精品解析：福建省福州青鸟北附高级中学2024-2025学年高一上学期适应性诊断（期中）数学试题

福州青鸟北附高级中学2024－2025学年秋季半学期适应性诊断高一数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填写在答题卡上. 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域．） 1. 集合（ ） A B. C. D. 2. 命题p:，则它的否定为（ ） A. B. C. D. 3. ，且，则p是q的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 下列各组函数中，是同一个函数的有（ ） ① ② ③ ④ ⑤ A. ①②③ B. ①④⑤ C. ①⑤ D. ①③④⑤ 5. 若函数是二次函数，满足，则=（ ） A. B. C. D. 6. 用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（ ） A. 36 B. 144 C. 60 D. 72 7. 已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A. B. C D. 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列正确的有（ ） A. 若集合，则 B 若，则且 C. 若且，则 D. 若，则 10. 下列说法错误的有（ ） A. 函数是减函数 B. 如果，当时，都有，则在区间上单调递增 C. 函数的定义域为，若在区间以及都单调递增，则是增函数 D. 函数是减函数，若，则 11. 全集，，，，则下列判断正确的有（ ） A. B 或 C. 若，则或 D. 若，则或 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若函数则________. 13. 已知函数是上是减函数，则a的取值范围___________ 14. 已知，且，的最小值为_________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 解下列一元二次不等式 （1） （2） 16. 已知 （1）求出函数解析式 （2）若是一次函数，，用表示和的最大者，求的解析式 17. 回答下列问题 （1）已知，求的取值范围 （2）若，求的最小值 （3）已知，且，若恒成立，求的取值范围 18. 给定，，且， （1）求的定义域以及的解析式 （2）判断在区间上的单调性，在区间上的单调性，并利用单调性的定义证明 19. 回答下列问题 （1）已知，求的最大值 （2）已知正数，，，满足，，的最小值为，求，的值 （3）已知，且，求的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福州青鸟北附高级中学2024－2025学年秋季半学期适应性诊断高一数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填写在答题卡上. 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域．） 1. 集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的定义可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选： 2. 命题p:，则它的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题所给的是一个全称命题，对于全称命题的否定，既要注意量词的变化，还要注意命题中结论的变化． 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以只需将原命题中的全称量词改为存在量词，并对结论进行否定． 故. 故选：A. 3. ，且，则p是q的（ ）条件 A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的定义，可得答案. 【详解】当时，，则不能推，故p是q的不充分条件； 当且时，恒成立，则可以推，故p是q的必要条件. 故选：A. 4. 下列各组函数中，是同一个函数的有（ ） ① ② ③ ④ ⑤ A. ①②③ B. ①④⑤ C. ①⑤ D. ①③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】由函数解析式可得函数的定义域，整理函数解析式判断是否相同，逐项检验，可得答案. 【详解】对于①，易知函数定义域都是，令，则，故①正确； 对于②③，易知函数的定义域为，函数的定义域为，故②③错误； 对于④，由，故④错误； 对于⑤，易知函数定义域都是，由，故⑤正确. 故选：C. 5. 若函数是二次函数，满足，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以 故选：B. 6. 用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（ ） A. 36 B. 144 C. 60 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】设矩形菜园的宽为，长，则，且，. 因（当且仅当，时取“”）. 故选：D 7. 已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式解得集合，根据充分不必要条件可得集合的包含关系，建立不等式，可得答案. 【详解】由或，则， 由是的充分不必要条件，则，且 可得，解得. 故选：C. 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，结合一元二次不等式的解法即可得解. 【详解】由题意可得或， 解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列正确的有（ ） A. 若集合，则 B. 若，则且 C. 若且，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用交集和子集的性质判断A，举反例判断B，D，利用作差法证明不等式判断C即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确， 对于B，令，满足，不满足，故B错误， 对于C，由题意得， ，即，故C正确， 对于D，令，满足，不满足，故D错误. 故选：AC 10. 下列说法错误的有（ ） A. 函数是减函数 B. 如果，当时，都有，则在区间上单调递增 C. 函数的定义域为，若在区间以及都单调递增，则是增函数 D. 函数是减函数，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】举反例判断A，C，利用增函数的定义判断B，利用减函数的性质建立不等式，求解参数范围判断D即可. 【详解】对于A，令，则，， 此时满足，不满足， 得到函数在整个定义域上不是减函数，故A错误， 对于B，由增函数的定义得到对于，当时， 都有，则区间上单调递增，故B正确， 对于C，当时，令， 当时，令，而， 不符合增函数的定义，故C错误， 对于D，因为函数是减函数，且， 所以，解得，故D错误. 故选：ACD 11. 全集，，，，则下列判断正确的有（ ） A. B. 或 C. 若，则或 D. 若，则或 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知可得集合，根据并集的定义即可判断；先求解，再根据补集的运算即可判断；由已知分和两种情况分别列不等式求解即可判断；先求解，再分和两种情况分别列不等式求解即可判断. 【详解】因为，所以， 所以，故正确； 因为，所以或，故错误； 因为， 当时，所以，即， 当时，所以或，解得或， 综上，的取值范围是或，故错误； 因为，所以或， 因为， 当时，所以，即， 当时，所以或，解得或， 综上，的取值范围是或，故正确. 故选：. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若函数则________. 【答案】11 【解析】 【分析】结合条件利用代入法求出，再进行二次代入得到结果即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以. 故答案为：11 13. 已知函数是上是减函数，则a的取值范围___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数是上的减函数，则每一段都是减函数且左侧的函数值不小于右侧的函数值. 【详解】函数是上的减函数， 所以， 解得. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：分段函数在上是单调函数，除了保证在各段内单调性一致，还要注意在接口处单调. 14. 已知，且，的最小值为_________. 【答案】35 【解析】 【分析】由，得到，再利用“1”的代换，结合基本不等式求解. 【详解】因为，且，所以， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以最小值为35. 故答案为：35 四、解答题：（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 解下列一元二次不等式 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 由，得， 解得， 所以不等式的解集为； 【小问2详解】 由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 16. 已知 （1）求出的函数解析式 （2）若是一次函数，，用表示和的最大者，求的解析式 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）代入给定条件建立方程组，利用待定系数法求解解析式即可. （2）利用待定系数法求出解析式，再结合题意建立不等式组确定的范围，再求解的解析式即可. 【小问1详解】 因为， 所以，，解得，， 则，故的函数解析式为. 【小问2详解】 由题意得是一次函数，设， 因为，所以，， 解得，则，令， 解得，令，解得， 而用表示和的最大者， 故. 17. 回答下列问题 （1）已知，求的取值范围 （2）若，求的最小值 （3）已知，且，若恒成立，求的取值范围 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用不等式的性质求解取值范围即可. （2）对原式合理变形，利用基本不等式求最值即可. （3）对原式合理变形，将其变为，再利用基本不等式得到最值，进而求解参数范围即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以， 得到，则. 小问2详解】 由题意得， ， 而，由基本不等式得， 当且仅当，此时解得， 则，故，得到的最小值是. 【小问3详解】 因为，所以， 得到，即， 则， ， 由基本不等式得， 当且仅当时取等，而 此时解得，， 则， 而恒成立，得到. 18. 给定，，且， （1）求的定义域以及的解析式 （2）判断在区间上单调性，在区间上的单调性，并利用单调性的定义证明 【答案】（1）答案见解析 （2）在区间上单调递减，在区间上单调递增；证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的性质和分式的性质求解定义域，结合给定条件利用待定系数法求解解析式即可. （2）先判断函数的单调性，再利用定义法证明即可. 【小问1详解】 令，解得， 令，解得，则的定义域为, 因为，所以，， 因为，所以， 解得，得到，令，解得， 则的定义域为. 【小问2详解】 判断：在区间上单调递减， 我们任取，且使， 则， ， 因为，所以， 因为，所以，得到， 即，故在区间上单调递减， 判断：在区间上单调递增， 我们任取，且使， 则， ， ，因为，所以， 因为，所以，， 得到，即， 故在区间上单调递增. 19. 回答下列问题 （1）已知，求的最大值 （2）已知正数，，，满足，，的最小值为，求，的值 （3）已知，且，求的最小值 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，然后利用基本不等式即可求解最大值； （2）由已知可得，然后利用基本不等式可得，又，即可求解，； （3）由已知可得，将原式变形可得，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的最大值为； 【小问2详解】 ， 当且仅当时等号成立， 因为的最小值为，所以，所以，即， 又因为，解得或； 【小问3详解】 因为，，， 所以， 所以， 当且仅当，且，即，时等号成立， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$