精品解析：广东省惠来县第一中学2024-2025学年高二下学期第一次阶段考试数学试题

2024—2025学年度第二学期惠来一中第1次阶段考 高二数学试题 （本试题满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合满足，，，则集合中的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合集合的交集、并集的概念及运算，即可求解. 详解】由集合满足, 因为，可得， 又因为，可得， 因为，所以，即集合中的元素个数为4． 故选：B. 2. 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的模为 B. 复数的共轭复数为 C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得，可判断BC错误，再由模长公式计算可得A错误，由复数的几何意义可判断D正确. 【详解】依题意可得, 对于A，复数的模为，可知A错误， 对于B，易知复数的共轭复数为，可得B错误； 对于C，显然的虚部为，可得C错误， 对于D，复数在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限，即D正确. 故选：D 3. 已知函数，则f（e）＝（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值，求，再求函数的导数，赋值，求，即可求得函数的解析式，再求的值. 【详解】函数，则,解得， 所以，所以， 所以，解得，所以， 所以. 故选：D． 4. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为，乙罐中有三个相同的小球，标号为，从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（ ） A. 事件发生的概率为 B. 事件相互独立 C. 事件是互斥事件 D. 事件发生的概率为 【答案】B 【解析】 【分析】写出样本空间以及各个事件所包含的基本事件，结合古典概型概率计算公式、独立事件以及互斥事件的概念即可逐一判断各个选项. 【详解】从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，设甲罐中抽取小球的标号为，乙罐中抽取小球的标号为， 则的所有可能为：，共12种可能， 事件“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：，共3种可能， 事件“抽取的两个小球标号之积小于6”包含的基本事件有： ，共7种可能， 对于A，事件发生的概率为，故A不符合题意； 对于BC，，而不可能同时发生，这意味着事件是互斥事件，即， 故，即事件不相互独立，故B符合题意，C不符合题意； 对于D，事件发生的概率为，故D不符合题意. 故选：B. 5. 设函数，其中，则导数的取值范围是（ ） A [－2，2] B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导得，进而得到，求三角函数的值域，即可得到答案； 【详解】， ， 故选：D 6. 设，，分别是的内角，，的对边，已知，设是边的中点，且的面积为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件求出和，然后结合向量的数量积的运算即可求出结果. 【详解】因为， 所以，即， 结合正弦定理得，即， 所以，所以， 因为的面积为，所以，即，所以， 故选：A. 7. 对于函数，下列结论不正确的（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C. D. 若恒成立，则 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导得出其单调性，可判断A正确，画出函数图象可判断B错误，结合函数在上单调递减以及可判断C正确，构造函数并求出其最大值即可得D正确. 【详解】易知函数的定义域为， 可得， 令，可得， 因此当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减； 对于A，因此可得在处取得极大值，可得A正确， 对于B，易知， 当时，；当时，，画出函数图象如下图所示： 由图可知有且仅有一个零点，即B错误； 对于C，易知， 又因为在上单调递减，易知， 所以，即C正确； 对于D，若恒成立，即，可得在上恒成立； 记，可得， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递减， 可得在处取得极大值，也是最大值， 若在上恒成立，可得，所以，即D正确. 故选：B 8. 光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，设光速为，推导出，利用椭圆和双曲线的定义可得出，由此可计算得出与的离心率之比. 【详解】设，设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为， 在图②中，周长为， 所以，，可得， 在图①中，由双曲线的定义可得，由椭圆的定义可得， ，则， 即， 由题意可知，的周长为，即， 所以，. 因此，与的离心率之比为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9. 设等差数列的前项的和为，公差为，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 时，的最小值为14 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列的性质以及等差数列前n项和公式依次分析选项，结合基本量的运算即可得到答案. 【详解】由题意，，而，可以判断是递减数列，所以，C正确， 而，D错误； 又，所以，B错误； 而，A正确. 故选：AC 10. 正方体的棱长为分别为的中点.则（ ） A. 直线与直线AF垂直 B. 直线与平面AEF平行 C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为 D. 点和点D到平面AEF的距离相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义判断A，由面面平行的性质定理判断B，作出完整的截面，判断CD． 【详解】因为，而与显然不垂直，因此与不垂直，A错； 取中点，连接，，由分别是中点，得， 又，，是平行四边形，所以，，平面，所以平面，平面， 而，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面．B正确； 由正方体性质，连接，则截面即为四边形，它是等腰梯形， ，，等腰梯形的高为， 截面面积为，C正确， 设，易知是的中点，所以两点到平面的距离相等．D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点睛：本题考查正方体的性质．考查异面直线所成角的定义，面面平行的性质定理，考查正方体的截面问题．在证明面面平行时，注意判定定理的条件，对正方体的截面，解决问题的最好方法是作出完整的截面，然后根据正方体的性质确定截面的性质，从而完成求解． 11. 已知椭圆上有个不同的点为其右焦点，若是公差的等差数列，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用椭圆上点到焦点距离的最值，由等差数列通项公式计算可得结果. 【详解】根据可知， 利用椭圆性质可得的最大值为，最小值为， 因此可得，因为，可得，即； 所以的可能取值为，. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知向量是单位向量，向量，若，则与的夹角为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据单位向量以及坐标表示求出模长，再由垂直关系得出数量积即可求出夹角. 【详解】因为向量是单位向量，可得， 又，可得； 由可得，即； 所以， 因为，所以； 即与的夹角为. 故答案为： 13. 已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先对函数求导，求出在处的切线方程，然后根据二次函数与直线相切，根据判别式求出对应的. 【详解】因为，所以，又， 故曲线在点处的切线方程为，即． 由可得， 解得． 故答案为：. 14. 早在15世纪，达・芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法：如图1，先制作三张一样的黄金矩形，然后从长边的中点出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即，再沿着与长边平行的方向剪出相同的长度，即，将这三个矩形穿插两两垂直放置，连结所有顶点即可得到一个正二十面体，如图2.若黄金矩形的短边长为4，则按如上制作的正二十面体的表面积为______，其外接球的表面积为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】正二十面体的表面是20个全等的等边三角形，且每个等边三角形的边长都等于黄金矩形的短边长可得其表面积，根据对称性可知外接球的球心在所有黄金矩形的对角线交点处，从而可求出球的半径，得出答案. 【详解】正二十面体的表面是20个全等的等边三角形， 且每个等边三角形的边长都等于黄金矩形的短边长4. 所以表面积为： 根据对称性可知：三个黄金矩形的对角线交于一点, 设该点为 则每个顶点到点的距离都相等且等于黄金矩形的对角线的一半. 所以外接球的球心在所有黄金矩形的对角线交点处， 黄金矩形的短边长为4，设长边为，则 ，即 所以黄金矩形的对角线长为 所以外接球的半径为： 所以外接球表面积为： 故答案为： （1） （2） 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且当时，取得极值 （1）求的解析式; （2）求在上的单调区间和最值. 【答案】（1） （2）的单调递减区间为，单调递增区间为， 最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用极值的性质结合导数建立方程求解即可. （2）利用导数研究单调性，得到极值，再结合端点值求解最值即可. 【小问1详解】 因为， 所以，因为当时，取得极值， 所以，则， 也可得到，所以，解得， 代入中，解得， 所以解析式为， 此时，令，解得， 令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以极小值为，符合题意. 【小问2详解】 由上问知， 在上单调递减，在上单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 而，，，， 故最大值为，最小值为. 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若等比数列满足，，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用可得答案； （2）求出，，然后分组，利用等差、等比数列的前项和公式计算可得结果. 【详解】（1）因为在数列中，， 所以， 两式相减得，即， 当时，， 所以． （2）由（1）知，，， 因为数列是等比数列，设公比为，所以， 所以， 所以， 所以 ． 【点睛】本题考查了由求，考查了等比数列的通项公式，考查了等差、等比数列的前项和公式，考查了分组求和，属于基础题. 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出． 【小问1详解】 因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合，的值，即可求得结果； （2）求得，对参数分类讨论，利用导数研究的根的大小，结合与函数单调性的关系，即可求得函数单调性. 【小问1详解】 当时，，，，， 故在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 由题意可知：的定义域为，且 ， （ⅰ）若，则在上恒成立， 当，则；当，则； 可知在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）若，令，则或， ①当，即，则在上恒成立， 当，则；当，则； 可知在上单调递减，在上单调递增； ②当，即时， 当或，则；当，则； 可知在上单调递增，在上单调递减； ③当，即时，则在上恒成立， 可知在上单调递增； ④当，即时， 当或，则；当，则； 可知在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：若，在上单调递增，在上单调递减； 若，在上单调递减，在上单调递增； 若，在上单调递增，在上单调递减； 若，在上单调递增； 若时，在上单调递增，在上单调递减. 19. 在平面直角坐标系中，有点、．若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直两个半平面（如图所示），则称此时点在空间中的距离为“点关于轴的折叠空间距离”，记为． （1）若点、、在平面直角坐标系中的坐标分别为、、，求证：，； （2）若点、在平面直角坐标系中的坐标分别为、，试用文字描述满足的点在平面直角坐标系中的轨迹是什么，并求该轨迹与轴围成的图形的面积； （3）若在平面直角坐标系中，点是椭圆上一点，过点的两条直线、分别交椭圆于、两点，且其斜率满足，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）点所在轨迹是半圆：与四分之三圆：的组合曲线； （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点、、的坐标，即可求出、的值，即可证得结论成立； （2）对点的位置关系进行分类讨论，根据求出点的轨迹方程，确定轨迹形状，即可求得其轨迹所围成区域的面积； （3）在平面直角坐标系中，设、两点坐标分别为、，设直线的方程为，可知直线的方程为，然后、两点的位置进行分类讨论，求出的取值范围，结合弦长公式以及基本不等式可求得的最大值. 【小问1详解】 建立如图1所示的空间直角坐标系， 其中为坐标原点、轴、轴正方向与原平面中一致， 轴正方向与折叠后的轴正方向一致． 由题，空间中三点坐标分别为、、． 因此 【小问2详解】 由题意，空间中点的坐标为， （i）当点在轴上半平面，即时，空间中点的坐标为， 于是．化简得． 因此在平面直角坐标系中，点在轴上半平面的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆； （ii）当点在轴下半平面．即时，空间中点的坐标为， 于是，化简得． 因此在平面直角坐标系中，点在轴下半平面的轨迹为以为圆心，以为半径的圆. 所以，点所在轨迹是半圆：与四分之三圆：的组合曲线,（如图2）. 其与轴围成的面积为． 【小问3详解】 在平面直角坐标系中，设、两点坐标分别为、． 设直线的方程为，即， 因为，所以直线的方程为． 由于与、两点在平面直角坐标系中的相对位置有关， 而点的位置与两直线的斜率有关． 因此首先需要对、两点可能的位置进行讨论，并求出相应的的范围． 由于两直线具有对称性，此点位置与点位置等价，所以不妨设． 因为时，、两点重合，与题目中交于两点不符，舍去． 当直线与椭圆相切时，计算此时的斜率，联立， 整理得：①， 令，解得． 因此若使、两点存在，需成立． ，，于是，同理， 当、两点存在且不重合时，有三种可能的位置关系： （i）、同在轴上半平面； （ii）、同在轴下半平面； （iii）在轴上半平面，而在轴下半平面． 记椭圆左、右顶点分别为、， 则直线的斜率，的斜率， （i）由图3，当直线、均高于直线（包括重合）时，、同在轴上半平面， 此时由于两直线的对称性，只需直线的斜率大于等于直线的斜率即可，所以， 再由前述限制，此时斜率满足． 如图4所示，当点、位于轴的上半平面，即时． 、两点空间坐标分别为、， 因此②， 又， 代入②式可得：,， 因此，． 【点睛】关键点点睛：对空间折叠距离的理解，求得折叠后的点的坐标是关键，平面解析几何的方程思想的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期惠来一中第1次阶段考 高二数学试题 （本试题满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合满足，，，则集合中的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的模为 B. 复数的共轭复数为 C. 复数的虚部为 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限 3. 已知函数，则f（e）＝（ ） A. B. C. D. 4. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为，乙罐中有三个相同的小球，标号为，从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（ ） A. 事件发生的概率为 B. 事件相互独立 C. 事件是互斥事件 D. 事件发生的概率为 5. 设函数，其中，则导数的取值范围是（ ） A. [－2，2] B. C. D. 6. 设，，分别是的内角，，的对边，已知，设是边的中点，且的面积为，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 对于函数，下列结论不正确（ ） A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点 C D. 若恒成立，则 8. 光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则与的离心率之比为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9. 设等差数列的前项的和为，公差为，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 时，的最小值为14 10. 正方体的棱长为分别为的中点.则（ ） A. 直线与直线AF垂直 B. 直线与平面AEF平行 C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为 D. 点和点D到平面AEF的距离相等 11. 已知椭圆上有个不同的点为其右焦点，若是公差的等差数列，则的可能取值为（ ） A B. C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知向量是单位向量，向量，若，则与的夹角为______． 13. 已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_______． 14. 早在15世纪，达・芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法：如图1，先制作三张一样的黄金矩形，然后从长边的中点出发，沿着与短边平行的方向剪开一半，即，再沿着与长边平行的方向剪出相同的长度，即，将这三个矩形穿插两两垂直放置，连结所有顶点即可得到一个正二十面体，如图2.若黄金矩形的短边长为4，则按如上制作的正二十面体的表面积为______，其外接球的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且当时，取得极值 （1）求的解析式; （2）求在上的单调区间和最值. 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列通项公式； （2）若等比数列满足，，求数列的前项和． 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性． 19. 在平面直角坐标系中，有点、．若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点在空间中的距离为“点关于轴的折叠空间距离”，记为． （1）若点、、在平面直角坐标系中的坐标分别为、、，求证：，； （2）若点、在平面直角坐标系中的坐标分别为、，试用文字描述满足的点在平面直角坐标系中的轨迹是什么，并求该轨迹与轴围成的图形的面积； （3）若在平面直角坐标系中，点是椭圆上一点，过点的两条直线、分别交椭圆于、两点，且其斜率满足，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $