图象的位置以及比例系数的取值范围? 注：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k＜0时，y随x的增大而增大，从而出现错误. 知识探究 第二十六章 反比例函数 2. 如图，是反比例函数 的图象的一个分支，对于 给出的下列说法： ①常数k的取值范围是 ； ②另一个分支在第三象限； ③在函数图象上取点 和 ， 当 时， ； ④在函数图象的某一个分支上取点 和 ， 当 时， ． 其中正确的是____________（在横线上填出正确的序号）． ① ② ④ O x y 巩固练习 第二十六章 反比例函数 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下页表格： 知识点 3 反比例函数中k的几何意义 知识探究 第二十六章 反比例函数 5 1 2 3 4 －1 5 x y O P S1 S2 P (2，2) Q (4，1) S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想 S1，S2 与 k的关系 4 4 S1=S2 S1=S2=k －5 －4 －3 －2 1 4 3 2 －3 －2 －4 －5 －1 Q 知识探究 第二十六章 反比例函数 S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与k 的关系 P (－1，4) Q (－2，2) 若在反比例函数 中也用同样的方法分别取 P，Q 两点，填写表格： 4 4 S1=S2 S1=S2=－k y x O P Q S1 S2 知识探究 第二十六章 反比例函数 由前面的探究过程，可以猜想： 若点P是 图象上的任意一点，作 PA 垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形AOBP 的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|. 知识探究 第二十六章 反比例函数 y x O P S 我们就 k < 0 的情况给出证明： 设点 P 的坐标为 (a，b) A B ∵点 P (a，b) 在函数 的图 象上， ∴ ，即 ab=k. ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k； 若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0， 若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0， ∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k. B P A 综上，S矩形 AOBP=|k|. 自己尝试证明 k > 0的情况. 知识探究 第二十六章 反比例函数 点 Q 是其图象上的任意一点，作 QA 垂直于 y 轴，作 QB 垂直于x 轴，矩形AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ= . 推理：△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是 . Q 对于反比例函数 ， A B |k| y x O 反比例函数的面积不变性 要 点 归 纳 知识探究 第二十六章 反比例函数 3.如图，点B在反比例函数 (x>0）的图象上，横坐标是1，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足为A、C，则矩形OABC的面积为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 B 巩固练习 第二十六章 反比例函数 例1 如图，点A在反比例函数 的图象上，AC垂直 x 轴于点C，且 △AOC 的面积为2，求该反比例函数的表达式． 解：设点 A 的坐标为(xA，yA)， ∵点A在反比例函数 的图象上，∴ xA·yA＝k， ∴反比例函数的表达式为 素养考点 1 通过图形面积确定k的值 ∴ ，∴ k＝4， 知识探究 第二十六章 反比例函数 4.如图所示，过反比例函数 （x>0）的图象上一点A，作AB⊥x轴于点B，连接AO.若S△AOB=3,则k的值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 C 巩固练习 第二十六章 反比例函数 例2 如图，P，C是函数 (x>0)图象上的任意两点，PA，CD 垂直于x 轴. 设△POA 的面积为S1，则 S1 = ；梯形CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2； △POE 的面积 S3 和 S2 的大小 关系是S2 S3. 2 S1 S2 ＞ ＝ S3 素养考点 2 利用k的性质判断图形面积的关系 知识探究 第二十六章 反比例函数 A. SA >SB>SC B. SA<SB<SC C. SA =SB=SC D. SA<SC<SB 5. 如图，在函数 (x＞0)的图象上有三点A，B ，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则 ( ) y x O A B C C 巩固练习 第二十六章 反比例函数 y D B A C x 例3 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0)的图象上任意一点，AB//x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S四边形ABCD =___. 3 2 5  素养考点 3 根据k的几何意义求图形的面积 方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换，转化为较容易求面积的图形. 知识探究 第二十六章 反比例函数 6. 如图，函数 y＝－x 与函数 的图象相交于A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别为C，D，则 四边形ACBD的面积为 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 D y x O C A B D 4 4 巩固练习 第二十六章 反比例函数 在同一坐标系中，函数 　和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？ k2 >0 b >0 k1 >0 k2 >0 b <0 k1 >0 ① x y O x y O ② 知识点 4 一次函数与反比例函数的组合图形 知识探究 第二十六章 反比例函数 k2 <0 b <0 k1 <0 k2 <0 b >0 ③ x y O k1 >0 ④ x y O 在同一坐标系中，函数 　和 y= k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？ 知识探究 第二十六章 反比例函数 例4 函数 y=kx－k 与 的图象大致是( ) D. x y O C. y y A. x B. x y O D O O k＜0 k＞0 × × × √ k＞0 k＜0 由一次函数增减性得k＞0 由一次函数与y轴交点知－k＞0， 则k＜0 x 提示：可对 k 的正负性进行分类讨论. 素养考点 1 根据k的值识别函数的图形 知识探究 第二十六章 反比例函数 7.在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1 (a≠0) 的图象可能是 ( ) A. y x O B. y x O C. y x O D. y x O B 巩固练习 第二十六章 反比例函数 例5 如图是一次函数 y1=kx+b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1﹥y2 时，x 的取值范围为 . －2 3 y x 0 －2< x <0 或 x >3 解析：y1﹥y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图， 素养考点 2 通过函数图形确定字母的取值范围 方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加简洁明了. 可知－2< x <0 或 x >3. 知识探究 第二十六章 反比例函数 8. 如图，直线y=k1x+b与双曲线 交于A、B两点， 其横坐标分别为1和5，则不等式 的解集 是_________． 1＜x＜5 巩固练习 第二十六章 反比例函数 例6 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4). 试求出它们的解析式，并画出图象. 由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)， 则点P 的坐标分别满足这两个解析式. 解：设 y=k1x 和 . 所以 ， . 解得 . 素养考点 3 利用函数的交点解答问题 知识探究 第二十六章 反比例函数 则这两个函数的解析式分别为 和 ， 它们的图象如图所示. 这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？ 【想一想】 知识探究 第二十六章 反比例函数 9. 反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为 ． (2，6)，(－2，－6) 解析：联立两个函数解析式解方程得： 解得： 巩固练习 第二十六章 反比例函数 3. 在反比例函数 图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是_______． k>9 基础巩固题 课堂检测 第二十六章 反比例函数 1.如图，正比例函数 与反比例函数 的图象 交于点A（2，3）． （1）求k、m的值； （2）写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围． （2）由图象可知，正比例函数值大于反比例函数值时：x＞2. 能力提升题 解：（1）将A（2，3）分别代入 y=kx 和 可得：3=2k 和 解得： ， m=6. 课堂检测 第二十六章 反比例函数 2. （2018•贵港）如图，已知反比例函数 （x＞0）的图象与一次函数 的图象交于A和B（6，n）两点． （1）求 k和n的值； （2）若点C（x，y）也在反比例函数 （x＞0）的图象上，求当2≤ x ≤6时，函数值 y的取值范围． 能力提升题 课堂检测 第二十六章 反比例函数 能力提升题 解：（1）当x=6时， ， ∴点B的坐标为（6，1）． ∵反比例函数 过点B（6，1）， ∴k=6×1=6． （2）∵k=6＞0， ∴当x＞0时，y随x值增大而减小， ∴当2≤ x ≤6时，1≤ y ≤3． 课堂检测 第二十六章 反比例函数 如图，反比例函数 与一次函数 y =－x + 2 的图象交于 A，B 两点. (1) 求 A，B 两点的坐标； A y O B x 解： y=－x + 2 ， 解得 x = 4， y =－2 所以A(－2，4)，B(4，－2). 或 x = －2， y = 4. 拓广探索题 课堂检测 第二十六章 反比例函数 作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D， 则AC=4，BD=2. (2) 求△AOB的面积. 解：∵一次函数与x轴的交点为M (2，0)， ∴OM=2. O A y B x M C D ∴S△OMB=OM·BD÷2=2×2÷2=2， ∴S△OMA=OM·AC÷2=2×4÷2=4， ∴S△AOB=S△OMB+S△OMA=2+4=6. 拓广探索题 课堂检测 第二十六章 反比例函数 面积问题 与一次函数的综合 反比例函数图象和性质的综合运用 面积不变性 反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称 判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负 课堂小结 第二十六章 反比例函数 1.教材作业 2.课后习题作业 课后作业 第二十六章 反比例函数 $$