精品解析：福建省福州市连江县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年第一学期八年级期末适应性测试 数学试卷 （全卷共7页，满分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡规定位置上，答在本试卷上的一律无效！ 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的5纳米刻蚀机已获成功，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：． 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式以及二次根式有意义的条件等知识点，根据二次根式有意义的条件，解不等式即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决此题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：D． 3. 若等腰三角形的顶角是，则它的底角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握等腰三角形两底角相等是解题的关键．根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意知，底角的度数为， 故选：A． 4. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是分式的性质，分式的恒等变形是依据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．据此解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 5. 如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B，C，D，E，F，G都在格点上，图中不与全等的三角形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据网格特点，利用全等三角形的判定去判断即可． 【详解】解：如图： 由网格可知， ∴， 由网格可知均是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，故A可以证明全等，不符合题意； 如图： 同理可得， ∴，故B可以证明全等，不符合题意； 如图： 同理可得， ∴，故D可以证明全等，不符合题意； 如图： 由上可得，而是钝角三角形， 故与不可能全等，故C符合题意， 故选：C． 6. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解．根据因式分解的概念“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解”可进行排除选项． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选：C． 7. 直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 先求出正六边形的每个内角为，再根据六边形的内角和为即可求解的度数，最后根据邻补角的意义即可求解． 【详解】解：正六边形每个内角为：， 而六边形的内角和也为， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 甲、乙两组同学在植树活动中均植树120棵，已知______，求乙组每小时植树多少棵？ 下面是题目的部分解题过程；则横线上缺少的条件为（ ） 解：设乙组每小时植树x棵． 由题意得：， … A. 甲组每小时比乙组少种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成 B. 甲组每小时比乙组多种植10棵，且乙组比甲组提前2小时完成 C. 甲组每小时比乙组少种植10棵，且乙组比甲组提前2小时完成 D. 甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据得出甲组每小时比乙组多种植10棵，根据得出甲组比乙组提前2小时完成，即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：根据题中所列分式方程可得，横线上缺少的条件为甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成， 故选：D． 9. 若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键． 根据已知等式可得，则． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：B． 10. 如图，在中，，点D是边的中点，的周长为16，，点M，N分别是和边上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题、等腰三角形的性质，勾股定理，利用点到直线垂直线段最短找出的最小值为是解题的关键．过点B作与点N，交与点M，连接，利用等腰三角形性质求出垂直平分，利用勾股定理求出的长，根据轴对称可知点、M点、B点在一条直线上最短，则的最小值是，利用三角形等面积公式求出即可． 【详解】解：如图，过点B作与点N，交与点M，连接， ∵在中，，点D是边的中点， ∴在等腰中，垂直平分， ， 点、C点关于直线对称， 点和N点分别是和边上的动点， ， ， 点、M点、B点在一条直线上最短， 点N点最短的直线为B点到的垂线最短， ∴则的最小值是， ， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 当x=______时，分式的值为0. 【答案】1 【解析】 【详解】由题意得 时，分式的值为0． 故答案为1 12. 如图，在等边中，，是的平分线，则___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，“三线合一”，根据等边三角形三边相等可得，根据“三线合一”可得是的中线，即可得出． 【详解】解：等边中，， ， 是的平分线，， 是的中线， ， 故答案为：5． 13. 计算的结果为___． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式计算后再加减即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键． 14. 如图是蜡烛的平面镜成像原理图，以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为y轴建立平面直角坐标系，若火焰顶部P点的坐标是，则对应虚像火焰顶部Q点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，理解平面镜成像原理并运用数形结合思想是解题的关键． 根据平面镜成像原理及关于坐标轴对称的点的坐标规律，即可直接得出答案． 【详解】解：火焰顶部P点的坐标是，且对应虚像火焰顶部Q点与P点关于y轴对称， 对应虚像火焰顶部Q点的坐标是， 故答案为：． 15. 我们在学习代数公式时，可以用几何图形来推理论证．受此启发，在学习因式分解之后，小明同学将图1一张边长的的正方形纸片剪去2个长为，宽为的长方形以及3个边长为的正方形之后，拼成了如图2所示的长方形．观察图1和图2的阴影部分，请从因式分解的角度，用一个含有等式表示从图1到图2的变化过程_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用代数式分别表示图1，图2阴影部分面积即可解答． 【详解】解：由题可知，图1阴影部分面积为， 图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， ∵两个图形阴影部分面积相等， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式的几何背景，解题关键是正确用代数式表示出两个图形中阴影部分面积． 16. 已知，且，求的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，灵活运用对已知条件进行变形是解题的关键． 由可得，再根据可得，再结合可得，整理得，则即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，提公因式法与公式法的综合应用，零指数幂，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据二次根式的性质，零指数幂的性质化简计算即可； （2）先提公因式2，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据进行求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式 ． 19. 如图，和中，点在上，．求证：． 【答案】 证明： 在与中， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意可证明，得到，即可得到． 【详解】略 20. 解方程． 【答案】原分式方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘，得 ， ， ， ， 检验：当时，， ∴不是原分式方程的解， ∴原分式方程无解． 21. 如图，某小区修缮了一个圆环的花坛，其内圆半径为，外圆面积为． （1）求该圆环花坛的宽度； （2）求该圆环花坛的面积． 【答案】（1）圆环的宽度为 （2）圆环花坛的面积 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用、圆的面积等知识点，明确圆的面积和半径的求法是解答本题的关键． （1）先求出外圆的半径，然后用外圆半径内圆半径，即可得到该圆环花坛的宽度； （2）先求出内圆的面价，然后用外圆面积内圆面积，即可得到该圆环花坛的面积． 【小问1详解】 解：设外圆半径为， 根据题意得：，即：， ， ， 圆环的宽度为． 答：圆环的宽度为． 【小问2详解】 解： ． 答：圆环花坛的面积． 22. 某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们的十位上的数相同，个位上的数的和等于10，那么这两个数的积存在一定的规律，观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：； …… （1）探索以上算式规律，请写出___________=___________； （2）观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是a，个位上的数字都是5，请证明等式是成立的； （3）观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是a，其中一个数的个位上的数字是b，请用等式表示这两个两位数的积的一般规律，并证明这个规律． 【答案】（1）， （2） 证明：左边， 又右边， 左边=右边，即． （3）， 其中一个数的个位上的数字是b，个位上的数的和等于10， 另一个数的个位上的数字是， 这两个两位数的积的一般规律是： ， 左边 ， 又右边， 左边=右边，即． 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、数字的变化类规律等知识点，熟练掌握多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则是解题的关键． （1）根据所给的等式的形式，找出规律进行解答即可； （2）利用多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则进行证明即可； （3）根据（2）中的等式，写出表示这两个两位数的积的一般规律，并证明这个规律即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 如图，在中，，． （1）尺规作图：在线段上求作一点D，使；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，作的平分线交于点E，若，请补全图形并求出的长．（用含a，b的代数式表示）． 【答案】（1） 解法1：如图所示，点D即为所求， 解法2：如图所示，点D即为所求 （2） 解法一：补全图形如图所示 解法二：补全图形如图所示 【解析】 【分析】本题考查了作图——复杂作图，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，解题关键是理解题意，正确做出图形； （1）利用作一个角等于已知角，作；或作线段的垂直平分线交于D，连接； （2）作于点F，根据角平分线的性质和垂线的定义证，然后利用线段和和差即可解答；或利用面积法解答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：补全图形如图所示 作于点F， 平分 由（1）得， ，即 ． 在与中 （2）解法二：补全图形如图所示 作于点F， 由（1）得， ，且 ， 平分，，， ， 即 ，， ，即 24. 【问题背景】 科学课上，老师要求同学们每人独立配制一瓶浓度均为x的氯化钠溶液，然后随机抽三位同学配制好的氯化钠溶液进行混合，试探究混合后的氯化钠溶液浓度是否改变．（溶液浓度） 【实验操作】 这三位同学分别按要求配制好氯化钠溶液后，记录所需的氯化钠（溶质）和水（溶剂）的质量（单位：），并填入实验数据表格． 姓名 氯化钠（溶质） 水（溶剂） 溶液浓度 同学甲 a b x 同学乙 c d x 同学丙 e f x 【解决问题】 （1）若同学甲记录数据：； ①请直接写出同学甲配制的溶液浓度___________； ②若同学乙，同学丙想配制的溶液与同学甲配制的溶液浓度相同，若同学乙准备水的质量，同学丙准备氯化钠的质量，请求出c和f的值； 最后，小组组长将同学甲，乙，丙的氯化钠溶液混合后，计算混合后溶液的浓度，得到猜想：三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变． （2）请你用数学的知识证明：任意三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变，即已知，其中a，b，c，d，e，f均为正数，求证：； 【拓展延伸】 （3）小明在做数学作业时遇到了这样一道题：已知，其中a，b，c均不为0且，求的值．请能类比上面解决问题的方法，帮小明解答这个问题． 【答案】（1）①；②； （2）证明：， ， 当三瓶氯化钠溶液混合时 ， 任意三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变 （3）8 【解析】 【分析】本题考查分式运算的应用，熟练掌握分式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据浓度与溶质、溶剂之间的关系即可求解； （2）用替换的分子，即可证明； （3）设，可得，进而可得，推出，即可求解． 【详解】解：（1）①同学甲配制的溶液浓度， 故答案为：； ②同学乙、丙要配制相同浓度的溶液， ， 解得， 检验：当时，，当时， 所以原分式方程的解是； （2） 略 （3）解：设， 则， ， ， ， ， ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，已知点，点C是直线AB上一动点，以C为直角顶点，在直线的左侧作一个等腰直角，且点D在y轴上，点E不在直线上． （1）如图1，当点C为线段的中点时，连接，． ①求的度数； ②求证：； （2）如图2，当C点在直线上运动时，试判断点E的纵坐标是否会发生改变，若不改变，请求出点E的纵坐标，若会改变，请举出一个反例． 【答案】（1）； 点C为线段的中点， 为等腰直角三角形， ，． ． 为等腰直角三角形且， ． ， 即． 在与中 ． ． （2）E点纵坐标不变，纵坐标为4 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形，坐标与图形，理解等腰直角三角形，坐标与图形，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）先证明是等腰直角三角形，再根据点C为线段的中点得是等腰直角三角形，由此可得的度数； 先证明，进而判定，然后根据全等三角形的性质可得出结论； （2）依题意有以下两种情况∶①当点C在y轴的右侧时，连接，过点C作，交y轴于点F，证明，得．进而得，然后根据点可得出点E的纵坐标为4； ②当点C在y轴的左侧时， 连接，过点C作，交y轴于点F，证明，得，进而得，然后根据点可得出点E的纵坐标为4，综上所述即可得出答案． 【小问1详解】 解： ． 为等腰直角三角形． ． 点C为线段的中点， ． ． ② 略 【小问2详解】 解：点E的纵坐标不会改变，它的纵坐标为4．理由如下： 连接，过点C作，交y轴于点F， ． ． 由（1）得 ． 为等腰直角三角形． ． 当点C在y轴右侧时， ． ． ． ∴在和中 ． ． ． ． 即B点纵坐标为， ∴E点纵坐标不变，纵坐标为4． ②当点C在y轴左侧时，如图 ， ， ∴在和中 ． ． ． 即B点纵坐标为4， ∴E点纵坐标不变，纵坐标为4． 综上所述：E点纵坐标不变，纵坐标为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期八年级期末适应性测试 数学试卷 （全卷共7页，满分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡规定位置上，答在本试卷上的一律无效！ 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 刻蚀机是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，中国自主研发的5纳米刻蚀机已获成功，5纳米就是0.000000005米．数据0.000000005用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 若等腰三角形的顶角是，则它的底角是（ ） A. B. C. D. 4. 根据分式的基本性质，分式可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B，C，D，E，F，G都在格点上，图中不与全等的三角形是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两组同学在植树活动中均植树120棵，已知______，求乙组每小时植树多少棵？ 下面是题目的部分解题过程；则横线上缺少的条件为（ ） 解：设乙组每小时植树x棵． 由题意得：， … A. 甲组每小时比乙组少种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成 B. 甲组每小时比乙组多种植10棵，且乙组比甲组提前2小时完成 C. 甲组每小时比乙组少种植10棵，且乙组比甲组提前2小时完成 D. 甲组每小时比乙组多种植10棵，且甲组比乙组提前2小时完成 9. 若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，点D是边的中点，的周长为16，，点M，N分别是和边上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 4 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 当x=______时，分式的值为0. 12. 如图，在等边中，，是的平分线，则___________． 13. 计算的结果为___． 14. 如图是蜡烛的平面镜成像原理图，以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为y轴建立平面直角坐标系，若火焰顶部P点的坐标是，则对应虚像火焰顶部Q点的坐标是________． 15. 我们在学习代数公式时，可以用几何图形来推理论证．受此启发，在学习因式分解之后，小明同学将图1一张边长的的正方形纸片剪去2个长为，宽为的长方形以及3个边长为的正方形之后，拼成了如图2所示的长方形．观察图1和图2的阴影部分，请从因式分解的角度，用一个含有等式表示从图1到图2的变化过程_______________． 16. 已知，且，求的值为___________． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）因式分解：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，和中，点在上，．求证：． 20. 解方程． 21. 如图，某小区修缮了一个圆环的花坛，其内圆半径为，外圆面积为． （1）求该圆环花坛的宽度； （2）求该圆环花坛的面积． 22. 某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们的十位上的数相同，个位上的数的和等于10，那么这两个数的积存在一定的规律，观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：； …… （1）探索以上算式规律，请写出___________=___________； （2）观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是a，个位上的数字都是5，请证明等式是成立的； （3）观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数都是a，其中一个数的个位上的数字是b，请用等式表示这两个两位数的积的一般规律，并证明这个规律． 23. 如图，在中，，． （1）尺规作图：在线段上求作一点D，使；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，作的平分线交于点E，若，请补全图形并求出的长．（用含a，b的代数式表示）． 24. 【问题背景】 科学课上，老师要求同学们每人独立配制一瓶浓度均为x的氯化钠溶液，然后随机抽三位同学配制好的氯化钠溶液进行混合，试探究混合后的氯化钠溶液浓度是否改变．（溶液浓度） 【实验操作】 这三位同学分别按要求配制好氯化钠溶液后，记录所需的氯化钠（溶质）和水（溶剂）的质量（单位：），并填入实验数据表格． 姓名 氯化钠（溶质） 水（溶剂） 溶液浓度 同学甲 a b x 同学乙 c d x 同学丙 e f x 【解决问题】 （1）若同学甲记录数据：； ①请直接写出同学甲配制的溶液浓度___________； ②若同学乙，同学丙想配制的溶液与同学甲配制的溶液浓度相同，若同学乙准备水的质量，同学丙准备氯化钠的质量，请求出c和f的值； 最后，小组组长将同学甲，乙，丙的氯化钠溶液混合后，计算混合后溶液的浓度，得到猜想：三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变． （2）请你用数学的知识证明：任意三瓶浓度一样的氯化钠溶液混合后，浓度不变，即已知，其中a，b，c，d，e，f均为正数，求证：； 【拓展延伸】 （3）小明在做数学作业时遇到了这样一道题：已知，其中a，b，c均不为0且，求的值．请能类比上面解决问题的方法，帮小明解答这个问题． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，已知点，点C是直线AB上一动点，以C为直角顶点，在直线的左侧作一个等腰直角，且点D在y轴上，点E不在直线上． （1）如图1，当点C为线段的中点时，连接，． ①求的度数； ②求证：； （2）如图2，当C点在直线上运动时，试判断点E的纵坐标是否会发生改变，若不改变，请求出点E的纵坐标，若会改变，请举出一个反例． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $