2 圆柱和图锥-【拔尖特训】2024-2025学年六年级下册数学（苏教版）

二 圆柱和圆锥 第1课时 圆柱和圆锥的认识 1. 填一填。 (1) 从一个圆柱和圆锥的前面观察,看到的形 状分别如图所示。圆柱的底面积是( )cm2, 圆锥的底面周长是( )cm。 (2) (几何直观)将下面四个平面图形分别按 图中箭头方向旋转,从左到右分别形成的立 体图形是( )。(填序号) 2. 选一选。 (1) 一个圆柱形物品,它的底面周长是24厘 米,高是18厘米,这个圆柱形物品可能是 ( )。 A. 保温杯 B. 电池 C. 铅笔 D. 胶棒 (2) 下面四种测量圆锥高的方法中,正确的 是( )。 A. B. C. D. (3) 将一块棱长是40厘米的正方体木料加 工成一个最大的圆柱,这个圆柱的高是 ( )厘米,底面半径是( )厘米。 A. 40 B. 20 C. 10 D. 5 3. 一个长方形的长是5厘米,宽是2厘米。分 别绕着这个长方形的长或宽所在的直线旋转 一周,可以得到两个不同的圆柱。 圆柱 A的底面周长是( )厘米,高是 ( )厘米;圆柱B的底面积是( )平方 厘米,高是( )厘米。 4. (操作探究)在正方形纸板 上剪下一个圆和一个扇 形,正好可以做一个圆锥 (如图)。如果圆的半径为r,扇形的半径为 R,那么r与R 之间的关系为( )。 A. R=2r B. 4R=9r C. R=3r D. R=4r 5. 如图所示为爸爸送给源源的生日蛋糕的包装 盒。这个圆柱形包装盒的底面直径是30cm, 高是20cm。像图中这样用彩带捆扎,打结处 需要35cm的彩带,则一共需要多少厘米的 彩带? 6. (探究创新)一个高是4厘米的圆柱,沿着直 径切成同样的两半,表面积增加了24平方厘 米。这个圆柱的底面周长是多少厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 第2课时 圆柱的侧面积和表面积 1. 填一填。 (1) 一个圆柱的底面半径和高都是6厘米, 它的底面周长是( )厘米,侧面积是 ( )平方厘米,表面积是( )平方厘米。 (2) 一个圆柱的底面半径是5厘米,如果沿 直径竖直切开后的截面是一个正方形,那么 这个圆柱的侧面积是( )平方厘米。 2. (说理表达)下面三幅图中,哪幅图是圆柱的展 开图? 请简要说明理由。(单位:分米) (1) 我选择图( ),理由: 。 (2) 如果用铁皮做一个第(1)题中这样的油桶 (有盖),那么40平方分米的铁皮够吗? 3. (地域景观)南京某建筑大厅内有4根同样大 的圆柱形柱子,每根柱子高约19米,底面直径 为12分米。如果在每根柱子的表面刷一层油 漆,每平方米用油漆0.6千克,那么刷这些柱 子大约需要多少千克油漆? (得数保留整数) 4. 如图,将底面半径是r、高是h的圆柱展开图 中的两个底面剪拼成一个近似的长方形,与侧 面的展开图拼成一个近似的大长方形。根据 这样的过程,可以用算式( )来计算这个 圆柱的表面积。 A. 2πr(h+2r) B. πr(h+2r) C. 2πr(h+r) D. πr(2h+r) 5. 一台压路机的前轮直径是1.5米,后轮直径 是2米。欢欢和乐乐在观看压路机压路时做 了一个记录,在3分钟内,欢欢记录前轮转了 40圈,乐乐记录后轮转了30圈。 (1) 他们的记录正确吗? (2) 如果前轮的轮宽是2.5米,那么在上述 时间内,前轮压过的面积是多少平方米? 6. (生活应用)如图,在“争做节约环保小卫士” 活动中,小明利用一张废弃的纸板正好做了 一个有盖的圆柱形笔筒(边角料不用)。这个 圆柱形笔筒的表面积是( )平方厘米。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 二　圆柱和圆锥 第3课时 练 习 课 1. ★(操作探究)圆柱的侧面展开图可能是什么 形状? (在可能的形状下面画“􀳫”) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2. 填一填。 (1) 一个圆柱的底面直径是12厘米,侧面展 开后正好得到一个面积是150.72平方厘米 的长方形。这个圆柱的高是( )厘米。 (2) (几何直观)一根圆柱形木料截成3段后 (如图),它的表面积增加了45.12平方厘米, 则这根木料的底面积是( )平方厘米。 (3) 一个长8厘米、宽5厘米的长方形,以长 所在直线为轴旋转一周,所形成的圆柱的表 面积为( )平方厘米。 (4) 一个圆柱,底面直径是4厘米。若高增 加4厘米,则表面积增加( )平方厘米。 3. 选一选。 (1) 用一张长25.12厘米、宽18.84厘米的 长方形铁皮,配上半径为( )的圆形铁片 正好可以做成圆柱形容器。 A. 4厘米 B. 5厘米 C. 6厘米 D. 7厘米 (2) 把圆柱的侧面沿一条高剪开后得到一个 正方形,这个圆柱的底面直径与高的比 是( )。 A. 1∶π B. π∶1 C. 2π∶1 D. 1∶1 4. (生活应用)丽丽过生日,妈妈买了一个圆柱 形蛋糕,底面直径是28厘米,高为12厘米, 切蛋糕时,妈妈一次切去了四分之一(如图), 剩下部分的表面积是多少平方厘米? 5. 如图,一段圆柱形木料,如果把它截成两个小 圆柱,那么它的表面积增加157平方厘米;如 果沿着底面直径截成两个半圆柱,那么它的 表面积增加300平方厘米。求原来圆柱形木 料的表面积。 6. (创新应用)如图,一个圆柱被截去10cm后, 圆柱的表面积减少了628cm2,原来圆柱的表 面积是多少平方厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 数学(苏教版)六年级下 第4课时 圆柱的体积 1. 填一填。 (1) (推理意识)如图,圆柱的底面半径是 5cm,高是10cm。小明没用体积计算公式 直接求圆柱的体积,而是根据圆柱体积计算 公式推导过程,分三步计算。 第一步:2×3.14×5×10= 314(cm2) 第二步:314÷2=157(cm2) 第三步:( ) (2) 一个圆柱形油桶的底面积是1.2m2,高 是0.5m,这个油桶的体积是( )m3;一个 圆柱形铁块的侧面积是10dm2,底面半径是 3dm,它的体积是( )dm3。 (3) 如图,一个透明的圆柱形 水杯中有水240mL,它还能装 水( )mL。 2. (生活应用)一个圆柱形木桶,底面半径为 5分米。由于做成这个木桶的一些木板坏了 (如图),现在这个木桶最多能盛水多少升? (木板的厚度忽略不计,木桶不斜放) 3. 一个底面直径是8dm 的圆柱的体积是 301.44dm3,这个圆柱的高是多少分米? 4. 一根圆柱形木头长2米,若截成相同的3段 小圆柱后,表面积增加了100平方分米,则原 来这根木头的底面积是( )平方分米,体 积是( )立方分米。 5. ★一个底面周长是188.4厘米的圆柱形玻璃 鱼缸内装有适量的水。放入一些水草、小石 块和金鱼后(浸没在水中),水面上升了4厘 米(水未溢出)。这些水草、小石块和金鱼的 体积一共是多少立方厘米? (玻璃的厚度忽 略不计) 6. 南京市琅琊路小学为丰富校园文化生活举办 科技文化节。科技社团在制作过程中需要将 一块正方体木料加工成一个最大的圆柱,已 知木料的棱长是10dm,求这个圆柱的体积。 7. (几何直观)一个圆柱的底面周长是6.28厘 米,把它切拼成一个近似的长方体后(如图), 表面积增加了48平方厘米。求原来圆柱的 体积。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 二　圆柱和圆锥 第5课时 练 习 课(1) 1. 将一个高是2dm的圆柱截成体积比是2∶3的 两个小圆柱后,表面积增加50.24cm2,则较小 的小圆柱的体积是( )cm3。 A. 50.24 B. 200.96 C. 301.44 D. 28.26 2. 填一填。 (1) 挖一个底面周长是9.42米、深是1.5米 的圆柱形水池,这个水池的容积是( )立 方米。如果在水池的四周和底面抹上水泥, 那么抹水泥的面积是( )平方米。 (2) 学校提倡采用“七步洗手法”洗手,每次 洗手时间不少于15秒。一根圆柱形水管的 内直径为2厘米,水流速度为8厘米/秒。这 样洗一次手,至少用水( )毫升。 3. (几何直观)求下面组合图形的表面积和体 积。(单位:厘米) 4. (生活应用)同样的鲜果汁饮料,有两种包装 (如图)。桶装:圆柱的底面积为3平方分米, 高为20厘米;盒装:长方体的长为1分米,宽 为1分米,高为20厘米。请你判断两种包装 的饮料哪种更便宜。(忽略桶和盒子的厚度) 5. 选一选。 (1) 一个圆柱,高缩小到原来的1 4 ,底面半径 扩大到原来的4倍,侧面积( ),体积 ( )。 A. 不变 B. 是原来的1 4 C. 是原来的4倍 D. 是原来的16倍 (2) 一个小圆柱和一个大圆柱,它们的底面 直径之比是2∶3,体积之比是5∶9,大、小圆 柱高的最简整数比是( )。 A. 4∶5 B. 5∶4 C. 10∶27 D. 27∶10 6. 一个高8厘米的圆柱,如果它的高增加2厘 米,那么它的表面积将增加25.12平方厘米。 原来圆柱的体积是多少立方厘米? 7. (几何直观)如图,一个长方形的长是6分米, 宽是5分米。分别绕边AB 和边BC 所在的 直线旋转一周,形成两个圆柱。哪个圆柱的 体积大? 哪个圆柱的表面积大? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 数学(苏教版)六年级下 第6课时 练 习 课(2) 1. 填一填。 (1) 一个圆柱形水桶的容积是32升,从里面 量,水桶的底面积是8平方分米。如果装了 3 4 桶水,那么水面离桶口( )分米。 (2) 一个无盖油桶的底面直径是8分米,高 是6分米,制作这个油桶至少要铁皮( ) 平方分米。如果1升柴油0.85千克,那么这 个油桶最多可以装( )千克柴油。(铁皮 的厚度忽略不计) (3) 将四个大小相同的小圆柱叠成一个高是 40厘米的大圆柱,表面积减少72平方厘米。 原来一个小圆柱的体积是( )立方厘米。 2. 将一个长12厘米、宽10厘米、高8厘米的长 方体铁块熔铸成一个高12厘米的圆柱形零 件,圆柱形零件的底面积是多少平方厘米? (损耗忽略不计) 3. (生活应用)爸爸送给小晴一个“百宝箱”(如 图),它的上半部分是一个圆柱的一半,下半 部分是一个长50厘米、宽40厘米、高20厘 米的长方体。这个“百宝箱”的体积是多少立 方厘米? 4. 一根圆柱形木料,如果把它截成两个小圆柱, 那么表面积增加6.28cm2;如果沿底面直径竖 直剖成两个半圆柱,那么表面积增加40cm2。 这根圆柱形木料原来的体积是( )cm3。 A. 86.28 B. 31.4 C. 69.08 D. 28.26 5. 小泽把一个正方体木块改造成了一个笔筒 (如图),从中挖出一个底面半径为3厘米的 圆柱后,木块的表面积增加了131.88平方厘 米。这个笔筒的容积是多少立方厘米? 6. (推理意识)如图,一个酸奶瓶的瓶身呈圆柱 形(不包括瓶颈),底面直径是6cm。当瓶子 正放时,瓶内酸奶高10cm;当瓶子倒放时, 空余部分高2cm。这个酸奶瓶的容积是多 少毫升? (容器壁的厚度忽略不计) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 二　圆柱和圆锥 第7课时 圆锥的体积 1. 填一填。 (1) 一个圆锥的底面积是20平方厘米,高是 6厘米,体积是( )立方厘米。 (2) 一个圆柱和一个圆锥等底等高。若圆柱 的体积是18立方厘米,则圆锥的体积是 ( )立方厘米;若圆锥的体积是18立方厘 米,则圆柱的体积是( )立方厘米。 (3) 如图,正方体、圆柱和圆锥的底面积相等, 高也相等。若圆锥的高是10dm,则圆柱的底 面积是( )dm2,圆锥的体积是( )dm3, 正方体的体积是圆锥体积的( )倍。 2. 选一选。 (1) 把一根圆柱形木料削成一个最大的圆 锥,削去部分的体积是圆锥体积的( ),削 去部分的体积是圆柱体积的( )。 A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 2倍 (2) ★一个圆柱和一个圆锥的底面积和体积 都相等。如果圆柱的高是6厘米,那么圆锥 的高是( )厘米。 A. 2 B. 6 C. 12 D. 18 (3) (操作探究)将两张相同的直角三角形纸 片分别以其中一条直角边所在直线为轴旋转 一周,得到两个不同的圆锥(如图)。这两个 圆锥的体积相比,( )。 A. 甲<乙 B. 甲>乙 C. 甲=乙 D. 无法比较 3. 如图,在三角形ABC中,AB 长15cm, CD 长4cm。若以边AB 所在的直线 为轴旋转一周,则得到一个体积为 ( )cm3的立体图形。 A. 251.2 B. 188.4 C. 282.6 D. 无法确定 4. ★把一块棱长为6分米的正方体木料削成一 个最大的圆锥,需削去多少立方分米的木料? 5. 如图,健身房有一个圆柱形沙包,量得沙包的 底面直径是2分米,高是8分米。在一次训 练中,沙包底面破了,沙子全部流到地上形成 了一个高4分米的圆锥形沙堆,这个沙堆的 占地面积是多少平方分米? 6. (几何直观)一个圆锥的底面半径是2厘米, 将圆锥沿高竖直切成两半,表面积增加了 48平方厘米。原来这个圆锥的体积是多少 立方厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 数学(苏教版)六年级下 第8课时 练 习 课 1. 填一填。 (1) 如图,小薇在一个圆柱形容器 里装满雪后,又压进一个与圆柱形 容器等底等高的圆锥形木块,压过 后雪的体积是( )cm3。(容器 壁的厚度忽略不计) (2) 一根圆柱形钢材的底面周长是18.84cm, 高是6cm。将它熔铸成底面积是9.42cm2 的圆锥,这个圆锥的高是( )cm。(损耗 忽略不计) (3) 已知一个圆柱和圆锥的底面积相等,圆锥 与圆柱的体积比是1∶6,圆柱的高是9.6厘 米,则圆锥的高是( )厘米。 2. 选一选。 (1) (创新应用)小明拿了等底等高的圆锥形 和圆柱形容器各一个,往两个容器里倒水,当 两个容器都装满水后,他发现倒出的水一共 有72.4毫升,那么圆锥形容器内最多可以装 ( )毫升水。 A. 36.2 B. 54.3 C. 18.1 D. 108.6 (2) 一个圆柱和一个圆锥体积的比是5∶4, 底面半径的比是2∶3,已知圆柱高3分米, 则圆锥高( )分米。 A. 3.2 B. 4 C. 6.4 D. 2.4 3. (生活应用)一个圆锥形的沙堆,量得其底面 周长是15.7米,高是1.2米。如果每立方米 沙子约重1.5吨,那么这堆沙子约重多少吨? 4. (数学文化)《九章算术》是我国古代数学著 作,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下 周八尺,高五尺。问积及为米几何?”其大意 为现靠屋内墙角处堆放米 如图,米堆为一个 圆锥的1 4 ,米堆底部的弧长为8尺,米堆的 高为5尺。问:米堆的体积及堆放的米分别 为多少? 已知一斛米的体积约为1.62立方 尺,π取3,则堆放的米约有多少斛? 5. 一个密封的沙漏,上、下都是圆锥形,底面直 径都是12厘米,高都是10厘米。该沙漏下 面的圆锥中装满了沙子,将沙漏倒置(如图), 如果每分钟向下漏20立方厘米的沙子,那么 这些沙子经过多少分钟后可以全部漏完? 6. ★如图,一个密闭的容器由圆柱和圆锥组成, 圆柱和圆锥的高分别为12厘米、9厘米,容 器内的水面高8厘米。如果将这个容器倒过 来放置,那么从圆锥的顶点到水面的距离是 多少厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 二　圆柱和圆锥 第9课时 整理与练习(1) 1. 填一填。 (1) 一个圆柱的侧面积是376.8dm2,高是 6dm,它的表面积是( )dm2,体积是 ( )dm3。 (2) 一个圆柱和一个圆锥的底面直径相等, 且圆锥的高是圆柱的3倍。若这个圆锥的体 积是30dm3,则圆柱的体积是( )dm3。 (3) 一根长2.4米的圆柱形木料,把它锯成 相同的四段后,表面积增加了24平方分米。 这根木料的底面积是( )平方米,体积是 ( )立方米,将其中的一段加工成一个最 大的圆锥,这个圆锥的体积是( )立方米。 (4) 把一根底面直径是8厘米、高是1.2米 的圆柱形木料截成( )个小圆柱,截开后 表面积增加了200.96平方厘米。 2. 选一选。 (1) 妈妈榨了一大杯橙汁,倒入小杯子中(如 图),可以倒满( )杯。(杯子的壁厚忽略 不计) A. 3 B. 6 C. 9 D. 15 (2) (几何直观)关于下面四个图形的体积之 间的关系,下面的选项中正确的是( )。 ① V甲=V乙×3 ② V乙=V丙 ③ V乙=V丁×2 ④ V甲=V丁×12 A. ①③ B. ①②③C. ③④ D. ①②④ 3. (生活应用)某厂家新推出600只“暖心”圆柱 形玻璃杯,高是22cm,底面直径是8cm,且 都配有防烫外套(有底),防烫外套的上边缘 距离杯口8cm(如图)。加工这些玻璃杯防 烫外套至少需要多少平方米的防烫布料? (布料的厚度和接头处忽略不计,得数保留 整数) 4. 如图,一根长是1米、底面直径是60厘米的 圆柱形木头浮在水面上,正好有一半露出水 面。露出水面的木头的表面积和体积分别是 多少? 5. (创新应用)下面是科研小组制作的一个零件 模型,这个零件模型的体积是多少立方分米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 数学(苏教版)六年级下 第10课时 整理与练习(2) 1. 填一填。 (1) 如图,在一个盛有450mL水的量杯中放 入一个圆柱,水面处的刻度为600mL。若再 放入一个与圆柱等底等高的圆锥,则此时水 面处的刻度为( )mL。 (2) (生活应用)一根固体胶棒的底面直径是 2厘米,高是6厘米。如图,12根固体胶棒可 装满一个包装盒,则这个包装盒的容积是 ( )立方厘米。另一个包装盒长10厘米, 宽6厘米,高6厘米,则这个包装盒最多能装 ( )根这样的固体胶棒。(包装盒的厚度 忽略不计) (3) (生活体验)一支未用过的圆柱形铅笔长 18cm,体积是9cm3。使用一段时间后变成 下面的样子,此时铅笔的体积是( )cm3。 2. 选一选。 (1) 一个圆柱和一个圆锥等底等高,如果圆 柱的高减少12分米,那么圆锥和圆柱的体积 相等。圆锥的高是( )分米。 A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 (2) 把一个圆柱形木块削成两个相同的圆锥 形物体,它们的底面积与圆柱的底面积相等, 每个圆锥的高是圆柱高的一半,则每个圆锥 的体积与圆柱体积的比是( )。 A. 1∶3 B. 2∶3 C. 1∶6 D. 1∶2 3. 一个圆柱形容器,从里面量,底面直径是8厘 米,水面高是5厘米。把一个底面周长是 12.56厘米的圆锥形铁块浸没在水中,此时 水面上升3厘米,且水未溢出。圆锥形铁块 的体积是多少立方厘米? 4. 一个圆柱形木块,若切成4块(如图①),则表 面积增加48平方厘米;若切成3块(如图 ②),则表面积增加50.24平方厘米。若削成 一个最大的圆锥(如图③),则体积减少多少 立方厘米? 5. (探究创新)有甲、乙两个圆柱形容器,甲容器 的底面积是60平方厘米,水深8厘米;乙容 器的底面积是40平方厘米,水深5厘米。在 两个容器中加入同样多的水,使水面高度相 同,这时容器中水面的高度是多少厘米? (甲、乙两个容器足够高) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 二　圆柱和圆锥 提分真题集训 1. 选一选。 (1) (南通如皋)观察如图所示的实验过程 (单位:cm):在大杯中放入三个相同的圆柱 和一个与圆柱等底等高的圆锥。推理并计算 每个圆柱的体积是( )cm3。 A. 8 B. 20 C. 50 D. 24 (2) (无锡惠山区)下面各图形以虚 线所在直线为轴旋转一周形成的立 体图形中,与右图以虚线所在直线 为轴旋转一周形成的立体图形的体积相等的 是( )。 A. B. C. D. (3) (泰州姜堰区) 一张长方形纸,长 是5厘米,宽是4厘 米,以长所在直线为轴旋转一周,形成圆柱 甲;以宽所在直线为轴旋转一周,形成圆柱乙 (如图)。圆柱甲的体积是圆柱乙的( )。 A. 4 5 B. 5 4 C. 16 25 D. 25 16 2. (杭州余杭区)一个无盖的长方体玻璃缸,从 里面量,长20厘米,宽5厘米,高1分米。在 空玻璃缸里放入一个半径为2厘米的圆柱, 然后往玻璃缸里注水,每分钟的注水量一定。 水面高度和时间关系如图所示。(π取3) (1) 当水面高度达到8厘米时,一共经过了 多长时间? (2) 当水刚好把整个玻璃缸装满时,如果把 圆柱拿出来,那么水面会下降多少厘米? (水 的损耗忽略不计) 3. (徐州睢宁)如图①,某品牌卷纸有甲、乙两种 规格,其价格分别为3元和8元,该品牌卷纸 中间硬纸轴的直径是4cm,高度是10cm。 (1) 制作一个中间的硬纸轴需要多少平方厘 米的硬纸板? (2) 如图②,纸箱正好可放入24个甲种卷 纸,这个纸箱的容积至少是多少立方厘米? (3) 如果甲、乙两种卷纸的纸质相同,你觉得 买哪一种更划算? 请通过计算加以说明。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 数学(苏教版)六年级下 第二单元整合提升 类型一 图形切割后表面积和体积的变化 根据表面积的变化找出增加(减少)了几个面,求出增 加(减少)一个面的面积,进而求出圆柱或圆锥的底面 半径(直径),最后正确运用公式解答需要解决的问题。 1. 一个高是4厘米的圆锥沿着底面直径切成两 半后,表面积增加了24平方厘米。圆锥的底 面周长是多少厘米? 2. (生活应用)把一根2米长的圆柱形木头锯成 相同的三段小圆柱,其表面积增加了0.24平 方米。原来圆柱形木头的体积是多少立方米? 3. 一个圆柱的侧面展开后的图形是一个正方 形。如果高减少4厘米,那么表面积比原来 减少125.6平方厘米。原来圆柱的体积是多 少立方厘米? 类型二 求图形绕轴旋转后形成的立体图形的 体积 先要确定旋转轴(即图形的某条边所在的直线),再找 出旋转后形成的立体图形的底面半径和高,即可求出 旋转后形成的立体图形的体积。 4. 有一个直角三角形(如图),分别绕它的两条 直角边所在的直线旋转一周,能够形成两个 大小不同的圆锥。它们的体积各是多少立方 厘米? 类型三 排水法与不规则物体的体积 求不规则物体的体积时,可以通过转化的方法,先求 出底面积或高,再求出对应部分的体积;求浸没在水 中的物体的体积时,要明确物体的体积就是水面上升 部分水的体积或溢出的水的体积或两者之和。 5. 一个圆柱形容器,从里面量得底面直径是 12厘米,高是10厘米。容器中放了一个棱 长是6厘米的正方体铁块,现在打开一个水 龙头,往容器中注水,5秒时正方体铁块正好 浸没在水中。照这样计算,再经过多少秒,水 能注满容器? (得数保留整数) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 二　圆柱和圆锥 6. (创新应用)在一个圆柱形水桶里,放进一段 截面半径是5厘米的圆柱形钢材,如果圆柱 形钢材浸没在水中(水未溢出),那么水桶里 的水面上升10厘米;如果把水中的圆柱形钢 材竖着提起,使它露出水面6厘米,那么水桶 里的水面就下降2厘米。求这段圆柱形钢材 的体积。(水的损耗忽略不计) 类型四 借助等积变换解决实际问题 求容器中水面上升(下降)的高度时,要明确容器中水 面上升(下降)部分的水的体积等于容器中放入(拿 出)的物体的体积(物体浸没在水中)。 7. 下面是一个从里面量底面直径为20厘米的 圆柱形容器,容器内装有一部分水,水中浸没 着一个底面直径为8厘米、高为30厘米的圆 锥形铁块。将铁块从水中取出后,容器中的 水面下降了多少厘米? (水的损耗忽略不计) 素养点 运用分解法计算组合图形的体积 8. 如图(单位:厘米),四边形ABCD 是直角梯形。 (1) 以AB 边所在直线为轴将梯 形旋转一周得到一个立体图形,它 的体积是多少? (2) 以CD 边所在直线为轴将梯形旋转一周 得到一个立体图形,它的体积是多少? 思路提示:根据平面图形的旋转方式,在脑海中想 象出立体图形的样子,会发现得到的是一个组合 图形,将这个组合图形分解成规则的立体图形,从 而计算出体积。 9. (思维过程)如图,四边形 ABCD 是长方形,BC= 6厘米,AB=10厘米,对 角线AC、BD 相交于点O。E、F 分别是AD 与BC 的中点,将长方形ABCD 以EF 所在 直线为轴旋转一周,则白色部分扫出的立体 图形的体积是多少立方厘米? (π取3) 思路提示:白色部分扫出的立体图形的体积等于 长方形旋转得到的圆柱的体积减去涂色部分旋转 得到的两个圆锥的体积。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 数学(苏教版)六年级下 2. 8 3. 能 1-25%-20%-10%-15%=30% 2÷10%=20(人) 20×(15%+30%)=9(人) 所以小枫能进入决赛 4. (1) (7+7)÷35%=40(名) (2) 如图①所示 (3) 如图②所示 提分真题集训 讲 解 视 频 拍 照 批 改 1. (1) 80 (2) 24 28 10 (3) 525 2. (1) 9 (2) 2 3 25 (3) 32.4 (4) 15300 3. C 解析:根据题意,得“优”的人数占总人数的 198°÷360°=55%,所以总人数为396÷55%= 720。 4. (1) (8-2)÷(45-15)=0.2(千米/分) 解析:通过观察统计图可知,淘淘在第二阶段用时 (45-15)分钟,跑的路程是(8-2)千米,根据速 度=路程÷时间,列式解答即可。 (2) 15÷30%×10%=5(分) 解析:根据题意,把 三个阶段用的总时间看作单位“1”,第一阶段用时 15分钟,占总时间的30%,根据已知一个数的百分 之几是多少,求这个数,用除法求出总时间;淘淘第 三阶段用的时间占总时间的10%,根据求一个数 的百分之几是多少,用乘法解答。 第一单元整合提升 1. (1) 200 (2) 15 (3) 50 (4) 20÷200=10% 1-45%-10%-15%= 30% 1200×30%=360(名) 360÷20=18(位) 解析:先求出抽样调查的学生中,参加书法小组的 人数占总人数的百分比,从而求出参加乐器小组的 人数占总人数的百分比。接着求出该校有多少名 学生参加乐器小组,继而求出至少需要多少位 教师。 2. B 解析:统计表中的百分比描述的是这个班同 学一至六年级喜欢阅读的人数的增长变化情况,所 以可以选择折线统计图。 易错分析 看到百分数就误用扇形统计图表示 解决此类题时,易因未注意到题中的百分 数描述的量之间是有关联的而出错,表示增减 变化的数据用折线统计图表示最合适。 3. 二　圆柱和圆锥 第1课时 圆柱和圆锥的认识 1. (1) 28.26 25.12 (2) ③①④② 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 2. (1) A (2) C (3) A B 3. 12.56 5 78.5 2 解析:绕着长方形的长所 在的直线旋转一周,得到的圆柱的底面半径等于长 方形的宽,是2厘米,高等于长方形的长,是5厘 米,所以圆柱 A 的底面周长是2×3.14×2= 12.56(厘米),高是5厘米;绕着长方形的宽所在的 直线旋转一周,得到的圆柱的底面半径等于长方形 的长,是5厘米,高等于长方形的宽,是2厘米,所 以圆柱B的底面积是3.14×52=78.5(平方厘 米),高是2厘米。 4. D 解析:观察题图可知,扇形中弧的长度等于 半径为R 的圆周长的14 ,且圆锥的底面周长与扇 形中弧的长度相等,因此可以得出2πr=2πR× 1 4 ,即R=4r。 5. 30×4+20×4+35=235(cm) 6. 24÷2=12(平方厘米) 12÷4=3(厘米) 3.14×3=9.42(厘米) 解析:根据题意可知,增加 的表面积是两个一样的长方形的面积,一个长方形 的面积是24÷2=12(平方厘米),根据长方形的面 积=长×宽,用12÷4=3(厘米)求出宽,即圆柱的 底面直径,再根据圆的周长公式C=πd,求出底面 周长。 第2课时 圆柱的侧面积 和表面积 1. (1) 37.68 226.08 452.16 (2) 314 2. (1) ① 圆柱侧面展开后的长方形,其中一条 边是底面直径的3倍多一些(合理即可) (2) 3÷ 2=1.5(分米) 3.14×1.52×2+3.14×3×3= 42.39(平方分米) 42.39>40 不够 3. 12分米=1.2米 3.14×1.2×19×4×0.6≈ 172(千克) 解析:给柱子刷油漆只需刷柱子的侧 面,先计算1根柱子的侧面积,再求出4根柱子的 侧面积,最后乘每平方米用的油漆质量即可。 4. C 解析:由题图可知,拼成的大长方形的长是 底面圆的周长,宽是(h+r),则面积是2πr(h+ r),即圆柱的表面积。 5. (1) 3.14×1.5×40=188.4(米) 3.14×2× 30=188.4(米) 他们的记录正确 (2) 188.4× 2.5=471(平方米) 6. 117.75 解析:纸板的长25.7厘米是圆柱底面 周长和2条底面直径的长度之和,则底面直径为 25.7÷(2+3.14)=5(厘米),圆柱的高为5厘米, 故表面积为3.14×(5÷2)2×2+3.14×5×5= 117.75(平方厘米)。 第3课时 练 习 课 1. ( )(􀳫)(􀳫)(􀳫)(􀳫) 知识归纳 圆柱的侧面展开图 将一个圆柱的侧面剪开,通常有下面三种 情况:(1) 沿高剪开,展开后可以是一个长方形 或正方形;(2) 沿侧面上的一条斜线剪开,展开 后可以是一个平行四边形;(3) 沿侧面上的曲 线(或折线)剪开,展开后可以是一个不规则图形。 2. (1) 4 (2) 11.28 (3) 408.2 (4) 50.24 3. (1) A (2) A 4. 3.14×28×12×34=791.28 (平方厘米) 3.14×(28÷2)2×2×34=923.16 (平方厘米) (28÷2)×12×2+791.28+923.16=2050.44(平 方厘米) 解析:观察题图可知,剩下部分的表面积 是原来圆柱形蛋糕表面积的3 4 加上2个长(28÷ 2)厘米、宽12厘米的长方形的面积。 5. 157+300÷2×3.14=628(平方厘米) 解析:把圆柱形木料截成两个小圆柱,会增加两个 底面,因此157平方厘米是两个底面的面积之和; 如果沿着底面直径截成两个半圆柱,将增加两个长 方形,即其中一个长方形的面积为300÷2=150(平 方厘米),而这个长方形的面积=底面直径×高,圆 柱的侧面积=底面周长×高=π×底面直径×高, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 进而求出圆柱的侧面积。然后用两个底面的面积 之和加上侧面积,就能求出原来圆柱形木料的表 面积。 6. 628÷10÷3.14÷2=10(cm) 3.14×102×2+ 3.14×10×2×(10+15)=2198(cm2) 解析:圆 柱被截去10cm后,减少的表面积就是截去的圆柱 的侧面积。 第4课时 圆柱的体积 1. (1) 157×5=785(cm3) (2) 0.6 15 (3) 120 2. 3.14×52×3=235.5(立方分米) 235.5立方分米=235.5升 3. 301.44÷ 3.14× 82 2􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 =6(dm) 4. 25 500 解析:根据题意,截成相同的3段,表 面积增加了100平方分米,说明截了2次,增加了 4个底面积,4个底面积合起来是100平方分米,说 明1个底面积是(100÷4)平方分米,用底面积乘高 即可求出这根圆柱形木头的体积。 5. 188.4÷3.14÷2=30(厘米) 3.14×302×4= 11304(立方厘米) 解析:这些水草、小石块和金鱼 的体积就是鱼缸内上升高度为4厘米的水的体积。 方法归纳 求浸没在水中的物体的体积 当物体浸没在装有水的容器里,且水未溢 出时,容器中上升部分的水的体积就是浸没在 水中的物体的体积。 6. 3.14×(10÷2)2×10=785(dm3) 解析:根据 题意可知,把这个正方体木料加工成一个最大的圆 柱,这个圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱 长,根据圆柱的体积公式,把相关数据代入公式解 答即可。 7. 6.28÷3.14÷2=1(厘米) 48÷2÷1=24(厘米) 3.14×12×24=75.36(立方厘米) 解析:由题意 可知,增加的表面积实际上是长方体左右两个面的 面积之和,则一个面的面积是48÷2=24(平方厘 米)。由题图可知,长方体左右两个面均是长方形, 且长方形的宽是圆柱的底面半径,长方形的长是圆 柱的高。先根据圆柱的底面周长求出底面半径,再 求出圆柱的高,最后根据圆柱的体积计算公式即可 求出原来圆柱的体积。 第5课时 练 习 课(1) 1. B 2. (1) 10.5975 21.195 (2) 376.8 3. 表面积:3.14×(8÷2)2×2+3.14×8×5+ 3.14×6×3=282.6(平方厘米) 体积:3.14× (8÷2)2×5+3.14×(6÷2)2×3=335.98(立方厘米) 4. 20厘米=2分米 桶装:28÷(3×2)=143 (元/ 立方分米) 盒装:10÷(1×1×2)=5(元/立方分米) 14 3<5 桶装的饮料更便宜 解析:先分别求出圆 柱和长方体的体积,再分别求出两种包装每立方分 米饮料的价格进行比较即可。 5. (1) A C (2) A 解析:小圆柱与大圆柱的底面直径之比是 2∶3,则底面积之比是4∶9。大圆柱与小圆柱高 的最简整数比是(9÷9)∶(5÷4)=4∶5。 6. 25.12÷2=12.56(厘米) 3.14×(12.56÷ 3.14÷2)2×8=100.48(立方厘米) 7. 绕边AB 所在的直线旋转一周所形成的圆柱的 体积:3.14×52×6=471(立方分米),表面积:2× 3.14×5×6+3.14×52×2=345.4(平方分米) 绕边BC 所在的直线旋转一周所形成的圆柱的体 积:3.14×62×5=565.2(立方分米),表面积:2× 3.14×6×5+3.14×62×2=414.48(平方分米) 471<565.2 345.4<414.48 绕边BC 所在的直 线旋转一周所形成的圆柱的体积和表面积大 解析:将一个长方形绕长或宽所在的直线旋转一 周,都会得到一个圆柱。如果绕长所在的直线旋转 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 一周,那么会得到一个以长为高、宽为底面半径的 圆柱;如果绕宽所在的直线旋转一周,那么会得到 一个以宽为高、长为底面半径的圆柱,所以会出现 大小不同的两个圆柱。根据不同的底面半径和高, 算出不同的体积和表面积,最后进行比较即可。 第6课时 练 习 课(2) 1. (1) 1 (2) 200.96 256.224 (3) 120 解析:四个大小相同的小圆柱叠成一个 大圆柱,表面积比原来减少了3×2=6(个)小圆柱 的底面积,则小圆柱的底面积是72÷6=12(平方 厘米),所以一个小圆柱的体积是12×(40÷4)= 120(立方厘米)。 2. 12×10×8÷12=80(平方厘米) 3. 3.14×(40÷2)2×50÷2+50×40×20= 71400(立方厘米) 4. B 解析:把圆柱形木料截成两个小圆柱,表面 积比原来增加了2个圆柱形木料的底面积,所以圆 柱形木料的底面积是6.28÷2=3.14(cm2),则底 面半径是1cm,即底面直径是2cm。根据沿底面 直径竖直剖成两个半圆柱,表面积增加40cm2 可 知,一个剖面的面积为40÷2=20(cm2),则圆柱形 木料的高是20÷2=10(cm),故这根圆柱形木料原 来的体积是3.14×12×10=31.4(cm3)。 5. 131.88÷(2×3.14×3)=7(厘米) 3.14×32×7=197.82(立方厘米) 6. 3.14×(6÷2)2×(10+2)=339.12(cm3) 339.12cm3=339.12mL 解析:观察题图可知, 要求这个酸奶瓶的容积,实际就是求底面直径是 6cm、高是(10+2)cm的圆柱形容器的容积。 第7课时 圆锥的体积 1. (1) 40 (2) 6 54 (3) 100 10003 3 2. (1) D C (2) D 易错分析 混淆圆柱和圆锥的关系 底面积和体积分别相等的圆柱和圆锥,圆 锥的高是圆柱高的3倍。不能根据圆柱和圆 锥体积计算公式之间的关系,误以为圆锥的高 是圆柱高的1 3 。 (3) A 3. A 解析:以边AB 所在的直线为轴旋转一周 后,得到的是两个底面半径为4cm的圆锥,且底面 拼接在一起,两个圆锥的高的和是15cm,即AD+ DB=15cm。所以立体图形的体积为13×3.14× 42×AD+13×3.14×4 2×DB=13×3.14×4 2× (AD+DB)=13×3.14×4 2×15=251.2(cm3)。 4. 6×6×6-3.14× 62 2 ×6×13=159.48 (立方 分米) 解析:将一块棱长为6分米的正方体木料 削成一个最大的圆锥,这个最大的圆锥的底面直径 和高都等于正方体的棱长,即6分米,先求出圆锥 的体积,再用正方体的体积减去圆锥的体积就能求 出削去部分的体积。 方法归纳 将正方体削成一个最大的圆锥 解决此类问题时,要明确削成的最大圆锥 的底面直径和高都等于正方体的棱长。 5. 3.14×(2÷2)2×8=25.12(立方分米) 25.12÷13÷4=18.84 (平方分米) 6. 48÷2=24(平方厘米) 24×2÷(2×2)= 12(厘米) 13×3.14×2 2×12=50.24(立方厘米) 解析:将圆锥沿高竖直切成两半,增加的表面积是 两个相同三角形的面积和,这两个三角形的底边长 等于圆锥的底面直径,高等于圆锥的高。表面积增 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 加了48平方厘米,则一个三角形的面积是48÷ 2=24(平方厘米),根据三角形的面积和底,计算出 三角形的高,即圆锥的高,进而求出原来这个圆锥 的体积。 第8课时 练 习 课 1. (1) 169.56 (2) 54 (3) 4.8 2. (1) C (2) A 解析:由“底面半径的比是2∶3”可知,底 面积的比是4∶9。假设圆柱和圆锥的体积分别是 5立方分米和4立方分米,底面积分别是4平方分 米和9平方分米,则圆柱和圆锥高的比是(5÷4)∶ (4×3÷9)=15∶16,所以圆锥高3÷15×16= 3.2(分米)。 3. 15.7÷3.14÷2=2.5(米) 13×3.14×2.5 2× 1.2=7.85(立方米) 7.85×1.5=11.775(吨) 4. 米堆的体积:1 4× 1 3×3× (4×8÷2÷3)2×5≈ 35.56(立方尺) 堆放的米:35.56÷1.62≈22(斛) 5. 1 3×3.14× (12÷2)2×10÷20=18.84(分) 6. 9×13=3 (厘米) 8-3=5(厘米) 9+5= 14(厘米) 解析:由题图可知,圆锥和圆柱的底面 积相等,则高为9厘米的圆锥的体积相当于高为 9×13=3 (厘米)的圆柱的体积,容器倒放之后,原 圆柱容器中高3厘米的水正好把圆锥容器装满,剩 余的水在圆柱容器中,高为8-3=5(厘米),所以 圆锥的顶点到水面的距离是9+5=14(厘米)。 方法归纳 等体积问题 解决此类问题时,需要先挖掘出题中的隐 藏信息———水的体积不变,再根据圆柱与圆锥 之间的关系进行解答。 第9课时 整理与练习(1) 1. (1) 1004.8 1884 (2) 30 (3) 0.04 0.096 0.008 (4) 3 解析:由题意可知,圆柱形木料的底面积是 3.14×(8÷2)2=50.24(平方厘米),则截开后增加 了200.96÷50.24=4(个)底面,也就是截了2次, 截成了3个小圆柱。 2. (1) C (2) D 3. 3.14×(8÷2)2+3.14×8×(22-8)= 401.92(cm2) 401.92×600=241152(cm2) 241152cm2=24.1152m2≈25m2 4. 60厘米=0.6米 表面积:3.14×(0.6÷2)2+ 3.14×0.6×1×12=1.2246 (平方米) 体积:3.14×(0.6÷2)2×1×12=0.1413 (立方米) 5. 1 3×3.14× (6÷2)2×(8+8)=150.72(dm3) 1 3×3.14× (3÷2)2×8=18.84(dm3) 150.72- 18.84=131.88(dm3) 解析:观察题图可知,零件 模型的体积是底面直径为6dm、高为(8+8)dm的 圆锥的体积减去底面直径为3dm、高为8dm的圆 锥的体积。 第10课时 整理与练习(2) 1. (1) 650 (2) 288 15 (3) 5 解析:此时铅笔的体积可看作是等底的高 9cm的圆柱与高3cm的圆锥的体积和。由题意, 得等底的高9cm的圆柱的体积是原来铅笔体积的 9 18 ,即1 2 ,所 以 圆 柱 部 分 的 体 积 是 9× 12 = 4.5(cm3)。等底的高3cm的圆柱的体积是原来 铅笔体积的3 18 ,即1 6 ,则等底的高3cm的圆锥的体 积就是原来铅笔体积的1 6× 1 3 ,即1 18 ,所以圆锥部 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 分的体积是9×118=0.5 (cm3)。此时铅笔的体积 是4.5+0.5=5(cm3)。 2. (1) D (2) C 3. 3.14×(8÷2)2×3=150.72(立方厘米) 解析:本题是等积变换题,圆锥形铁块的体积等于 上升3厘米的水的体积,也就是底面直径是8厘 米、高是3厘米的圆柱的体积。 4. 50.24÷[(3-1)×2]=12.56(平方厘米) 12.56÷3.14=4(平方厘米) 4=2×2 48÷4÷(2×2)=3(厘米) 12.56×3×1-13 =25.12(立方厘米) 解析:由题图②可知,增加了(3-1)×2=4(个)底 面,则圆柱的底面积是50.24÷4=12.56(平方厘 米)。12.56÷3.14=4(平方厘米),4=2×2,则圆 柱的底面半径是2厘米,底面直径是2×2=4(厘 米)。由题图①可知,增加了4个相同的长方形的 面积,且每个长方形的面积=圆柱的高×圆柱的底 面直径,所以圆柱的高是48÷4÷4=3(厘米),体 积是12.56×3=37.68(立方厘米)。由题图③可 知,体积减少了圆柱的 1-13 ,所以若削成一个 最大的圆锥,则体积减少37.68×1-13 =25.12(立 方厘米)。 5. 方法一:60∶40=3∶2 (8-5)÷(3-2)×3+ 5=14(厘米) 方法二:解:设这时容器中水面的高 度是x厘米。 60x-60×8=40x-40×5 x=14 解析:方法一:由于甲、乙两个容器的底面积的比是 60∶40=3∶2,加入同样多的水,那么甲、乙两个容 器中加入的水的高度之比应该是2∶3,要使加水 后水面高度相同,那么两个容器中加入的水的高度 就要相差8-5=3(厘米),所以乙容器中要加入高 为3÷(3-2)×3=9(厘米)的水,这时容器中水面 的高度是5+9=14(厘米)。方法二:现在水面高 度相同,用现在容器中水的体积减去原来容器中水 的体积就是加入的水的体积,根据两个容器中加入 的水的体积相同列方程解答。 提分真题集训 1. (1) D (2) A (3) A 2. (1) 1分米=10厘米 20×5×5-3×22×5= 440(立方厘米) 440÷4=110(立方厘米) 20×5×(8-5)=300(立方厘米) 300÷110+4=7411 (分) 解析:由关系图可知,4分钟时,水刚好没过圆柱, 则圆柱的高为5厘米。水刚好没过圆柱时,水的体 积等于高为5厘米的长方体的体积减去圆柱的体 积,用水的体积除以注水时间,即可求出每分钟的 注水量;根据长方体体积公式求出高为(8-5)厘米 的水的体积,用这个体积除以每分钟的注水量,可 求出对应的注水时间,最后加上4分钟,即可得到 水面高度达到8厘米时的注水时间。 (2) 3×22×5=60(立方厘米) 60÷(20×5)=0.6(厘米) 解析:下降的水的体积等于圆柱的体积,先求出圆 柱的体积,然后用这个体积除以长方体的底面积, 即可求出水面下降的高度。 3. (1) 3.14×4×10=125.6(cm2) (2) 甲种卷纸底面直径:4+4+4=12(cm) 纸箱的长:12×4=48(cm) 纸箱的宽:12×3=36(cm) 纸箱的高:10×2=20(cm) 48×36×20=34560(cm3) (3) 甲种卷纸:4+4+4=12(cm) 12÷2=6(cm) 4÷2=2(cm) (3.14×62-3.14×22)×10=1004.8(cm3) 1004.8÷3≈334.9(cm3) 乙种卷纸:4+8+8=20(cm) 20÷2=10(cm) 4÷2=2(cm) (3.14×102-3.14×22)×10=3014.4(cm3) 3014.4÷8=376.8(cm3) 376.8>334.9 买乙种卷纸更划算 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 第二单元整合提升 1. 24÷2×2÷4=6(厘米) 3.14×6=18.84(厘米) 解析:一个圆锥沿着底面直径切成两半后,多出了 两个相等的等腰三角形,三角形的底等于圆锥的底 面直径,高等于圆锥的高。 2. 0.24÷4×2=0.12(立方米) 解析:把一根圆 柱形木头锯成相同的三段小圆柱,要锯两次,表面 积比原来的圆柱形木头的表面积多了4个底面积, 这4个底面积的和是0.24平方米,所以可以先求 出圆柱形木头的底面积,再乘高(圆柱形木头的 长),即可求出它的体积。 3. 125.6÷4=31.4(厘米) 31.4÷3.14÷2= 5(厘米) 3.14×52×31.4=2464.9(立方厘米) 解析:先根据“一个圆柱的侧面展开后的图形是一 个正方形”可知,这个圆柱的底面周长和高是相等 的。再根据高减少4厘米,表面积比原来减少 125.6平方厘米,可以求出圆柱的底面周长,进而 求出圆柱的底面半径,最后求出原来圆柱的体积。 4. 绕8厘米的直角边所在的直线旋转一周形成的 圆锥的体积:1 3×3.14×6 2×8=301.44(立方厘米) 绕6厘米的直角边所在的直线旋转一周形成的 圆锥的体积:1 3×3.14×8 2×6=401.92(立方厘米) 解析:由题意可知,如果绕8厘米的直角边所在的 直线旋转一周,那么会形成一个底面半径是6厘 米、高是8厘米的圆锥;如果绕6厘米的直角边所 在的直线旋转一周,那么会形成一个底面半径是 8厘米、高是6厘米的圆锥。根据圆锥的体积计算 公式分别求出这两个圆锥的体积。 5. [3.14×(12÷2)2-62]×6÷5=92.448(立方 厘米) 3.14×(12÷2)2×(10-6)÷92.448≈ 5(秒) 解析:由题意可知,水龙头前5秒注水部分 的底面积是圆柱形容器的底面积与正方体铁块底 面积的差,高就是正方体铁块的棱长,先求出水龙 头5秒注水的体积,再求出每秒注水的体积。要让 水注满容器,则还要将正方体铁块以上的部分注 满,该部分的底面积就是圆柱形容器的底面积,高 就是圆柱形容器的高与正方体铁块棱长的差,由此 求出还需要注水的体积,再除以每秒注水的体积即 可求出时间。 6. 3.14×52×(10÷2×6)=2355(立方厘米) 解析:圆柱形钢材浸没在水中(水未溢出),水桶里 的水面上升10厘米,竖着提起圆柱形钢材,露出水 面6厘米,水桶里的水面下降2厘米,则圆柱形钢 材的高度是10÷2×6=30(厘米)。由此利用圆柱 的体积计算公式求出圆柱形钢材的体积。 7. 3.14×(20÷2)2=314(平方厘米) 1 3×3.14× (8÷2)2×30÷314=1.6(厘米) 解析:将圆锥形铁块从水中取出后,圆锥形铁块在 水中所占的空间就会被水占据,因此水面就会下 降,下降部分的体积就等于圆锥形铁块的体积。所 以用圆锥形铁块的体积除以圆柱形容器的底面积 就能得到水面下降的高度。 8. (1) 3.14×32×3+13×3.14×3 2×(6-3)= 113.04(立方厘米) (2) 3.14×32×6-13×3.14×3 2×(6-3)= 141.3(立方厘米) 解析:以AB 边所在直线为轴旋转一周得到的立体 图形如图①所示,该立体图形的体积等于底面半径 是3厘米、高是6-3=3(厘米)的圆锥的体积加上 底面半径是3厘米、高是3厘米的圆柱的体积。以 CD 边所在直线为轴旋转一周得到的立体图形如 图②所示,该立体图形的体积等于底面半径是3厘 米、高是6厘米的圆柱的体积减去底面半径是3厘 米、高是6-3=3(厘米)的圆锥的体积。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 9. 6÷2=3(厘米) 3×32×10-13×3×3 2×10=180(立方厘米) 三　解决问题的策略 第1课时 选择策略解决 实际问题(1) 1. (1) 7 5 2 7 (2) 1956 2. (1) A (2) A 解析:由题意可知,这批泥人可以平均分 成3+4=7(份),则计划捏的泥人个数是在50和 60之间的7的倍数,即56,那么已经捏了56× 3 7=24 (个)泥人。 3. 红玫瑰:4800× 55+3=3000 (平方米) 黄玫瑰: 4800-3000=1800(平方米) 解析:先将“黄玫瑰 的种植面积是红玫瑰的3 5 ”转化为黄玫瑰与红玫瑰 的种植面积的比是3∶5,再按比进行分配求解。 方法归纳 运用转化法解决分数问题 解决“已知两个数的和及一个数是另一个数 的几分之几,求这两个数”的问题时,可以把分率 转化为两个数的比,从而按比进行分配求解。 4. 方法一:75÷5×(5+8)=195(页) 方法二:75+75÷5×8=195(页)(方法不唯一) 解析:方法一:根据题意,把已看的页数看作5份, 则未看的页数为8份,总页数为5+8=13(份),可 以先求出一份的页数,再算出总页数;方法二:根据 题意,把已看的页数看作5份,则未看的页数为8 份,可以先求出一份的页数,再算出未看的页数,最 后用已看的页数加未看的页数得到总页数。 5. 2 1+2= 2 3 8 7+8= 8 15 800÷ 2 3- 8 15 = 6000(个) 解析:此题容易错将变量800个看作单 位“1”。实际上,其他垃圾箱和可回收物箱的总个数 没有变化,应将这两种垃圾箱的总个数看作单位“1”。 方法归纳 抓住不变量解决问题 解决此类问题时,一定要明确哪些量在变 化,哪些量没有变化,要把不变的量看作单位 “1”,并根据题目要求找出新的“对应分率”再 解答。 6. 96÷ 31+3- 3 5 =640(千米) 解析:根据“第 二天行驶的路程与第一天行驶路程的比是1∶3” 可知,第一天行驶的路程占全程的 3 1+3 ,则96千 米占全程的 3 1+3- 3 5 。 第2课时 选择策略解决 实际问题(2) 1. (1) ① 略 ② 图略 8 ③ 图略 4 ④ 11 4 (2) 鸵鸟 只数 长颈鹿 只数 腿的总条数 和38条 比较 7 8 7×2+8×4=46 多8条 8 7 8×2+7×4=44 多6条 9 6 9×2+6×4=42 多4条 10 5 10×2+5×4=40 多2条 11 4 11×2+4×4=38 相等 (3) 2x+4×(15-x)=38 x=11 检验略 长颈鹿:15-11=4(只) 2. 7 3 3. 解:设大帐篷租了x顶,则小帐篷租了(x-4)顶。 5x+3(x-4)=36 x=6 小帐篷:6-4=2(顶) 4. (20×5-84)÷(5+3)=2(道) 解析:假设亮 亮全部做对,则应得20×5=100(分),实际得了84 分,多算了100-84=16(分)。每不做或做错1道 题不仅不得分,还要倒扣3分,也就是不做或做错 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9