2025年中考数学专题复习讲义一：一次、反比例函数中的线段、面积问题

编号： 1 学生姓名： 年 级： 九年级 辅导科目：数学 课题 专题一：一次、反比例函数中的面积、线段问题 教学内容 【方法掌握①】 例 已知反比例函数（k＞0，x＞0）与一次函数y＝k′x的图象交于点A，点B是x轴正半轴上的点. （1）如图① ，若AB⊥x轴，△AOB的面积为3，求反比例函数的解析式; （2）如图② ，四边形OCDB是矩形，BD与反比例函数的图象交于点E，连接OE，若k＝9，点A，E分别是CD，BD的中点，求四边形OADE的面积; （3）如图③ ，四边形AOBC是菱形，k′′，BC与反比例函数的图象交于点D，连接AD，OD，若，求△AOD的面积; 例题图③ （4）如图④ ，以AB为直角边向右构造等腰Rt△ABC，∠BAC＝ 90°，过点A作AD⊥y轴于点D，以AD为斜边向上构造等腰Rt△ADE，点C，点E恰好都落在该反比例函数的图象上，若△ABC的面积为10，求△ADE的面积. 例题图④ 满分技法 情形一:有一边与坐标轴平行或重合 直接使用三角形的面积公式S＝ ·h，其中AB为三角形在坐标轴上（或平行于坐标轴）的一条边，h为AB边上的高. 若需要计算四边形的面积，可考虑利用作辅助线，将四边形面积划分为方便计算的三角形面积，对于特殊四边形，也可考虑使用面积计算公式. 情形二:三边均不与坐标轴平行或重合 方法1:分割法 图① :S△ABC·（AF+CE）; 图② :S△ABC·（AF+CE） 方法2:补形法 图③ :S△ABC＝S△AFC-S△AEF-S△ABE-S△BEC; 图④ :S△ABC＝S△AEC-S△ABE-S△BEC 【题型讲解】 类型一 有一边与坐标轴平行或重合 1.在平面直角坐标系中，过点（1，2）作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（-2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1. （1）求k，b的值; （2）若点D在y轴负半轴上，且满足S△COD＝ △BOC，求点D的坐标. 3.如图，一次函数y＝x+1的图象交y轴于点A，与反比例函数（x＞0）的图象交于点B（m，2）. （1）求反比例函数的表达式; （2）求△AOB的面积. 4.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0， -4），B（2，0），交反比例函数（x＞0）的图象于点G（3，a），点P在反比例函数的图象上，横坐标为n（0＜n＜3），PQ∥y轴交直线AB于点Q，D是y轴上任意一点，连接PD，QD. （1）求一次函数和反比例函数的表达式; （2）求△DPQ面积的最大值. 类型二 三边均不与坐标轴平行或重合 5.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（x＞0）的图象与正比例函数y＝kx，（k＞1）的图象分别交于点A，B，若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是_____. 6.如图，曲线l是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（， ），B（，）的直线与曲线l相交于点M，N，则△OMN的面积为 . 7.如图，一次函数y＝kx +2（k≠0）的图象与反比例函数（m≠ 0，x＞0）的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（-4，0）. （1）求k与m的值; （2）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值. 类型三 与规律探索有关的面积问题 8.如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y＝x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1;过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2;过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下去，所得的正方形AnBnCnDn的面积是 . 【方法掌握②】 例 已知一次函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B的右侧）. （1）如图① ，点P是x轴正半轴上一点，若∠APB＝90°，求OP的最小值; （2）如图② ，点C是反比例函数（x＞0）图象上一点，若AB⊥ OC，求的值; （3）如图③ ，点C是y轴正半轴上的点，连接AC，BC，若k＝2，CA ＝CO，求BC的长; （4）如图④ ，若k＝1，将一次函数y＝kx的图象向下平移b个单位长度（b＞0）后得到直线l，直线l与反比例函数的图象在第一象限内交于点C，与x轴相交于点D，求OC2-OD2的值. 【题型讲解】 类型一 线段最值问题 1.如图，点A在反比例函数（x＞0）的图象上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（ ） A.1 D.4 2.如图，在平面直角坐标系中，Q是直线上的一个动点，将Q绕点P（1，0）顺时针旋转90°，得到点Q′，连接OQ′，则OQ′的最小值为（ ） 类型二 线段比值问题 3.如图，在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的顶点A与原点O重合，顶点B落在x轴的正半轴上，对角线AC， BD交于点M，点D，M恰好都在反比例函数y （x＞0）的图象上，则的值为（ ） C.2 4.如图，矩形ABOC的顶点O在坐标原点，顶点B，C分别在x，y轴的正半轴上，顶点A在反比例函数（k为常数，k＞0，x＞0）的图象上，将矩形ABOC绕点A按逆时针方向旋转90°得到矩形AB′O′C′，若点O的对应点O′恰好落在此反比例函数图象上，则的值是 . 类型三 计算线段长 5.平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与双曲线（k＞2）相交于A，B两点，其中点A在第一象限，设M（m，2）为双曲线（k＞2）上一点，直线AM，BM分别交y轴于C，D两点，则OC-OD的值为（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 6.如图，在△ABC中，AC ＝BC，AB⊥x轴，垂足为A，反比例函数 （x＞0）的图象经过点C，交AB于点D，已知AB＝4， （1）若OA＝4，求k的值; （2）连接OC,若BD＝BC,求OC的长. 【综合练习】 1.如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 第1题图 第2题图 2.如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过C，D两点.已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为（　　） A.（4，） B.（，3） C.（5，） D.（，） 3.如图，在等腰Rt△ABO中，∠A＝90°，点B的坐标为（0，2），若直线l:y＝mx+m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，则m的值为_____. 第3题图 第4题图 4.如图，已知点A是一次函数（x≥0）图象上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点（B在A上方），在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数（x＞0）的图象过点B，C.若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是______. 5.如图，正比例函数y＝ kx的图象与反比例函数（x＞0）的图象交于点A（a，4）.点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交正比例函数的图象于点D. （1）求a的值及正比例函数y＝kx的表达式; （2）若BD＝10，求△ACD的面积. 6.如图，一次函数y＝kx +b的图象与反比例函数的图象相交于A（-1，m），B（n，-1）两点. （1）求一次函数表达式; （2）求△AOB的面积. 20 1 学科网（北京）股份有限公司 $$