精品解析：上海市川沙中学2024-2025学年高三下学期3月份月考数学试卷

上海市川沙中学2024学年第二学期高三3月份数学试卷 2025.3 命题人：高二命题小组 审题人：高三命题小组 考生注意： 1.本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分. 2.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚填写班级、姓名、准考证号. 3. 考试时间: 120分钟. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知全集，，，则 _______ 2. 函数的定义域为__________. 3. 已知向量，，若，则实数m =_______ 4. 在二项式的展开式中，含项的系数是________. （用数值作答） 5. 已知函数的表达式为，则的解集为_________. 6. 设且是奇函数，则实数的值为________. 7. 已知，角的终边经过点 则________. 8. 某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩超过100分的人数大约为_____________． 9. 已知是首项为、公差为的等差数列，是首项为、公比为的等比数列.若数列 的前三项和为，记数列的前项的和为 ，则_______ 10. “太极图”因其图形如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图所示是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则 的最小值为_________. 11. 设集合，，则集合中元素的个数为________. 12. 已知关于的方程有四个互不相等的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13. 一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为，乙熔断的概率为，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 或 14. 已知， 且函数的最小正周期为，则当时，曲线与曲线的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 15. 在长方体中，为长方体表面上一动点，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 2 16. 已知正项等比数列的前项的积为，，，是互不相等的正整数，给出下列命题：①若，则；②若，则.则而列判断正确的是 （ ） A. ①②均为真命题. B. ①是真命题，②是假命题： C. ①是假命题，②是真命题. D. ①②均为假命题. 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置等出必要步骤. 17. 如图所示，在平行六面体中， ，分别是上的一点，且， （1）求证: 平面; （2）若平面，平行六面体的所有棱长均为，且，求锐二面角的大小. 18. 已知 （1）当时， 判断函数的奇偶性; （2）若函数的图像经过点， 且函数在上有两个不相等的零点，求实数的值以及实数的取值范围. 19. 截至2024年底，我国新能源汽车保有量达到3140万辆，占汽车总量的.某市调查了1000名汽车驾驶员对新能源汽车的偏好程度，调查结果如下： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 女性驾驶员 100 400 合计 400 1000 （1）请根据所给数据，完成上面的列联表； （2）判断是否有的把握认为偏好燃油汽车或新能源汽车与驾驶员的性别有关； （3）用频率估计概率，在所有参加调查的驾驶员按男性和女性进行分层抽样，随机抽取10名驾驶员，再从这10名驾驶员中随机抽取2人进行问卷调查.抽取的2人中，求在有女性驾驶员参加问卷调查的条件下，恰有1名男性驾驶员也参加问卷调查的概率. 附：， 其中 20. 设为坐标原点，点，、为椭圆上的点，直线经过的重心. （1）求椭圆的离心率； （2）若点的坐标为 求点的坐标； （3）的边、与椭圆分别交于、两点，点在四边形内，求证：和的面积相等. 21. 定义域为的函数存在导函数，如果对于定义域上的任意实数，不等式恒成立，则称函数具有“性质”，其中 为常数. （1）若，判断函数是否具有“2性质”，并说明理由； （2）若，函数的定义域为且具有“1性质”，求实数的取值范围； （3）已知定义域为的函数的表达式为，该函数具有“2性质”，证明：存在实数，对任意，当时，不等式 恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市川沙中学2024学年第二学期高三3月份数学试卷 2025.3 命题人：高二命题小组 审题人：高三命题小组 考生注意： 1.本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分. 2.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚填写班级、姓名、准考证号. 3. 考试时间: 120分钟. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知全集，，，则 _______ 【答案】 【解析】 【分析】利用并集和补集的运算直接求解即可. 【详解】由题知，， 所以. 故答案为： 2. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的真数大于得到不等式，解得即可. 【详解】对于函数，令，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 3. 已知向量，，若，则实数m =_______ 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故答案为： 4. 在二项式的展开式中，含项的系数是________. （用数值作答） 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为展开式的通项为（且）， 令，解得，所以， 所以展开式中的系数为. 故答案为： 5. 已知函数的表达式为，则的解集为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式得到或，解得即可. 【详解】因为，对于不等式， 则或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 6. 设且是奇函数，则实数的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据计算可得. 【详解】函数为奇函数， 则，即， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为： 7. 已知，角的终边经过点 则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义及诱导公式计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，又， 所以，又， 所以. 故答案为： 8. 某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为：，且，若参加此次联考的学生共有8000人，则数学成绩超过100分的人数大约为_____________． 【答案】1200 【解析】 【分析】根据总体密度函数可知，结合对称性求解即可. 【详解】因为总体密度函数为：，则， 由得, 所以超过100分 人数大约为：人， 故答案为：1200. 9. 已知是首项为、公差为的等差数列，是首项为、公比为的等比数列.若数列 的前三项和为，记数列的前项的和为 ，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】首先表示出、的通项公式，依题意求出，再根据等比数列求和公式求出，再计算极限即可. 【详解】因为是首项为、公差为的等差数列，所以； 又是首项为、公比为的等比数列，所以， 依题意，解得（舍去）或， 所以，则， 所以. 故答案为： 10. “太极图”因其图形如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图所示是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则 的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用目标式的几何意义，结合直线与圆的位置关系求出最小值. 【详解】依题意，表示点与定点确定直线的斜率， 令，得直线：， 观察图形知，当与半圆相切于第一象限时，最小， 此时，因此，解得，所以的最小值为. 故答案为： 11. 设集合，，则集合中元素的个数为________. 【答案】 【解析】 【分析】令得到，求出的值，从而得到或，再分别求出的取值，即可得解. 【详解】因为，令， 则即为，解得或； 当，则，又，， 令且，解得且， 所以，则有个； 当，则，又，， 令且，解得且， 又，，所以， 所以，则有个； 所以集合中元素的共有个. 故答案为： 12. 已知关于的方程有四个互不相等的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】解出方程，设其对应的点、，对于方程，讨论其，进一步分析计算即可. 【详解】因为，即，解得， 设所对应的两点分别为、，则、， 设的解所对应的两点分别为、，记为，， 当，即，解得，即时， 因为、关于轴对称，且，关于轴对称， 当，，，四点共线时，，不合题意， 除此种情况，以、、、为顶点的四边形为矩形或等腰梯形，所以、、、四点共圆； 当，即或时， 此时，，且，， 故此圆的圆心为，半径， 又圆心到的距离， 解得， 综上可得. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13. 一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为，乙熔断的概率为，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】记甲熔断为事件，乙熔断为事件， 则、，又与相互独立， 所以，即两根保险丝都熔断的概率为. 故选：C 14. 已知， 且函数的最小正周期为，则当时，曲线与曲线的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的最小正周期求出的值，即可求出解析式，再画出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】因为的最小正周期为， 所以，解得，所以， 画出与在上的函数图象如下所示： 由图可知与在上有个交点. 故选：B 15. 在长方体中，为长方体表面上一动点，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】BC 【解析】 【分析】建立直角坐标系，先求出点的坐标，得出数量积以，再结合可得范围． 【详解】以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则． 设，则， 所以． 设，连接，则， 因为为长方体的中心，所以． 因为，所以，所以． 故选：BC. 16. 已知正项等比数列的前项的积为，，，是互不相等的正整数，给出下列命题：①若，则；②若，则.则而列判断正确的是 （ ） A. ①②均为真命题. B. ①是真命题，②是假命题： C. ①是假命题，②是真命题. D. ①②均为假命题. 【答案】C 【解析】 【分析】当等比数列公比为时判断①；根据条件和等比数列下标和性质得出，推出，即可判断②； 【详解】设已知正项等比数列的公比为， 对于①：当时，等比数列各项均相等，恒成立，但是不一定成立，故①错误； 对于②：由题意得，，不妨设， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 所以①是假命题，②是真命题. 故选：C 三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置等出必要步骤. 17. 如图所示，在平行六面体中， ，分别是上的一点，且， （1）求证: 平面; （2）若平面，平行六面体的所有棱长均为，且，求锐二面角的大小. 【答案】（1） 连接，因为，所以，所以共面， 又，分别是上的一点，且，，即， 所以， 又平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再根据线面平行判定定理得结果， （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再根据向量夹角公式计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，因为平行六面体的所有棱长均为，且， 所以为等边三角形，所以，， 取的中点，连接，则． 因为平面，所以平面， 所以，，两两互相垂直， 分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 所以，． 平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 所以，令，解得，， 所以平面的一个法向量， 设锐二面角为， 则，所以， 即锐二面角的大小为． 18. 已知 （1）当时， 判断函数的奇偶性; （2）若函数的图像经过点， 且函数在上有两个不相等的零点，求实数的值以及实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，函数既不是奇函数也不是偶函数； 当时，函数是偶函数； （2），且 【解析】 【分析】（1）利用奇偶函数的判断，直接判断即可； （2）根据图像过的点坐标，即可求出的值，结合因式分解，利用函数在区间内有两个不同的零点转化为方程在固定范围有两个不同的根，即可求出的范围. 【小问1详解】 当时，， 因为， 当时，， 所以函数既不是奇函数也不是偶函数； 当时，，函数是偶函数； 【小问2详解】 因为函数的图像经过点， 所以，则，且， 所以， 令， 则， 因为函数在上有两个不相等的零点， 所以且，解得， 综上，，且. 19. 截至2024年底，我国新能源汽车保有量达到3140万辆，占汽车总量的.某市调查了1000名汽车驾驶员对新能源汽车的偏好程度，调查结果如下： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 女性驾驶员 100 400 合计 400 1000 （1）请根据所给数据，完成上面的列联表； （2）判断是否有的把握认为偏好燃油汽车或新能源汽车与驾驶员的性别有关； （3）用频率估计概率，在所有参加调查的驾驶员按男性和女性进行分层抽样，随机抽取10名驾驶员，再从这10名驾驶员中随机抽取2人进行问卷调查.抽取的2人中，求在有女性驾驶员参加问卷调查的条件下，恰有1名男性驾驶员也参加问卷调查的概率. 附：， 其中 【答案】（1）列联表如下： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 300 300 600 女性驾驶员 100 300 400 合计 400 600 1000 （2）有的把握认为偏好燃油汽车或新能源汽车与驾驶员的性别有关 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干数据完善列联表； （2）计算出卡方，即可判断； （3）利用古典概率及条件概率公式计算得解. 【小问1详解】 依题意可得列联表如下： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 300 300 600 女性驾驶员 100 300 400 合计 400 600 1000 【小问2详解】由（1）可得， 所以有的把握认为偏好燃油汽车或新能源汽车与驾驶员的性别有关. 【小问3详解】 抽取的名驾驶员中，女性驾驶员有（人），男性驾驶员有6人， 记有女性驾驶员参加问卷调查的事件为，恰有1名男性驾驶员参加问卷调查的事件为， 则，， 所以， 所以在有女性驾驶员参加问卷调查的条件下，恰有1名男性驾驶员也参加问卷调查的概率为. 20. 设为坐标原点，点，、为椭圆上的点，直线经过的重心. （1）求椭圆的离心率； （2）若点的坐标为 求点的坐标； （3）的边、与椭圆分别交于、两点，点在四边形内，求证：和的面积相等. 【答案】（1） （2） （3） 证明：由（2）可知，直线的斜率为，设直线的方程为， 由于原点在四边形内，由图可知，， 联立可得， 则，又因为，解得， 由韦达定理可得，， AI 设直线、的斜率分别为、， ，同理， 所以， ， 设点、， 当的斜率不存在时，则，，其中， 所以，，，此时，， 若，则，，不妨取点、， 此时，直线的方程为， 联立解得，即点， 由题意可知，，矛盾，故直线的斜率存在， 设直线的方程为， 联立可得， ，整理可得， 由韦达定理可得，， ， 整理可得， 代入韦达定理并整理可得对满足的实数恒成立， 所以，，解得，故， 设直线分别交线段、于点、，则为的中点， 所以，， 因为，故， 所以，，，，， 所以，， 即和的面积相等. 【解析】 【分析】（1）求出、、的值，可求出椭圆的离心率的值； （2）利用点差法求出直线的斜率，可得出直线的方程，再将直线的方程与椭圆的方程联立，即可得出点的坐标； （3）设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，计算出、的斜率之积，分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，根据可求出的值，证明出，可得出直线过线段、的中点，进而可证得结论成立. 【小问1详解】 在椭圆中，，，则，故. 【小问2详解】 设点、，则的重心为， 易知直线的方程为，且点在直线上， 所以，，即， 因为，两式作差可得， 即， 即，所以，， 因为点，所以，直线的方程为，即， 联立可得， 由韦达定理可得，可得，则， 故点的坐标为. 【小问3详解】 略 21. 定义域为的函数存在导函数，如果对于定义域上的任意实数，不等式恒成立，则称函数具有“性质”，其中 为常数. （1）若，判断函数是否具有“2性质”，并说明理由； （2）若，函数的定义域为且具有“1性质”，求实数的取值范围； （3）已知定义域为的函数的表达式为，该函数具有“2性质”，证明：存在实数，对任意，当时，不等式 恒成立. 【答案】（1） 具有“2性质”，理由如下： 因为，所以， 所以， 所以恒成立，所以具有“2性质”； （2） （3） 因为，所以， 因为函数在上具有“2性质”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 当时，对任意的，上式恒成立，符号题意； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即. 综上所述，. 要证对任意的，当时，都有恒成立， 不妨设，则，则， 即证恒成立， 即恒成立， 令，， 即存在，使得在上为增函数， 即存在，使得， 即对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立， 令，， 则，所以在上单调递增， 又，所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意，当时，不等式恒成立. 【解析】 【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）结合定义可得对任意的恒成立，进而得到对任意的恒成立，令，进而结合导数分析单调性求得最值即可求解； （3）先根据定义得到对任意的恒成立，分类讨论求得，再结合题意可得，令，，进而结合导数分析求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 因为函数在上具有“1性质”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 当时，；当时，； 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $