专题02 填空题（期中复习压轴题专练）-2024-2025学年苏科版数学八年级下学期培优练

2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期中复习压轴题专练 专题02 填空题 【考察范围：第7章-第10章 共50题】 试题说明：同学你好！该份检测卷优选近两年各地名校期中真题，模拟题。优选提高题，压轴题，=类型，题目经典，难度中上，贴合正式考试题型。适合培优拔尖的学生考前复习使用。，有助于学生自我检测，教师备课使用。解析版思路清晰，技巧性强，方法独特，通俗易懂！相信你能够取得满意成绩！ 1．（2019七年级下·全国·专题练习）某学校为了解ZS中学4000名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有 人． 每周课外阅读时间x（小时） 人数 7 10 14 19 2．（20-21八年级下·江苏苏州·期中）将我校八年级4班分成五个组，各组人数在频数分布直方图中的小长方形高的比依次为，人数最多的一组有15人，则该班共有 人． 3．（21-22八年级下·北京·期中）某校举办球赛，分为若干组，其中第一组有A，B，C，D，E五个队，这五个队要进行单循环赛，即每两个队之间要进行一场比赛，每场比赛采用三局两胜制，即三局中胜两局就获胜．每场比赛胜负双方根据比分会获得相应的积分（如2：0与2：1的积分不同），积分均为正整数． 根据上表回答问题： （1）当B队的总积分时，上表中m处应填 ； （2）写出C队总积分p的所有可能值为 ． 4．（23-24七年级上·陕西西安·期末）某中学有270名学生，为了了解学生们的上学方式，抽取部分学生做调查后绘制了如图所示的条形图，那么此次调查的样本容量为 ．    5．（22-23九年级上·湖南长沙·阶段练习）为了了解中学生的素质教育情况，某县在全县各中学共抽取了200名九年级学生进行素质教育调查，将所得的数据整理后，画出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前4个小组的频率分别是0.04，0.12，0.16，0.4，则第5小组的频数是 ． 6．（22-23八年级下·江苏南京·期中）八年级（1）班有40位同学，他们的学号是，随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35．其中，发生可能性最小的事件为 （填序号）． 7．（21-22八年级下·江苏连云港·期中）“头盔是生命之盔”质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.950 0.945 0.962 0.958 0.961 0.960 0960 如果从该工厂生产出来的头盔中任取一个，则该头盔是合格的概率为 ．（精确到0.01） 8．（2020·全国·三模）罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大．下图是对某球员罚球训练时命中情况的统计： 下面三个推断：①当罚球次数是时，该球员命中次数是，所以“罚球命中”的概率是；②随着罚球次数的增加，“罚球命中”"的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是 ；③由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是，所以“罚球命中”的概率是．其中合理的是 ．(填序号） 9．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为 ．    10．（19-20八年级下·江苏无锡·期中）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为 （精确到0.1）． 11．（2020·甘肃武威·中考真题）在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入3个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则袋中红球约有 个． 12．（21-22八年级上·河南南阳·期末）已知数据：，，，，0，其中无理数出现的频率为 ． 13．（21-22八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，连接，将绕点B逆时针旋转，点C恰好与点D重合，得到，连接，若，，则的长为 ． 14．（18-19八年级上·贵州安顺·期末）对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 ． 15．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，，．点是线段BD上一点．则的最小值为 ． 16．（23-24八年级下·全国·期中）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为 ． 17．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，在中，，，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，则线段与线段的数量关系是 ，的最小值 ． 18．（2010·新疆乌鲁木齐·中考真题）若实数a，b满足，设，，则M，N的大小关系为M N．（用“>”、“=”或“<”连接） 19．（19-20八年级下·江苏扬州·期末）为保证口罩供应，某公司加紧转产，开设多条生产线争分夺秒赶制口罩，口罩送检合格率也不断提升，真正体现了“大国速度”，以下是质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据，统计如下： 下列说法中： ①当抽检口罩的数量是100个时，口罩合格的数量是93个，所以这批口罩中“口罩合格”的概率是0.930； ②随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在0.920附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩“口罩合格”的概率是0.920； ③当抽检口罩的数量达到20000个时，“口罩合格”的频率一定是0.921；你认为合理的是 （填序号） 20．（19-20八年级下·江苏南京·期末）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外都相同的小球，小明每次从袋子中随机摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验3000次，记录结果如下： 实验次数n 100 200 300 500 800 1000 2000 3000 摸到红球次数m 65 124 178 302 481 620 1240 1845 摸到红球频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.620 0.620 0.615 估计从袋子中随机摸出一个球恰好是红球的概率约为 ．（精确到0.1） 21．（18-19八年级下·江苏淮安·期末）某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下： 该射手击中靶心的概率的估计值是 (精确到0.01)． 22．（18-19八年级下·江苏南京·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中．不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1 000 3 000 摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 620 1845 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.620 0.615 请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1） 23．（18-19八年级上·山东东营·期末）如图显示了小亚用计算机模拟随机投掷一枚某品牌啤酒瓶盖的实验结果. 那么可以推断出如果小亚实际投掷一枚品牌啤酒瓶盖时，“凸面向上”的可能性 “凹面向上”的可能性.（填“大于”，“等于”或“小于”）. 24．（24-25八年级上·重庆·期末）若关于x的一元一次不等式组有且仅有个偶数解，且关于的分式方程的解是正数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 25．（2019·湖南长沙·中考真题）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表： 摸球实验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 “摸出黑球”的次数 36 387 2019 4009 19970 40008 “摸出黑球”的频率 （结果保留小数点后三位） 0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400 根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 （结果保留小数点后一位）． 26．（24-25八年级下·全国·期中）菱形的两条对角线的长分别为6和8，点M、N分别是边的中点，点P是对角线上的一个动点，菱形的边长是 ；则的最小值是 ．   27．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，设四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，如此下去．则第2024个正方形的边长为 ． 28．（21-22八年级下·西藏拉萨·期中）如图，在平行四边形中，，过点D作的垂线，交于点E，交的延长线于点F，则的度数为 ． 29．（21-22八年级下·广东江门·期中）如图，矩形中，，，R是的中点，P是上的动点，E、F分别是、的中点，那么线段的长是 ． 30．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为 ． 31．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，若点是轴上一动点，且与面积相等，则点坐标是 ． 32．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在△ABC中，点D、E分别是边、的中点，连接，的平分线交于点F，若，，则的长为 ． 33．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在正方形中，点E、F分别是对角线、上的点，连接、、，若，且．，则的度数为 ． 34．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为 ． 35．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，．将沿射线平移得到，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，在的平移过程中，的周长的最小值为 ． 36．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是的中点，过点作，垂足为的垂直平分线分别交于点，且．若，则的长为 ． 37．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在菱形中，，点E、F、G、H分别是边、、、中点，在直线上方有一动点P，且满足，则周长的最小值为 ． 38．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图1所示，在边长为4的正方形中，点分别为的中点，和相交于点；如图2所示，将图1中边长为4的正方形折叠，使得点落在边的中点处，点落在点处，折痕为．现有四个结论：图1中：①；②；③；图2中：④．其中正确的结论有： ．（填序号） 39．（24-25八年级上·全国·期末）将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为 ． 40．（21-22九年级上·河南郑州·期中）如图，在边长为4的正方形中，点分别是边的中点，连接，点分别是的中点，连接，则的长为 ． 41．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在平行四边形内，，，，为线段上一点，若为等腰三角形，则 42．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的动点，连接，点G、H分别为的中点，连接．若，则的最大值为 ． 43．（18-19九年级上·全国·期末）如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是 ． 44．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）已知，则分式 ． 45．（22-23八年级上·河北邯郸·期中）（新考法）试卷上一个正确的式子★，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 ． 46．（23-24八年级上·山东烟台·期中）关于x的一元一次不等式组的解集为，关于y的分式方程有负整数解，试求出符合条件的所有整数m的值． 47．（23-24七年级上·上海松江·期末）我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b = ． 48．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）已知关于的不等式组，有且只有两个整数解，若关于的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 49．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）记．若，则 ． 50．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平行四边形中，，，点，分别是，上的动点，，连接，过点作，垂足为，若，则的大值为 ． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学八年级下学期期中复习压轴题专练 专题02 填空题 【考察范围：第7章-第10章 共50题】 试题说明：同学你好！该份检测卷优选近两年各地名校期中真题，模拟题。优选提高题，压轴题，=类型，题目经典，难度中上，贴合正式考试题型。适合培优拔尖的学生考前复习使用。，有助于学生自我检测，教师备课使用。解析版思路清晰，技巧性强，方法独特，通俗易懂！相信你能够取得满意成绩！ 1．（2019七年级下·全国·专题练习）某学校为了解ZS中学4000名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有 人． 每周课外阅读时间x（小时） 人数 7 10 14 19 【答案】1360 【思路点拨】用2000乘以样本中每周课外阅读时间不超过2小时的学生所占的百分比即可． 【规范解答】解：， 所以估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有1360人． 故答案为：1360． 【考点评析】本题考查了频数（率）分布表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．也考查了样本估计总体． 2．（20-21八年级下·江苏苏州·期中）将我校八年级4班分成五个组，各组人数在频数分布直方图中的小长方形高的比依次为，人数最多的一组有15人，则该班共有 人． 【答案】45 【思路点拨】依据各组人数在频数分布直方图中的小长方形高的比依次为1：2：5：3：4，可求得人数最多的一组所占的比值，进而得出总人数． 【规范解答】解：∵各组人数在频数分布直方图中的小长方形高的比依次为1：2：5：3：4， 人数最多的一组所占的比值， 又∵人数最多的一组有15人， ∴总人数为：15÷=45（人）， 故答案为：45． 【考点评析】本题主要考查了频数分布直方图，解题时注意：频数分布直方图中的小长方形高的比就是各组的频数之比． 3．（21-22八年级下·北京·期中）某校举办球赛，分为若干组，其中第一组有A，B，C，D，E五个队，这五个队要进行单循环赛，即每两个队之间要进行一场比赛，每场比赛采用三局两胜制，即三局中胜两局就获胜．每场比赛胜负双方根据比分会获得相应的积分（如2：0与2：1的积分不同），积分均为正整数． 根据上表回答问题： （1）当B队的总积分时，上表中m处应填 ； （2）写出C队总积分p的所有可能值为 ． 【答案】 0：2 9或10 【思路点拨】（1）每场比赛的结果有四种：0：2，1：2，2：1，2：0，设以上四种得分为a，b，c，d，且a<b<c<d，根据E和A的总分可得关于a，b，c，d的等式，化简即可得出a，b，c，d的值，设m对应的积分为x，根据题意得关于x的方程，解得x的值，则可得答案； （2）C队胜2场，分两种情况：当C、B的结果为2：0时；当C、B的结果为2：1时，分别计算出p的值即可． 【规范解答】解：（1）由题可知：每场比赛的结果有四种： 0：2，1：2，2：1，2：0， 根据题意可知每种结果都会得到一个正整数积分，设以上四种得分为a，b，c，d，且a<b<c<d， 根据E的总分可得：a+c+b+c=9， ∴a=1，b=2，c=3， 根据A的总分可得：c+d+b+d=13， ∴d=（13-c-b）÷2 =（13-3-2）÷2 =4， 设m对应的积分为x， 当y=6时，b+x+a+b=6，即2+x=1+2=6， ∴x=1， ∴m处应填0：2； （2）∵C队胜2场， ∴分两种情况：当C、B的结果为2：0时， p=1+4+3+2=10； 当C、B的结果为2：1时， p=1+3+3+2=9； ∴C队总积分p的所有可能值为9或10． 故答案为：9或10． 【考点评析】本题考查了统计表在比赛积分问题中的应用，读懂表格中的数据，理清题中的数量关系是解题的关键． 4．（23-24七年级上·陕西西安·期末）某中学有270名学生，为了了解学生们的上学方式，抽取部分学生做调查后绘制了如图所示的条形图，那么此次调查的样本容量为 ．    【答案】 【思路点拨】本题主要考查了求样本容量，根据样本容量的定义进行求解即可：一个样本包括的个体数量叫做样本容量可得答案．熟知相关定义是解题的关键，样本容量是指样本中包含个体的数目，没有单位． 【规范解答】解：由题意得，样本容量为， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·湖南长沙·阶段练习）为了了解中学生的素质教育情况，某县在全县各中学共抽取了200名九年级学生进行素质教育调查，将所得的数据整理后，画出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前4个小组的频率分别是0.04，0.12，0.16，0.4，则第5小组的频数是 ． 【答案】 【思路点拨】此题只需根据各小组频率之和等于1，求得第5组的频率； 再根据频率频数总数，求得频数频率总数． 【规范解答】解：根据题意，得 第5小组的频率是， 则第5小组的频数是． 故答案为： ． 【考点评析】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，灵活地应用公式是解题的关键． 6．（22-23八年级下·江苏南京·期中）八年级（1）班有40位同学，他们的学号是，随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35．其中，发生可能性最小的事件为 （填序号）． 【答案】③ 【思路点拨】分别求出三个事件的可能性，再比较大小即可得到答案． 【规范解答】解：①抽到的学号是奇数的可能性为； ②抽到的学号是个位数的可能性为； ③抽到的学号不小于35的可能性为， ， 发生可能性最小的事件为为③， 故答案为：③． 【考点评析】本题主要考查了基本可能性的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 7．（21-22八年级下·江苏连云港·期中）“头盔是生命之盔”质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.950 0.945 0.962 0.958 0.961 0.960 0960 如果从该工厂生产出来的头盔中任取一个，则该头盔是合格的概率为 ．（精确到0.01） 【答案】0.96 【思路点拨】运用频率估计概率即可． 【规范解答】观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数n≥1000时，合格头盔的频率稳定在0.960附近，所以可取p=0.96作为该型号的合格率． 故答案为：0.96 【考点评析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的相关知识是解题的关键． 8．（2020·全国·三模）罚球是篮球比赛中得分的一个组成部分，罚球命中率的高低对篮球比赛的结果影响很大．下图是对某球员罚球训练时命中情况的统计： 下面三个推断：①当罚球次数是时，该球员命中次数是，所以“罚球命中”的概率是；②随着罚球次数的增加，“罚球命中”"的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是 ；③由于该球员“罚球命中”的频率的平均值是，所以“罚球命中”的概率是．其中合理的是 ．(填序号） 【答案】② 【思路点拨】根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【规范解答】解：当罚球次数是500时，该球员命中次数是411，所以此时“罚球命中”的频率是：411÷500=0.822，但“罚球命中”的概率不一定是0.822，故①错误； 随着罚球次数的增加，“罚球命中”的频率总在0.812附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计该球员“罚球命中”的概率是0.812．故②正确； 虽然该球员“罚球命中”的频率的平均值是0.809，但是“罚球命中”的概率不是0.809，故③错误． 故答案为：②． 【考点评析】本题考查了利用频率估计概率，算术平均数，解题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答． 9．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为 ．    【答案】// 【思路点拨】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，正确作出辅助线是解题关键．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成求的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，最后利用面积法即可得解． 【规范解答】解：如图，连接、，   ，， ． 四边形是矩形， ， 四边形为矩形， ， 要求的最小值就是要求的最小值． 点从点沿着往点移动， 当时，取最小值． 在中， ，，， ． ， ， 的长度最小为：． 故答案为：． 10．（19-20八年级下·江苏无锡·期中）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 300 652 793 1604 3204 发芽的频率 0.850 0.750 0.815 0.793 0.802 0.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率为 （精确到0.1）． 【答案】0.8 【思路点拨】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近，据此可估计出这种玉米种子发芽的概率． 【规范解答】观察表格得到这种玉米种子发芽的频率稳定在0.801附近， ， 则这种玉米种子发芽的概率是0.8， 故答案为：0.8． 【考点评析】本题考查概率计算．当频数足够大时，所对应的频率相当于概率． 11．（2020·甘肃武威·中考真题）在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入3个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，则袋中红球约有 个． 【答案】17 【思路点拨】根据口袋中有3个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可． 【规范解答】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，口袋中有3个黑球， ∵假设有x个红球， ∴＝0.85， 解得：x＝17， 经检验x＝17是分式方程的解， ∴口袋中有红球约有17个． 故答案为：17． 【考点评析】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键． 12．（21-22八年级上·河南南阳·期末）已知数据：，，，，0，其中无理数出现的频率为 ． 【答案】0.6或 【思路点拨】判断出无理数的个数，根据概率的意义求解即可． 【规范解答】解：在数据，，，，0中，无理数有3个， ∴无理数出现的频率为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查无理数、算术平方根以及概率的意义，理解无理数、算术平方根和概率的意义是正确解答的前提． 13．（21-22八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，连接，将绕点B逆时针旋转，点C恰好与点D重合，得到，连接，若，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查旋转变换，勾股定理，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由旋转的性质和等边三角形的性质可证，利用勾股定理求出即可解决问题．解题的关键是证明． 【规范解答】解：∵将绕点逆时针旋转得到，，， ∴， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（18-19八年级上·贵州安顺·期末）对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了新定义下的实数运算、解分式方程，根据新运算的法则，列出分式方程求解即可． 【规范解答】解：∵，方程， ∴， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴方程的解是， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，，．点是线段BD上一点．则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，垂线段最短．解题的关键是理解两点之间线段最短，以及点到直线垂线段最短，添加辅助线构造特殊三角形． 过点作于点，连接过点作于点，，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到，进而得到当当三点共线时，的值最小为的长，再根据点到直线，垂线段最短，得到当时， 最小，即点与点重合，再利用含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【规范解答】解：∵在长方形中，，， ∴， ∴， ∵将长方形沿对角线折叠，得， ∴， ∴， 过点作于点，连接过点作于点，则：， ∵， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵点到直线，垂线段最短， ∴当时， 最小，即点与点重合， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：的最小值为． 16．（23-24八年级下·全国·期中）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．证明，推出点在射线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，求出即可． 【规范解答】在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于． ，， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 点在射线上运动， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小， ，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ∴， ， 的最小值为， 故答案为：． 17．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，在中，，，点在直线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接、、，则线段与线段的数量关系是 ，的最小值 ． 【答案】 【思路点拨】当点在线段上时，点在延线长上两种情况，过点作直线于，过点作，交于点G，证明，得到，再证明，推出，求出，即可得出线段与线段的数量关系；作点关于的对称点，过点作直线，连接，当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，证明，推出，，利用勾股定理即可解答． 【规范解答】解：如图，当点在线段上时，过点作直线于，过点作，交于点G， 由旋转的性质得：， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在延长线上时，如图， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 作点关于的对称点，过点作直线，连接， ，， ， 点在与直线成的直线上移动， 点与点关于直线对称， ，， ， 当点，点，点三点共线时，有最小值为的长， ，，， ， ，， ， ， 的最小值为． 故答案为：，． 【考点评析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，最短路径问题，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 18．（2010·新疆乌鲁木齐·中考真题）若实数a，b满足，设，，则M，N的大小关系为M N．（用“>”、“=”或“<”连接） 【答案】= 【思路点拨】本题考查了分式的混合运算，在解题时要注意先对分式进行化简，再代入求值即可． 本题只需要先对M、N分别进行化简，再把代入即可比较M、N的大小． 【规范解答】解：， ， ∵， ∴ ， ∴ 故答案为：＝． 19．（19-20八年级下·江苏扬州·期末）为保证口罩供应，某公司加紧转产，开设多条生产线争分夺秒赶制口罩，口罩送检合格率也不断提升，真正体现了“大国速度”，以下是质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据，统计如下： 下列说法中： ①当抽检口罩的数量是100个时，口罩合格的数量是93个，所以这批口罩中“口罩合格”的概率是0.930； ②随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在0.920附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩“口罩合格”的概率是0.920； ③当抽检口罩的数量达到20000个时，“口罩合格”的频率一定是0.921；你认为合理的是 （填序号） 【答案】② 【思路点拨】观察表格，利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率即可． 【规范解答】解：观察表格发现：随着试验的次数的增多，口罩合格率的频率逐渐稳定在0.920附近， 所以可以估计这批口罩中合格的概率是0.920， 故答案为：②． 【考点评析】本题主要考查了利用频率估计概率及概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率的稳定值估计概率，难度不大． 20．（19-20八年级下·江苏南京·期末）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外都相同的小球，小明每次从袋子中随机摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验3000次，记录结果如下： 实验次数n 100 200 300 500 800 1000 2000 3000 摸到红球次数m 65 124 178 302 481 620 1240 1845 摸到红球频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.620 0.620 0.615 估计从袋子中随机摸出一个球恰好是红球的概率约为 ．（精确到0.1） 【答案】0.6 【思路点拨】利用表格中摸到红球频率估计随机摸出一个球恰好是红球的概率即可． 【规范解答】解：由表格中的数据可得，摸到红球频率大约为0.6，则随机摸出一个球恰好是红球的概率约为0.6． 故答案为0.6． 【考点评析】本题主要考查了利用频数估计概率，明确题意、掌握频率和概率的关系是解答本题的关键． 21．（18-19八年级下·江苏淮安·期末）某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下： 该射手击中靶心的概率的估计值是 (精确到0.01)． 【答案】0.90． 【思路点拨】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率． 【规范解答】解：由击中靶心频率都在0.90上下波动， ∴该射手击中靶心的概率的估计值是0.90． 故答案为：0.90． 【考点评析】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题． 22．（18-19八年级下·江苏南京·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中．不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1 000 3 000 摸到白球的次数m 65 124 178 302 481 620 1845 摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.620 0.615 请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到0.1） 【答案】0.60 【思路点拨】计算出平均值即可解答 【规范解答】解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60； 故答案为0.60； 【考点评析】此题考查利用频率估计概率，解题关键在于求出平均值 23．（18-19八年级上·山东东营·期末）如图显示了小亚用计算机模拟随机投掷一枚某品牌啤酒瓶盖的实验结果. 那么可以推断出如果小亚实际投掷一枚品牌啤酒瓶盖时，“凸面向上”的可能性 “凹面向上”的可能性.（填“大于”，“等于”或“小于”）. 【答案】小于 【思路点拨】根据图形中的数据即可解答本题． 【规范解答】解：根据表中数据可得，“凸面向上”的频率在0.443与0.440之间， ∴凸面向上”的可能性 小于“凹面向上”的可能性．， 故答案为小于． 【考点评析】本题考查模拟实验，可能性的大小，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答． 24．（24-25八年级上·重庆·期末）若关于x的一元一次不等式组有且仅有个偶数解，且关于的分式方程的解是正数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了分式方程的解，解分式方程，一元一次不等式组的整数解，不等式组整理后，根据恰有个偶数解，确定出的范围，再由分式方程的解为正数，确定出满足题意的整数的值，求出这些整数的和即可．熟练掌握各自的解法是解、题的关键． 【规范解答】解：不等式组整理得， 解得：， ∵不等式组恰有个偶数解， ∴， 解得：， ∵关于的分式方程的解是正数， ∴且， 解得：且， ∴且， ∴满足条件的整数的值有，,，，， ∴， ∴所有满足条件的整数的值之和是． 故答案为：． 25．（2019·湖南长沙·中考真题）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表： 摸球实验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000 “摸出黑球”的次数 36 387 2019 4009 19970 40008 “摸出黑球”的频率 （结果保留小数点后三位） 0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400 根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 （结果保留小数点后一位）． 【答案】0.4 【思路点拨】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解. 【规范解答】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近， 故摸到白球的频率估计值为0.4； 故答案为0.4． 【考点评析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率． 26．（24-25八年级下·全国·期中）菱形的两条对角线的长分别为6和8，点M、N分别是边的中点，点P是对角线上的一个动点，菱形的边长是 ；则的最小值是 ．   【答案】 5 5 【思路点拨】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，菱形的对角线互相垂直平分，则可得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到菱形的边长；取中点E，连接，可证明，得到，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，证明四边形是平行四边形，可求出的长，据此可得答案． 【规范解答】解；如图所示，连接交于O， ∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，即， ∴，， ∴， ∴菱形的边长为5； 如图所示，取中点E，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E和点M分别为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∵点N为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值为5． 故答案为：5；5． 27．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图，设四边形是边长为1的正方形，以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，如此下去．则第2024个正方形的边长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正方形的性质以及图形类规律探索，解题关键是利用正方形的对角线等于边长的倍的性质，并注意正方形的序数与指数的关系．根据正方形的对角线等于边长的倍，进行依次求解，然后根据指数的变化求出第n个正方形的边长即可． 【规范解答】解：∵四边形是边长为1的正方形， ∴第二个正方形的边长， 第三个正方形的边长， 同理：第n个正方形的边长， ∴第2024个正方形的边长为． 故答案为：． 28．（21-22八年级下·西藏拉萨·期中）如图，在平行四边形中，，过点D作的垂线，交于点E，交的延长线于点F，则的度数为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，由三角形内角和定理可得，由平行四边形的性质可得，再由平行线的性质即可得解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 29．（21-22八年级下·广东江门·期中）如图，矩形中，，，R是的中点，P是上的动点，E、F分别是、的中点，那么线段的长是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了矩形的性质、中位线的性质及勾股定理，检验学生对矩形性质和中位线性质的理解及对勾股定理的掌握情况．根据矩形的性质，利用勾股定理即可求出得长度，在根据三角形中位线的性质即可求得答案． 【规范解答】如图，连接， 四边形是矩形，，， ，． R是的中点， ， ， 、分别是、的中点， 为的中位线， ， 故答案为：． 30．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】连接，可证明，即得出，．结合题意可证为等边三角形，得出，即说明当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，此时，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【规范解答】解：如图，连接． ∵在菱形中，， ∴，， ∴和都为等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴当最小时，最小． 由垂线段最短可知当时，最小， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为：． 【考点评析】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，理解，且当时，最小，即最小是解题关键． 31．（24-25八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，若点是轴上一动点，且与面积相等，则点坐标是 ． 【答案】或 【思路点拨】过点B作，过点A作于点G，过点C作于点E，交于点F，分割法求得，设点，根据题意，得，解答即可． 【规范解答】解：过点B作，过点A作于点G，过点C作于点E，交于点F， 则四边形是矩形， ∵，，， ∴， 设点， 根据题意，得， ∵与面积相等， ∴． 解得或， 故或， 故答案为：或． 【考点评析】本题考查了矩形的判定和性质，分割法求面积，绝对值的应用，分类思想求面积，熟练掌握坐标与线段的转化方式是解题的关键． 32．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在△ABC中，点D、E分别是边、的中点，连接，的平分线交于点F，若，，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了中位线的性质定理，等腰三角形的判定，平行线的性质和角平分线的定义，根据图形得到是解题的关键．由于，可先证得是的中位线，求得的长度，再利用平行线的性质和角平分线的定义证得，即可求解． 【规范解答】解：∵点、分别为边、的中点，， ∴，， ∴是的中位线， ∵， ∴，， ∴， ∵的平分线交线段于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 33．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在正方形中，点E、F分别是对角线、上的点，连接、、，若，且．，则的度数为 ． 【答案】/30度 【思路点拨】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质． 根据正方形的性质和，证明得到，从而得到，根据即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示：   四边形是正方形，对角线为、相交于点， ， ， ，，， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 34．（24-25八年级上·广东揭阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形，，点为轴上一动点，以为边在的右侧作等腰，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】过点E作轴于点F，易证，得出，，从而证明为等腰直角三角形，即得出点E在的平分线所在的直线上运动，再结合垂线段最短可知当时，最小，最后根据勾股定理求解即可． 【规范解答】解：如图，过点E作轴于点F，连接， ∵为等腰直角三角形， ∴，，， ∴． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即平分， ∴点E在的平分线所在的直线上运动， ∴当时，最小，如图． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点评析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短等知识，正确作出辅助线，证明点E在的平分线所在的直线上运动是解题关键． 35．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，．将沿射线平移得到，将绕着点逆时针旋转得到线段，连接，在的平移过程中，的周长的最小值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，过点作于点，证明得出，设，根据平移的性质可得，，勾股定理表示出，即到点和的距离和的最值，进而根据轴对称的性质求得最值，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示， 过点作于点， ∵在中，，，．将绕着点逆时针旋转得到线段， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ 设，则，， ∴ 即到点和的距离和的最值， 如图所示，，取，则的最小值为的长， 即 ∴的周长的最小值为 故答案为：． 【考点评析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，轴对称的性质求线段和的最值问题，平移的性质，将问题转化为的最小值为的长是解题的关键． 36．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是的中点，过点作，垂足为的垂直平分线分别交于点，且．若，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】过点作于点，连接，，由线段垂直平分线的性质得是的中点，，，再证明四边形是矩形，得，，从而，最后证明，利用全等三角形性质即可得解． 【规范解答】解：如图，过点作于点，连接，， ∵是的垂直平分线， ∴是的中点，，， ∴， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【考点评析】本题主要考查了三角形的中位线的判定及性质，全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质，同角的余角相等，平行线的性质，熟练掌握三角形的中位线的判定及性质，全等三角形的判定及性质，矩形的判定及性质是解题的关键． 37．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在菱形中，，点E、F、G、H分别是边、、、中点，在直线上方有一动点P，且满足，则周长的最小值为 ． 【答案】 【思路点拨】证明出四边形为矩形，在上方作直线，且到的距离为，说明点在上，作点关于的对称点，连接，交于点，则三角形为所求，利用勾股定理求出，即可求出最小周长． 【规范解答】解：如图，连接、交于， 点、、、分别是边、、、中点， 、为、的中位线， ，， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形， ， ， 四边形为矩形， 在上方作直线，且到的距离为， ， 点在上， 作点关于的对称点，连接，交于点， 由对称得，， ， 由两点间线段最短得，此时最短， 周长最短， ，， 为等边三角形， ， ， ， 点、分别是边、的中点，且， 为等边三角形， ， 到的距离为， 点到的距离为， 点到的距离为， ， ， 周长的最小值为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了轴对称线段最短问题，菱形性质、中点四边形性质及三角形中位线性质的应用是本题的解题关键． 38．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图1所示，在边长为4的正方形中，点分别为的中点，和相交于点；如图2所示，将图1中边长为4的正方形折叠，使得点落在边的中点处，点落在点处，折痕为．现有四个结论：图1中：①；②；③；图2中：④．其中正确的结论有： ．（填序号） 【答案】①②④ 【思路点拨】结合正方形的性质证明，由全等三角性质的性质可得，，即可判断结论①；证明，易得，即可判断结论②；利用面积法解得的长度，即可判断结论③；图2中，过点作于点，连接交于，证明，由全等三角性质的性质可得，利用勾股定理解得的值，即可判断结论④． 【规范解答】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点分别为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ， ∴， ∵， ∴，故结论③错误； 图2中，过点作于点，连接交于，如下图， 由题意可知， 由折叠可知，， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，故结论④正确． 综上所述，正确的结论有：①②④． 故答案为：①②④． 【考点评析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质并灵活运用是解题关键． 39．（24-25八年级上·全国·期末）将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点对应点的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查图形的旋转规律，坐标与图形，关于原点对称的点的坐标中；根据得，由绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位，可知第次旋转结束时，点A对应点与点关于点对称，进而可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵绕原点逆时针旋转，每次旋转，每旋转6次回到原位， ∴， ∴第2025次旋转结束时，点A对应点与点关于点对称， ∴点A对应点的坐标为． 故答案为：． 40．（21-22九年级上·河南郑州·期中）如图，在边长为4的正方形中，点分别是边的中点，连接，点分别是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明，推出，勾股定理求出的长，等积法求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． 【规范解答】解：设交于点， ∵正方形，边长为4， ∴， ∵点分别是边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， ∴，， ∴； 故答案为： 41．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在平行四边形内，，，，为线段上一点，若为等腰三角形，则 【答案】2或 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分线性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题根据 分情况讨论：当时，作于点， 于点，得到，，，得到； 当时，作于点，于点，由题意得到，证明，得到，求出，即可得到的值；求出，得到，得到答案即可． 【规范解答】解：平行四边形，，， ，， 为等腰三角形， 当时， 如图，作于点， 于点， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ； 当时， 如图，作于点，于点， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图，连接，作于点，于点， ， ， ， ， 不是等腰三角形； 故答案为：或． 42．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的动点，连接，点G、H分别为的中点，连接．若，则的最大值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了含30度直角三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，利用中位线定理把求的最值转化为求的最值是解题的关键．连接，由中位线定理得，从而当最大时，最大，当点F与点C重合时，最大；过点A作于P，由直角三角形的性质及勾股定理可分别求得的长，从而由勾股定理求得的长，即可求得最大值． 【规范解答】解：连接，如图， ∵点G、H分别为的中点， ∴， 当最大时，最大， 当点F与点C重合时，最大； 过点A作于P， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴的最大值为； 故答案为：． 43．（18-19九年级上·全国·期末）如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点逆时针旋转得到；②点与的距离为4；③；④；⑤．其中正确的结论是 ． 【答案】①②③⑤ 【思路点拨】连接，过点作，垂足为，由旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，从而证明，即可判断①正确，证明是等边三角形，即可判断②正确；根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质可证是直角三角形，即可判断③正确；在中，求出的长，然后根据进行计算即可判断④不正确；将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点，将的面积转化为计算即可判断⑤． 【规范解答】解：连接，过点作，垂足为， 由旋转得：，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确； 由旋转得：，， 是等边三角形， ， 点与的距离为4；故②正确； 是等边三角形， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ，故③正确； 在中，， ，故④错误； 如图所示， 将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至点． 易知是边长为3的等边三角形，是边长为3、4、5的直角三角形， 则，故结论⑤正确． 故答案为：①②③⑤． 【考点评析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 44．（23-24八年级下·江苏扬州·期中）已知，则分式 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式的化简求值，设，则，，代入即可求解，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【规范解答】解：设， ∴，， ∴， 故答案为：． 45．（22-23八年级上·河北邯郸·期中）（新考法）试卷上一个正确的式子★，被小颖同学不小心滴上墨汁，被墨汁遮住部分的代数式★为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式的混合运算．首先根据被除数除以商等于除数可得★，根据除以一个不为的数等于乘以这个数的倒数把除法转化为乘法，再利用乘法分配律可得原式，再根据异分母分式的加法法则进行计算即可． 【规范解答】解：★， ★ ， ． 故答案为： ． 46．（23-24八年级上·山东烟台·期中）关于x的一元一次不等式组的解集为，关于y的分式方程有负整数解，试求出符合条件的所有整数m的值． 【答案】或/或 【思路点拨】本题主要考查解一元一次不等式组、解分式方程等知识点，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程是解题的关键． 先解关于x的一元一次不等式组的解集是,可得．再解关于y的分式方程可得，因为该分式方程有非负整数解，据此推断出整数m的值即可． 【规范解答】解：由，得， ∵关于x的一元一次不等式组的解集是, ∴， 分式方程， ∴, ∴， 又∵关于y的分式方程有负整数解且m为整数， ∴且， ∴且， ∴且， ∵为负整数， ∴符合条件的m的值为或． 47．（23-24七年级上·上海松江·期末）我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b = ． 【答案】 【思路点拨】由真分式的定义得的结果是整式，对此进行化简得，要使其为整式、需满足的条件，即可求解． 【规范解答】解：由题意得 是整式， ，， ； 故答案：． 【考点评析】本题考查了新定义，分式的减法，求代数式值，理解新定义，根据新定义将问题转化为分式的减法运算是解题的关键． 48．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）已知关于的不等式组，有且只有两个整数解，若关于的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识点，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤是解题的关键． 先解不等式组得到解集，再根据不等式组有且只有两个整数解求出的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有非负数解，列出关于的不等式，从而求出满足条件的所有整数的值，最后求出它们的和即可． 【规范解答】解：， 由①得：， 由②得：， ， 关于的不等式组有且只有两个整数解， ，解得:， ， ， ， ， 关于的分式方程有非负数解， 且，解得：且， 且， 满足条件的所有整数的值为：或， 满足条件的所有整数的和为：． 故答案为：． 49．（23-24九年级下·浙江宁波·自主招生）记．若，则 ． 【答案】4 【思路点拨】本题主要考查了分式的运算，整式的运算，理解新定义和掌握分式的运算法则是解题的关键．根据题意，可知、、均不为0，由题目所给定义表示出，，，再通分计算即可． 【规范解答】根据题意，可知、、均不为0， ， ， ， ， 故答案为：4． 50．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平行四边形中，，，点，分别是，上的动点，，连接，过点作，垂足为，若，则的大值为 ． 【答案】 【思路点拨】连接交于点，作交的延长线于点，由平行四边形的性质得，，，则，而，可证明，由，求得，则，所以，则，再证明，得，因为于点，所以的最大值为，于是得到问题的答案． 【规范解答】解：如图，连接交于点，作交的延长线于点，则， 四边形是平行四边形，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 于点， ， ， 的最大值为， 故答案为：． 【考点评析】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$