周末拔尖学案 第6周-【拔尖特训】2024-2025学年六年级下册数学（苏教版）

第6周 综合拓展题 与比例尺相关的实际问题 在标有 的地图 上,量得A城到B城的距离为8厘米。暑假 期间,住在A城的小达全家开车前往B城, 早上6:00出发,到达第一个收费站时已经行 驶了160千米,此时刚好是上午8:00。照这 样的速度,在上午9:30前能到达B城吗? [解析] 由线段比例尺可知,图上距离1厘米 表示实际距离40千米,所以可先求出A城 到B城 的 实 际 距 离。由2小 时 行 驶 了 160千米,可以求出行驶的速度。用A城到 B城的实际距离除以行驶的速度可以求出 行驶完全程所需的时间,最后与计划的时间 比较即可得出结论。 [答案] 8×40=320(千米) 160÷(8-6)=80(千米/时) 320÷80=4(时) 6时+4时=10时 答:在上午9:30前不能到达B城。 点评:解决与比例尺相关的实际问题时,可先根 据比例尺求出实际距离,再根据数量关系求解。 1. 下面是某街区的平面示意图。 (1) 广场在超市的( )方向( ) 米处。 (2) 少年宫在超市的正东方向2千米处, 请用“△”在图中标出。 (3) 和平路在人民路北面,与人民路相距 2.5千米,且与人民路平行,请在图上画 出和平路。 (4) 下午6:15,张阿姨骑共享单车以 15千米/时的速度从广场出发,经超市到 达健身中心时为下午( )时( )分。 2. 用1∶8000的比例尺画一块长方形试验 田的平面图。已知平面图上试验田的周 长是20厘米,长与宽的比是3∶2,则这 块试验田的实际面积是多少公顷? 3. 在比例尺是1∶5000000的地图上,量得 甲、乙两地的路程是8厘米。一辆快车与 一辆慢车分别从甲、乙两地同时出发,相 向而行,2.5小时后在距离中点40千米 处相遇。快车和慢车每小时各行驶多少 千米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 四　比　例 思维创新题 根据面积变化规律解决问题 春雨小学有一个长方形操场,画在比例 尺是1∶4000的平面图上,长3厘米,宽 2厘米。操场的实际面积是多少平方米? [解析] 方法一:根据比例尺和图上距离,先 求出实际的长和宽,再求出面积。 方法二:先求出图上面积,再根据面积变化 规律为图上面积∶实际面积=12∶40002= 1∶16000000,求出实际面积。 [答案] 方法一:3×4000=12000(厘米) 12000厘米=120米 2×4000=8000(厘米) 8000厘米=80米 120×80=9600(平方米) 方法二:12∶40002=1∶16000000 3×2×16000000=96000000(平方厘米) 96000000平方厘米=9600平方米 答:操场的实际面积是9600平方米。 点评:比例尺是长度的比,而不是面积的比,如采 用第二种方法解答,要注意长度比是1∶a,面积 比就是1∶a2,不能直接用图上面积去乘a,而要 乘a2,从而求出实际面积。 1. 把一个三角形按2∶1的比放大,已知放 大后三角形的 底 是14厘 米,面 积 是 140平方厘米,则放大前这个三角形的高 是多少厘米? 2. 想一想,填一填。 (1) 劳动技术课上,小涵制作了一个正方 体,它的棱长是6厘米,一旁的小晗将小 涵制作的正方体按5∶1的比放大,也制 作了一个正方体。小晗的正方体与小涵 的正方体相比,棱长比是( ),表面 积比是( ),体积比是( )。 (2) 小寒在电脑上将一个圆先按2∶1的 比放大,再按1∶4的比缩小,这个圆现在 的面积是原来面积的 ( ) ( ) 。 (3) 周末,小枫去参观爷爷工作的农场, 爷爷先带他参观自己今年新耕作的试验 田。试验田里麦浪滚滚,麦香扑鼻,小枫 深深地陶醉了。在询问爷爷一些相关的 数据后,小枫用1∶6000的比例尺画了 一块长方形试验田的平面图。已知图上 长方形的周长是30厘米,长与宽的比是 2∶1,则这块试验田的实际面积是( ) 公顷。 3. 将一个小圆放大成一个大圆,它们的面积 之差是209平方厘米。已知小圆与大圆 的直径比是9∶10,则小圆的面积是多少 平方厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 数学(苏教版)六年级下 量×34= 香蕉的质量×58 ,根据这个等式可以写出 比例为苹果的质量∶香蕉的质量=58∶ 3 4 ,从而可 以先求出苹果和香蕉质量的比,再将440千克按比 分配解决问题。 3. 第一袋大米的质量∶第二袋大米的质量=27∶ 1 3=6∶7 第一袋大米的质量:6÷(7-6)×6= 36(千克) 第二袋大米的质量:6÷(7-6)×7= 42(千克) 解析:由题意可知,第一袋大米质量的 1 3= 第二袋大米质量的2 7 ,即第一袋大米的质量× 1 3= 第二袋大米的质量×27 ,根据这个等式可以写 出比例为第一袋大米的质量∶第二袋大米的质 量=27∶ 1 3 ,从而可以先求出第一袋大米和第二袋 大米质量的比,再根据两袋大米相差6千克,分别 求出两袋大米的质量。 思维创新题 借助比、比例解决复杂的行程问题 1. 解:设当乙到达终点时,领先丙x 米。 (60- 10)∶(60-10-20)=60∶(60-x) x=24 2. 解:设A、B两地相距x 千米。 13x∶180= 1∶2 x=270 解析:由“甲车行驶到全程的一半 时,乙车正好到达B地”可知,在相同的时间内, 甲、乙两车所行驶路程的比是1∶2。设A、B两地 相距x千米,当甲车行驶了13x 千米时,乙车行驶 了180千米,它们所行驶路程的比是1∶2,因此可 列出比例1 3x∶180=1∶2 ,然后求解即可。 3. 解:设甲的起跑线应比原来后移x 米。 (100+x)∶100=100∶(100-20) x=25 解析:甲跑的路程∶乙跑的路程=甲的速度∶乙的 速度。因为两人各自的速度不变,所以两人跑的路 程比也不变。因此甲的起跑线后移之后跑的路 程∶乙跑的路程=100∶(100-20),可根据此比例 关系解题。 第6周 综合拓展题 与比例尺相关的实际问题 1. (1) 正西 2000 (2) 如图所示 (3) 如图所 示 (4) 6 35 2. 20÷2=10(厘米) 10× 33+2=6 (厘米) 10- 6=4(厘米) 6×8000=48000(厘米) 48000厘 米=480米 4×8000=32000(厘米) 32000厘 米=320米 480×320=153600(平方米) 153600平方米=15.36公顷 3. 8×5000000=40000000(厘米) 40000000厘 米=400千米 400÷2+40=240(千米) 400- 240=160(千米) 快车:240÷2.5=96(千米) 慢 车:160÷2.5=64(千米) 解析:根据“在距离中点 40千米处相遇”可知,相遇时快车行驶的路程比全 程的一半多40千米,慢车行驶的路程比全程的一 半少40千米。根据图上距离和比例尺求出两地的 实际距离,然后分别求出两车行驶的路程,最后分 别除以时间求出各自每小时行驶的路程。 思维创新题 根据面积变化规律解决问题 1. 22∶12=4∶1 140÷4=35(平方厘米) 14÷ 2=7(厘米) 35×2÷7=10(厘米) 解析:先根据 面积比求出放大前三角形的面积,再求出放大前三 角形的底,最后用三角形面积计算公式求解。 2. (1) 5∶1 25∶1 125∶1 (2) 1 4 (3) 18 解析:本题是求试验田的实际面积,可以 先求出试验田实际的长和宽,再求出实际面积;也 可以先求出试验田的实际面积是图上面积的多少 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 附：答案与解析 倍,再求出实际面积。 3. 92∶102=81∶100 209÷(100-81)=11(平 方厘米) 11×81=891(平方厘米) 解析:小圆与 大圆的直径比是9∶10,则面积比是92∶102= 81∶100,面积增加了(100-81)份,对应增加了 209平方厘米,1份对应209÷(100-81)=11(平 方厘米),则小圆的面积是11×81=891(平方 厘米)。 五　确定位置 第7周 综合拓展题 稍复杂的根据方向确定位置的 实际问题 1. 解析:由题意可知,玉衡的4点钟方向就是将表盘 中心对准玉衡时,沿着4点钟时针的指向,画出对 应方向的射线。天权在天玑的11点钟方向,结合 表盘与位置的相对性可知,天玑在天权的5点钟方 向,以天权为端点,画出对应方向的射线。两条射 线的交点即为天玑的位置。 2. 小枫在起点的北偏西60°方向,距离起点80米 思维创新题 与确定位置相关的路程问题 1. 1200÷4-145=155(米/分) 2. 1200÷4=300(米/分) 1200÷(4+16)= 60(米/分) 亮亮:(300+60)÷2=180(米/分) 宁宁:(300-60)÷2=120(米/分) 解析:由题意 可知,4分钟后,两人共骑了1200米,则两人的骑 行速度和为1200÷4=300(米/分);(4+16)分钟 后,亮亮比宁宁多骑1200米,则两人的骑行速度差 为1200÷(4+16)=60(米/分)。由此求出亮亮的 骑行速度为(300+60)÷2=180(米/分),宁宁的骑 行速度为(300-60)÷2=120(米/分)。 六　正比例和反比例 第8周 综合拓展题 用正、反比例知识解决图形问题 1. 解:设涂色部分所在的小长方形的面积为 xcm2。 25∶x=20∶30 x=37.5 37.5÷2= 18.75(cm2) 2. 解:设涂色部分所在的正方形的面积是xcm2。 24∶x=12∶48 x=96 96÷4×3.14= 75.36(cm2) 解析:左上方的小长方形与涂色部 分所在正方形的面积之比等于右边两个小长方形 的面积之比,因此可以列比例求出涂色部分所在正 方形的面积,而涂色部分是正方形中的最大圆,最 大圆与正方形的面积比为3.14∶4,由此即可 解答。 3. AE:2×6÷(6÷2)=4(厘米) BE:4-3= 1(厘米)或4+3=7(厘米) 解析:三角形AEF 的 面积保持不变,则点F 到AB 的距离与AE 的长度 成反比例。当点F 在线段BC 的中点时,AE 的长 度为2×6÷(6÷2)=4(厘米),由于点E 在直线 AB 上运动,所以每个点F 的位置都对应了两个 点E 的位置,分别在点A 的上方与下方。当点E 在点A 的下方时,BE=4-3=1(厘米);当点E 在 点A 的上方时,BE=4+3=7(厘米)。 思维创新题 用正、反比例知识解决路程问题 1. 去时的速度∶返回时的速度=100∶80=5∶4 去时的时间∶返回时的时间=4∶5 去时的时间: 9÷(5+4)×4=4(时) 总公司到分公司的距离: 100×4=400(千米) 2. 14× 34+3=6 (时) 解析:由于轮船驶出和返回 所行驶的路程相等,所以轮船的速度和时间成反比 例,因此逆风行驶的时间和顺风行驶的时间的比为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63 数学(苏教版)六年级下