精品解析：云南2026届高三下学期5月联考数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，则集合B可能为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是奇函数，当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4. 2026人形机器人半程马拉松于4月19日开跑，有300多台机器人参赛．某人形机器人行走时，踝关节摆动高度y（单位：cm）随时间t（单位：s）的变化满足，已知该机器人踝关节完成一次完整的摆动动作需要的时间为s，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的前n项和，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 6. 已知，均为锐角，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，直线与双曲线的一条渐近线交于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，若，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（ ） A. 的周长为16 B. C. D. 直线的斜率为 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 存在，使得函数恰有两个零点 11. 已知数列的通项公式为，数列的通项公式为．若，当时，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某市开展餐饮消费调查，比较预制菜餐厅与传统现炒餐厅的翻台率（每天每桌接待顾客批次），得到预制菜餐厅的平均翻台率为3.2次/（桌·天），传统现炒餐厅的平均翻台率为2.4次/（桌·天）．已知该市餐饮协会数据显示，全市营业餐厅中，预制菜餐厅约占40%，其余的都是传统现炒餐厅，据此估计，全市餐厅的平均翻台率约为______次/（桌·天）． 13. 已知函数没有极值点，则______． 14. 如图，在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，． （1）求c； （2）点D在边上，若的面积为，求． 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，E，F，G分别是，，的中点，点O在线段上，平面，，，，． （1）证明：平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛共3局，获胜局数多的人赢得本次比赛．已知第一局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.6，0.4，此后，若上一局甲获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.7，0.3，若上一局乙获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.5，0.5． （1）求甲赢得本次比赛的概率； （2）用表示甲获胜的局数，求的分布列与期望． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，，求的取值范围； （3）证明：，，． 19. 已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点，当时，． （1）求抛物线C的方程． （2）记过点P且与抛物线C相切的直线为l，过点P作直线l的垂线交抛物线C于另一点H，求的最小值． （3）是否存在定圆M，使得以为直径的圆始终与圆M相切？若存在，求出圆M的方程；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，则集合B可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义求解. 【详解】若，则，故A错误； 若,则，故B错误； 若,则，故C错误； 若,则，故D正确； 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 则. 3. 已知是奇函数，当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知是奇函数，则，则， 因， 故． 4. 2026人形机器人半程马拉松于4月19日开跑，有300多台机器人参赛．某人形机器人行走时，踝关节摆动高度y（单位：cm）随时间t（单位：s）的变化满足，已知该机器人踝关节完成一次完整的摆动动作需要的时间为s，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】的最小正周期为， 又该机器人踝关节完成一次完整的摆动动作需要的时间为s， 则，解得. 5. 已知数列的前n项和，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 6. 已知，均为锐角，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】因为，且均是锐角，所以，所以，所以， 所以均为锐角，能推出， 反之，，且均为锐角，则或， 所以或，所以或， 所以均是锐角，推不出， 因此均为锐角，是的充分不必要条件. 7. 已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，直线与双曲线的一条渐近线交于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的渐近线方程及的关系列出等式关系求解离心率. 【详解】 因为，所以，双曲线的渐近线方程为， 将代入渐近线方程中得，不妨设. 由两点间距离公式可得，展开得， 再代入，化简得，即. 故离心率. 8. 在中，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，利用向量的几何意义得出垂直关系求出，进而利用三角形内角和求出． 【详解】表示点到的垂线段长度， 已知，，则点到的距离不小于，即， 故是这些距离中最小的一个，即与重合，垂足为， ，， 由三角形内角和可得：． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且位于第一象限，，则（ ） A. 的周长为16 B. C. D. 直线的斜率为 【答案】AC 【解析】 【详解】由题可知，∴，， ∴，的周长为，A选项正确； ∵，∴，∴，B选项错误； ，∴，C选项正确； ， ∴， ∴斜率，D选项错误. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 存在，使得函数恰有两个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据正弦函数非负确定定义域，再结合复合函数单调性判断区间单调性；通过方程变形为两个函数图像的交点问题，利用平移和交点个数判断值域中是否包含特定值及零点个数. 【详解】令，解得，所以的定义域为，A正确. 当时，函数单调递增，所以在上单调递增，C正确. 记，则. 当时，函数与的图象显然没有交点， 即的值域中一定不含，B错误. 当时，函数与的图象如图所示， 若将函数的图象往右移一点，两个函数的图象有两个交点， 所以存在，使得函数恰有两个零点，D正确. 11. 已知数列的通项公式为，数列的通项公式为．若，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】当时，整数属于第个区间． 由题设， 而所以 另一方面，整数属于第个区间． 由题设， 因此，对任意，均有等价于 由上述估计可知对成立． 特别地，且，所以，进而．故A正确． 下面确定．由上述双边估计，并且 两式相减，得 又，所以 若，则随着增大可以任意大，与上式的右侧不等式矛盾； 若，则随着增大可以任意小，与上式的左侧不等式矛盾． 所以，故D正确． 于是． 代入上述估计，得 若，则中间的式子随着增大可以任意大； 若，则中间的式子随着增大可以任意小． 两种情况都与上式矛盾，所以，从而． 因此C错误． 因为，所以对任意正整数， 又，所以B正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某市开展餐饮消费调查，比较预制菜餐厅与传统现炒餐厅的翻台率（每天每桌接待顾客批次），得到预制菜餐厅的平均翻台率为3.2次/（桌·天），传统现炒餐厅的平均翻台率为2.4次/（桌·天）．已知该市餐饮协会数据显示，全市营业餐厅中，预制菜餐厅约占40%，其余的都是传统现炒餐厅，据此估计，全市餐厅的平均翻台率约为______次/（桌·天）． 【答案】2.72 【解析】 【详解】全市餐厅的平均翻台率约为次/（桌·天）． 13. 已知函数没有极值点，则______． 【答案】1 【解析】 【详解】函数的定义域为且函数没有极值点，即函数是单调函数， 所以函数至多有一个零点， 令，则或或， ∴，即， ∴. 14. 如图，在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的体积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】取BD的中点E，分别求得AE，CE，由，得到，结合从而平面，得到AE为三棱锥的高，然后由求解. 【详解】取BD的中点E，连接AE，CE， 因为，， 所以 在中，由余弦定理得，则， 在中，由余弦定理得 所以， 则，所以， 因为，所以平面， 所以是三棱锥的高， 因为， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，． （1）求c； （2）点D在边上，若的面积为，求． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，进而利用余弦定理即可求解； （2）由（1）可求得，，进而利用三角形面积公式求得，进而利用余弦定理可求得． 【小问1详解】 因为，所以． 因为，所以， 由余弦定理得， 即，解得． 【小问2详解】 由（1）可得，． 因为，所以， 的面积为，解得． 由余弦定理可得. 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，E，F，G分别是，，的中点，点O在线段上，平面，，，，． （1）证明：平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为F，G分别是，的中点，所以，， 则四边形为平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面． 在中，．连接． 因为平面，平面，所以平面． 因为，所以平面平面． 因为平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】(1)利用线面平行的判定，面面平行的性质证明. (2)建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量，再利用向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：以，所在直线分别为y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ，，，，，， ，，． 设平面的法向量为， 则，取，得． ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛共3局，获胜局数多的人赢得本次比赛．已知第一局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.6，0.4，此后，若上一局甲获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.7，0.3，若上一局乙获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.5，0.5． （1）求甲赢得本次比赛的概率； （2）用表示甲获胜的局数，求的分布列与期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 0.1 0.25 0.356 0.294 ． 【解析】 【分析】（1）根据题意，甲赢得本次比赛的情况共3种，分别求得对应的概率，进而利用互斥事件的概率加法公式求解即可； （2）的可能值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，可得分布列，利用期望公式计算即可求解. 【小问1详解】 甲赢得本次比赛的情况共3种： 第1种情况，甲连胜2局，其概率； 第2种情况，甲第1局胜、第2局负、第3局胜，其概率； 第3种情况，甲第1局负、第2局胜、第3局胜，其概率． 故甲赢得本次比赛的概率为． 【小问2详解】 依题可知，的所有可能取值为0，1，2，3． ． 甲赢2局的情况共3种，分别为甲第1局胜、第2局胜、第3局负，甲第1局胜、第2局负、第3局胜，甲第1局负、第2局胜、第3局胜． ， ， ． 的分布列为： 0 1 2 3 0.1 0.25 0.356 0.294 ． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，，求的取值范围； （3）证明：，，． 【答案】（1） （2） （3）由（2）知，，当且仅当时，等号成立， 所以当时，． 当，时，，令，得，即． 因， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率得解； （2）先探索出，此时有，再利用导数证明即可； （3）由（2）可得当，时，，令，化简即可得证. 【小问1详解】 当时，，． ， 故所求切线方程为，即． 【小问2详解】 因为，，，所以 因，由，可得． 下面证明当时，，． 当时， 令函数，． ， 所以在上单调递减，所以， 即当时，，． 综上，a的取值范围是. 【小问3详解】 略 19. 已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点，当时，． （1）求抛物线C的方程． （2）记过点P且与抛物线C相切的直线为l，过点P作直线l的垂线交抛物线C于另一点H，求的最小值． （3）是否存在定圆M，使得以为直径的圆始终与圆M相切？若存在，求出圆M的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，圆 【解析】 【分析】（1）根据时，，建立方程求出即可得出抛物线方程； （2）设直线，利用与抛物线相切可得，由弦长公式得，令，，利用导数求最值即可； （3）设直线：，联立抛物线方程，由韦达定理可得以为直径的圆的圆心为，半径，设定圆的圆心，半径为，可根据，运算求解即可. 【小问1详解】 当时，轴， 此时，，解得， 所以抛物线C的方程为． 【小问2详解】 根据对称性，不妨设点P在第四象限，直线l的方程为，如图． 由消去得． 由得， 所以方程，即，解得， 所以，所以． 所以过点P且与直线l垂直的直线的方程为， 与联立消去可得． 设，，则，． 所以， 令，，则． 当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以， ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 【小问3详解】 设直线：，，． 由，得，，，， ，，则的中点． ， 则以为直径的圆的圆心为，半径． 假设存在符合题意的定圆M，设，半径为，则有， 即恒成立， 或恒成立． 若， 化简得， 由的任意性可知，解得， 故存在定圆，符合题意； 若， 化简得， 由的任意性可知，解得，舍去. 综上，存在定圆，使得以为直径的圆始终与圆M相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $