专题二：利用“垂线段最短”求最值2025年九年级中考数学复习

编号： 2 学生姓名： 年 级： 九年级 辅导科目：数学 课题 专题二：利用“垂线段最短”求最值 教学内容 【题型讲解】 类型一 一动一定 例1 如图，点P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA于点D，且PD＝5，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为___________. 例2 如图，点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，，AC＝3，则线段EF的最小值为___________. 方法解读 情形:直线l外有一定点A，直线l上有一动点B. 求解:A，B之间距离的最小值. 作辅助线:过点A作AB⊥l于点B. [结论]此时AB最小. 类型二 两动一定 例3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD是∠BAC的平分线.点P，O分别是AD，AC上的动点，求PC+ PQ的最小值. 例4 如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P，Q分别是BC，BD上的动点，求CQ+PQ的最小值. 方法解读 情形1:如图，OC是∠AOB的平分线，P是OB上一定点，M是OC上一动点，N是OB上一动点. 求解:PM+MN的最小值. 作辅助线:作点P关于OC的对称点P′，则点P′在OA上，过点P′作P′N⊥OB于点N,交OC于点M. [结论]PM+MN的最小值为PN. 情形2:∠AOB内部或边上一定点P， OA上一动点M,OB上一动点N. 求解:PN+MN的最小值. 作辅助线:过定点P作动点N所在直线的对称点P′，过P′向动点M所在直线作垂线. [结论]PN+MN的最小值为P′M. 注:也可作P关于OA的对称点P″，再过P“作OB的垂线即可. 类型三 一动两定（“胡不归”问题） 例5 如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+ 的最小值是_____. 例6 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，∠A＝45°，BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上的动点，求的最小值. 方法解读 情形:A，P为直线l上的两点，点A为定点，点P为动点，点B为直线l外一定点. 求解:kAP+BP（0＜k＜1）的最小值. 作辅助线: 一线:找带有系数l的线段AP; 二构:构造 sin 值等于k的角并利用直角三角形转化 kAP. ① 以定点A为顶点，在线段AP异于点B的另一侧构造∠PAN,使得 sin ∠PAN ＝k; ② 过点P作PE⊥AN于点E,构造Rt△APE. 三转化:化折为直，利用kPA＝sin∠PAN· PA＝PE转化kPA; 四求解:使得kAP+BP＝PE+BP,过点 B 作 BF ⊥ AN 于点 F,利用“垂线段最短“转化为求BF的长. [结论]当点P与P′重合时，kAP+BP取最小值，最小值为 BF 的长. 【综合练习】 1.如图，在Rt△AOB中，，∠A＝30°，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的切线PQ（其中点Q为切点），则线段PQ长度的最小值为 . 2.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是BC边的中点，F是直线DE上的动点.连接CF，将线段CF绕点C逆时针旋转90°得到CG，连接EG，则EG的最小值是 . 3.如图，在矩形ABCD中，点E是AD上的一个动点，点F是对角线BD上的一个动点，连接BE，EF，若AB＝5，AD＝10，则BE+EF的最小值为 . 4.如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为CD边上的动点，则的最小值为 . 5.如图，抛物线y＝x2-4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.连接AC.点P为y轴上一个动点，连接AP，求的最小值，并求出此时点P的坐标. 20 1 学科网（北京）股份有限公司 $$