周末拔尖学案 第5周-【拔尖特训】2024-2025学年六年级下册数学（苏教版）

第5周 教材思考题 用比例的基本性质解决问题 (教材P42思考题)如果34m= 2 5n (m、n 都不等于0),那么: m∶n=( )∶( ),nm= ( )。 [解析] 把等式改写成比例时,根据比例的 基本性质,等式两边相乘的两个数要同时作 为比例的外项或内项。当m 为外项时,34 也 为外项,此时n 和25 均为内项,写成的比例 为m∶n=25∶ 3 4 。同理,当n为外项时,25 也为外项,此时m 和34 均为内项,写成的比 例为n∶m=34∶ 2 5 。最后将结果化成最简 整数比,即m∶n=8∶15,nm= 15 8 。 [答案] 8 15 158 点评:熟练掌握比例的基本性质,就能将形如a× b=c×d 的等式改写成指定的比例。 1. 根据1 5a=3b (a、b均不为0),想一想,填 一填。 (1) a∶b=( )∶( ) (2) a∶3=( )∶( ) (3) a∶( )=3∶( ) (4) ( )∶( )=b∶a 2. 做一做,比一比,想一想。 (1) 小华和小强一共带了170元去书城买 书,他们分别购买一本相同的故事书,小华 用去所带钱数的2 5 ,小强用去所带钱数的 4 7 。出发去书城时,两人各带了多少钱? (2) 水果店运进苹果和香蕉共440千克。 当苹果卖出1 4 ,香蕉卖出3 8 时,两种水果 剩下的质量相同。水果店运进苹果和香 蕉各多少千克? 3. 有两袋大米,第二袋比第一袋重6千克, 第一袋大米质量的1 3 等于第二袋大米质 量的2 7 。两袋大米各重多少千克? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 四　比　例四　比　例 思维创新题 借助比、比例解决复杂的行程问题 一个猎人带着猎狗在树林里打猎。猎 人在离他10米远的地方发现了一只奔跑的 兔子,猎人马上命令猎狗追,猎狗的步子长, 它跑5步的路程,兔子要跑9步,但是兔子 的动作快,猎狗跑2步的时间,兔子能跑 3步。猎狗至少跑多少米才能追上兔子? [解析] 已知猎狗跑5步的路程,兔子要跑 9步,即猎狗每步的长∶兔子每步的长= 9∶5。又知猎狗跑2步的时间,兔子能跑 3步,即在追逐的过程中猎狗跑的步数∶兔 子跑的步数=2∶3,由此可得猎狗跑的路程∶ 兔子跑的路程=(9×2)∶(5×3)=6∶5。 根据此关系式可解题。 [答案] 解:设猎狗至少跑x 米才能追上兔 子,则兔子跑了(x-10)米。 x∶(x-10)=(9×2)∶(5×3) x∶(x-10)=6∶5 x=60 答:猎狗至少跑60米才能追上兔子。 点评:与比例有关的问题是数学学习和生活中常 常会遇到的,灵活运用比、比例的相关知识,可以 帮助我们解决许多稍复杂的问题。 1. 在60米赛跑中,甲冲过终点线时,领先乙 10米,乙领先丙20米。如果乙和丙的速 度始终不变,那么当乙到达终点时,领先 丙多少米? 2. 甲、乙两车同时从A地匀速驶往B地,当 甲车行驶到全程的1 3 时,乙车行驶了180千 米;当甲车行驶到全程的一半时,乙车正 好到达B地。A、B两地相距多少千米? 3. 甲、乙两人进行百米赛跑,当甲到达终点 时,乙在甲后面20米。如果甲、乙两人各 自的速度不变,要使两人同时到达终点, 甲的起跑线应比原来后移多少米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 数学(苏教版)六年级下 3. 3.14×[(8÷2)2-(6÷2)2]×(25+20)÷2= 494.55(dm3) 解析:将两根完全相同的、被截去 一部分的水泥管拼成一个横截面是环形、长是 (25+20)dm的空心管,用“环形面积×长”求出拼 接后空心管的体积,再除以2,即可得到水泥管现 在的体积。 三　解决问题的策略 第4周 教材思考题 用多种策略解决“鸡兔同笼”问题 1. 列表如下: 单打的 球桌张数 双打的 球桌张数 相差的人数 和6人 比较 10 5 10×2-5×4=0 少6人 11 4 11×2-4×4=6 正好 进行单打比赛的乒乓球桌有11张,进行双打比赛 的乒乓球桌有4张 2. 假设100只全是鸡。 兔:(2×100-80)÷ (2+4)=20(只) 鸡:100-20=80(只) 解析:假 设100只全是鸡,那么鸡脚的总只数是2×100= 200,这时兔脚的只数为0,鸡脚比兔脚多200只。 实际上鸡脚比兔脚多80只,因此,现在鸡脚比兔脚 多的只数比实际多了200-80=120。因为每把 一只兔看成一只鸡,鸡脚的只数就会相应比兔脚多 2+4=6,所以兔有120÷6=20(只),则鸡有100- 20=80(只)。 思维创新题 复杂的“鸡兔同笼”问题 1. 假设18只全是蜻蜓。 蜘蛛:(118-6×18)÷ (8-6)=5(只) 蜻蜓和蚊子:18-5=13(只) 假 设13只全是蜻蜓。 蚊子:(13×2-20)÷(2- 1)=6(只) 蜻蜓:13-6=7(只) 2. 假设30枚全为面值是1元的邮票。 8角= 0.8元 面值是5元的邮票:(60.4-30×1)÷ (5+0.8-1×2)=8(枚) 面值是8角的邮票: 8枚 面值是1元的邮票:30-8×2=14(枚) 解析:假设30枚全为面值是1元的邮票,则邮票面 值总额是30元,比实际少了60.4-30=30.4(元)。 由于面值是5元和8角的邮票枚数相等,每把1枚 面值是5元和1枚面值是8角的邮票看成2枚面 值是1元 的 邮 票,就 会 少5+0.8-1×2= 3.8(元),则面值是5元和8角的邮票各有30.4÷ 3.8=8(枚),最后求出面值是1元的邮票有30- 8×2=14(枚)。 3. 86-1×2=84(元) 18-2=16(张) 假设 16张全是5元的人民币。 10元的人民币:(84- 16×5)÷(1+10-5×2)=4(张) 1元的人民币: 4+2=6(张) 5元的人民币:18-4-6=8(张) 解析:减少2张1元的人民币,使1元和10元的人 民币张数一样多,此时的总钱数为84元,人民币共 16张。假设16张全是5元的人民币,则总钱数为 16×5=80(元),比84元少4元。因为每把1张 1元的人民币和1张10元的人民币看成2张5元 的人民币,就少1+10-5×2=1(元),所以10元 的人民币有4÷1=4(张),则1元的人民币有4+ 2=6(张),5元的人民币有18-4-6=8(张)。 四　比　例 第5周 教材思考题 用比例的基本性质解决问题 1. (1) 15 1 (2) 5b 1 (3) b 15 (4) 1 15 2. (1) 小华所带的钱数∶小强所带的钱数=47∶ 2 5=10∶7 170÷ (10+7)=10(元) 小华所带的 钱数:10×10=100(元) 小强所带的钱数:170- 100=70(元) (2) 1-14= 3 4 1- 3 8= 5 8 苹果的质量∶香蕉 的质量=58∶ 3 4=5∶6 苹果的质量:440÷(5+ 6)×5=200(千克) 香蕉的质量:440÷(5+6)× 6=240(千克) 解析:根据“当苹果卖出14 ,香蕉卖 出3 8 时,两种水果剩下的质量相同”可知,苹果质量 的 1-14 =香蕉质量的 1-38 ,即苹果的质 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 43 数学(苏教版)六年级下 量×34= 香蕉的质量×58 ,根据这个等式可以写出 比例为苹果的质量∶香蕉的质量=58∶ 3 4 ,从而可 以先求出苹果和香蕉质量的比,再将440千克按比 分配解决问题。 3. 第一袋大米的质量∶第二袋大米的质量=27∶ 1 3=6∶7 第一袋大米的质量:6÷(7-6)×6= 36(千克) 第二袋大米的质量:6÷(7-6)×7= 42(千克) 解析:由题意可知,第一袋大米质量的 1 3= 第二袋大米质量的2 7 ,即第一袋大米的质量× 1 3= 第二袋大米的质量×27 ,根据这个等式可以写 出比例为第一袋大米的质量∶第二袋大米的质 量=27∶ 1 3 ,从而可以先求出第一袋大米和第二袋 大米质量的比,再根据两袋大米相差6千克,分别 求出两袋大米的质量。 思维创新题 借助比、比例解决复杂的行程问题 1. 解:设当乙到达终点时,领先丙x 米。 (60- 10)∶(60-10-20)=60∶(60-x) x=24 2. 解:设A、B两地相距x 千米。 13x∶180= 1∶2 x=270 解析:由“甲车行驶到全程的一半 时,乙车正好到达B地”可知,在相同的时间内, 甲、乙两车所行驶路程的比是1∶2。设A、B两地 相距x千米,当甲车行驶了13x 千米时,乙车行驶 了180千米,它们所行驶路程的比是1∶2,因此可 列出比例1 3x∶180=1∶2 ,然后求解即可。 3. 解:设甲的起跑线应比原来后移x 米。 (100+x)∶100=100∶(100-20) x=25 解析:甲跑的路程∶乙跑的路程=甲的速度∶乙的 速度。因为两人各自的速度不变,所以两人跑的路 程比也不变。因此甲的起跑线后移之后跑的路 程∶乙跑的路程=100∶(100-20),可根据此比例 关系解题。 第6周 综合拓展题 与比例尺相关的实际问题 1. (1) 正西 2000 (2) 如图所示 (3) 如图所 示 (4) 6 35 2. 20÷2=10(厘米) 10× 33+2=6 (厘米) 10- 6=4(厘米) 6×8000=48000(厘米) 48000厘 米=480米 4×8000=32000(厘米) 32000厘 米=320米 480×320=153600(平方米) 153600平方米=15.36公顷 3. 8×5000000=40000000(厘米) 40000000厘 米=400千米 400÷2+40=240(千米) 400- 240=160(千米) 快车:240÷2.5=96(千米) 慢 车:160÷2.5=64(千米) 解析:根据“在距离中点 40千米处相遇”可知,相遇时快车行驶的路程比全 程的一半多40千米,慢车行驶的路程比全程的一 半少40千米。根据图上距离和比例尺求出两地的 实际距离,然后分别求出两车行驶的路程,最后分 别除以时间求出各自每小时行驶的路程。 思维创新题 根据面积变化规律解决问题 1. 22∶12=4∶1 140÷4=35(平方厘米) 14÷ 2=7(厘米) 35×2÷7=10(厘米) 解析:先根据 面积比求出放大前三角形的面积,再求出放大前三 角形的底,最后用三角形面积计算公式求解。 2. (1) 5∶1 25∶1 125∶1 (2) 1 4 (3) 18 解析:本题是求试验田的实际面积,可以 先求出试验田实际的长和宽,再求出实际面积;也 可以先求出试验田的实际面积是图上面积的多少 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 附：答案与解析