2 圆柱和图锥-【拔尖特训】2024-2025学年六年级下册数学（苏教版 江苏专用）

二 圆柱和圆锥 第1课时 圆柱和圆锥的认识 1. 填一填。 (1) 从一个圆柱和圆锥的前面观察,看到的形 状分别如图所示。圆柱的底面积是( )cm2, 圆锥的底面周长是( )cm。 (2) (几何直观)将下面四个平面图形分别按 图中箭头方向旋转,则从左到右分别形成的 立体图形是( )。(填序号) 2. 选一选。 (1) 下面四种测量圆锥高的方法中,正确的 是( )。 A. B. C. D. (2) ★圆柱的侧面展开后不可能是一个 ( )。 A. 长方形 B. 梯形 C. 平行四边形 D. 正方形 (3) 将一块棱长是40厘米的正方体木料加 工成一个最大的圆柱,这个圆柱的高是 ( )厘米,底面半径是( )厘米。 A. 40 B. 20 C. 10 D. 5 3. 一个长方形的长是5厘米,宽是2厘米。分 别绕着这个长方形的长或宽所在的直线旋转 一周,可以得到两个不同的圆柱。 圆柱 A的底面周长是( )厘米,高是 ( )厘米;圆柱B的底面积是( )平方 厘米,高是( )厘米。 4. (操作探究)在正方形纸板 上剪下一个圆和一个扇 形,正好可以做一个圆锥 (如图)。如果圆的半径为r,扇形的半径为 R,那么r与R 之间的关系为( )。 A. R=2r B. 4R=9r C. R=3r D. R=4r 5. 源源生日的时候,爸爸送给源源一个生日蛋 糕,其包装盒如图所示。这个圆柱形包装盒 的底面直径是30cm,高是20cm。像图中这 样用彩带捆扎,打结处需要35cm的彩带,则 一共需要多少厘米的彩带? 6. (地域特色)碧螺春是我国名茶之一,产于苏 州洞庭山一带。张老师打算将直径是6厘 米、高是10厘米的圆柱形碧螺春茶叶盒装在 一个长24厘米、宽12厘米、高20厘米的长 方体纸盒中,最多能装多少盒? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 第2课时 圆柱的侧面积和表面积 1. 填一填。 (1) 一个圆柱的底面半径和高都是6厘米, 它的底面周长是( )厘米,侧面积是 ( )平方厘米,表面积是( )平方厘米。 (2) 一个圆柱的底面半径是5厘米,如果沿 直径竖直切开后的截面是一个正方形,那么 这个圆柱的侧面积是( )平方厘米。 2. (无锡江阴)一台压路机的前轮直径是1.5米, 后轮直径是2米。欢欢和乐乐在观看压路机 压路时做了一个记录,在3分钟内,欢欢记录 到前轮转了40圈,乐乐记录到后轮转了 30圈。 (1) 他们的记录正确吗? (2) 如果前轮的轮宽是2.5米,那么在上述 时间内,前轮压过的面积是多少平方米? 3. 南京某建筑大厅内有4根同样大的圆柱形柱 子,每根柱子高约19米,底面直径为12分 米。如果在每根柱子的表面刷一层油漆,每 平方米用油漆0.6千克,那么刷这些柱子大 约需要多少千克油漆? (得数保留整数) 4. (操作探究)如图,将底面半径是r、高是h的 圆柱展开图中的两个底面剪拼成一个近似的 长方形,与侧面的展开图拼成一个近似的大 长方形。根据这样的过程,可以 用 算 式 ( )来计算这个圆柱的表面积。 A. 2πr(h+2r) B. πr(h+2r) C. 2πr(h+r) D. πr(2h+r) 5. (说理表达)下面三幅图中,哪幅图是圆柱的展 开图? 请简要说明理由。(单位:分米) (1) 我选择图( ),理由: 。 (2) 如果用铁皮做一个第(1)题中这样的油 桶(有盖),那么40平方分米的铁皮够吗? 6. 南京市鼓楼区某路口的交警指挥台共有 2层,每层的高度是20厘米,直径分别是 120厘米、100厘米。这个交警指挥台露在外 面的面的面积是多少平方厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 二　圆柱和圆锥 第3课时 练 习 课 1. 填一填。 (1) 一个圆柱的底面直径是12厘米,侧面展 开后正好得到一个面积是150.72平方厘米 的长方形。这个圆柱的高是( )厘米。 (2) (几何直观)把一根圆柱 形木料截成3段后(如图), 它的表面积增加了45.12平方厘米,则这根 木料的底面积是( )平方厘米。 (3) 一个长8厘米、宽5厘米的长方形,以长 所在直线为轴旋转一周,所形成的圆柱的表 面积为( )平方厘米。 (4) 一个圆柱,底面直径是4厘米。若高增 加4厘米,则表面积增加( )平方厘米。 2. 选一选。 (1) 用一张长25.12厘米、宽18.84厘米的 长方形铁皮,配上半径为( )的圆形铁片 正好可以做成圆柱形容器。 A. 4厘米 B. 5厘米 C. 6厘米 D. 7厘米 (2) (操作探究)下面是甲、乙两名同学对同 一个圆柱的不同的切分方法(平均分成两部 分)。甲切分后,表面积比原来增加( ); 乙切分后,表面积比原来增加( )。 A. πr2 B. 4rh C. 2πr2 D. 4πr2 (3) 把圆柱的侧面沿一条高剪开后得到一个 正方形,这个圆柱的底面直径与高的比 是( )。 A. 1∶π B. π∶1 C. 2π∶1 D. 1∶1 3. (苏州常熟)烟花爆竹商店出 售一种长25厘米、直径为 6厘米的圆柱形爆竹,规格 为2个一组,按如图所示的方式摆放整齐,并 用红色包装纸将这2个爆竹除前后面以外周 围一圈全部捆装好(纸要绷紧)。 (1) 如果不考虑接缝的重叠,那么一组爆竹 至少需要多少平方厘米的包装纸? (2) 如果把这样包装的一组爆竹放入一个长 方体盒子里,那么这个盒子的体积至少是多 少立方厘米? 4. (生活应用)丽丽过生日,妈妈买了一个圆柱 形蛋糕,底面直径是28厘米,高是12厘米。 切蛋糕时,妈妈一次切去了四分之一(如图), 剩下部分的表面积是多少平方厘米? 5. 一段圆柱形木料,如果把它截成两个小圆柱, 那么它的表面积增加157平方厘米;如果沿 着底面直径截成两个半圆柱,那么它的表面 积增加300平方厘米(如图)。求原来圆柱形 木料的表面积。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 数学(苏教版·江苏专用)六年级下 第4课时 圆柱的体积 1. 填一填。 (1) (推理意识)如图,圆柱的底面半径是 5cm,高是10cm。小明没用体积计算公式 直接求圆柱的体积,而是根据圆柱体积计算 公式推导过程,分三步计算。 第一步:2×3.14×5×10= 314(cm2) 第二步:314÷2=157(cm2) 第三步:( ) (2) 一个圆柱形油桶的底面积是1.2m2,高 是0.5m,这个油桶的体积是( )m3;一个 圆柱形铁块的侧面积是10dm2,底面半径是 3dm,它的体积是( )dm3。 (3) 一个圆柱的底面周长是18.84分米,高 是2分米,它的体积是( )立方分米。 (4) (连 云 港 赣 榆 区)如图, 一个透明的圆柱形水杯中有水 240mL,它还能装水( )mL。 2. (生活应用)一个圆柱形木桶,底面半径为 5分米。由于做成这个木桶的一些木板坏了 (如图),现在这个木桶最多能盛水多少升? (木板的厚度忽略不计,木桶不斜放) 3. 一个圆柱形茶杯,测得茶杯内直径为6厘米, 杯内装有9厘米深的水,恰好占茶杯容积的 60%。茶杯内还可以装多少毫升的水? 4. 一根圆柱形木头长2米,若截成相同的3段 小圆柱后,表面积增加100平方分米,则原来 这根木头的底面积是( )平方分米,体积 是( )立方分米。 5. ★一个底面周长是188.4厘米的圆柱形玻璃 鱼缸内装有适量的水。放入一些水草、小石 块和金鱼后(浸没在水中),水面上升了4厘 米(水未溢出)。这些水草、小石块和金鱼的 体积一共是多少立方厘米? (玻璃的厚度忽 略不计) 6. 实验小学为丰富校园文化生活举办科技文化 节。科技社团在制作过程中需要将一块正方 体木料加工成一个最大的圆柱,已知正方体 木料的棱长是10dm,求这个圆柱的体积。 7. (几何直观)一个圆柱的底面周长是6.28厘 米,把它切拼成一个近似的长方体后(如图), 表面积增加了48平方厘米。求原来圆柱的 体积。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 二　圆柱和圆锥 第5课时 练 习 课(1) 1. 填一填。 (1) (生活应用)挖一个底面周长是9.42米、 深是1.5米的圆柱形水池,这个水池的容积 是( )立方米。如果在水池的四周和底面 抹上水泥,那么抹水泥的面积是( )平 方米。 (2) 学校提倡采用“七步洗手法”洗手,每次 洗手时间不少于15秒。一根圆柱形水管的 内直径为2厘米,水流速度为8厘米/秒,这 样洗一次手,至少用水( )毫升。 2. (扬州江都区)请你运用已有的探索经验试着 解决下面的问题。 (1) 用两张长16cm、宽4cm的长方形纸, 一张横着卷,记作①号圆柱,另一张竖着卷, 记作②号圆柱,( )号圆柱的体积较大。 (2) 将这两张长方形纸,再分别按照上面的 步骤操作,得到③号圆柱和④号圆柱,( ) 号圆柱的体积较大。 (3) 通过探索与实践,我们发现:这4个圆柱 的( )不变。这4个圆柱按底面半径从大 到小排序是( ),按高从大到小排序 是( ),按 体 积 从 大 到 小 排 序 是 ( )。(后3空填序号) (4) 根据上面的发现,你的猜想是( )。 3. 选一选。 (1) 一个小圆柱和一个大圆柱,它们的底面 直径之比是2∶3,体积之比是5∶9,大、小圆 柱高的最简整数比是( )。 A. 4∶5 B. 5∶4 C. 10∶27 D. 27∶10 (2) 将一个高是2dm的圆柱截成体积比是 2∶3的两个小圆柱后,表面积增加50.24cm2, 则较小的小圆柱的体积是( )cm3。 A. 50.24 B. 200.96 C. 301.44 D. 28.26 4. 一个高8厘米的圆柱,如果它的高增加2厘 米,那么它的表面积将增加25.12平方厘米。 原来圆柱的体积是多少立方厘米? 5. (几何直观)如图,一个长方形的长是6分米, 宽是5分米。分别绕边AB 和边BC 所在的 直线旋转一周,形成两个圆柱。哪个圆柱的 体积大? 哪个圆柱的表面积大? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 数学(苏教版·江苏专用)六年级下 第6课时 练 习 课(2) 1. 填一填。 (1) 一个圆柱形水桶的容积是32升,从里面 量,水桶的底面积是8平方分米。如果装了 3 4 桶水,那么水面离桶口( )分米。 (2) 一个长方体,长8分米,宽8分米,高12分 米。把它削成一个最大的圆柱,这个圆柱的 体积为( )立方分米。 2. 将一个长12厘米、宽10厘米、高8厘米的长 方体铁块熔铸成一个高12厘米的圆柱形零 件,圆柱形零件的底面积是多少平方厘米? (损耗忽略不计) 3. 爸爸送给小晴一个“百宝箱”(如图),它的上 半部分是一个圆柱的一半,下半部分是一个 长50厘米、宽40厘米、高20厘米的长方体。 这个“百宝箱”的体积是多少立方厘米? 4. 将四个大小相同的小圆柱叠成一个高是40厘 米的大圆柱,表面积减少72平方厘米。原来 一个小圆柱的体积是( )立方厘米。 A. 120 B. 360 C. 480 D. 720 5. (操作探究)实验小学六年级二班数学实践课 上,有一个高为8cm、容积为50mL的圆柱 形容器A,里面装满了水,现将一个长16cm 的圆柱B垂直放入,使圆柱B的底面和容器 A的底面完全接触,这时一部分水从容器中 溢出。当把圆柱B从容器A中拿走时,容器 A中水面的高度为6cm,求圆柱B的体积。 (容器壁的厚度忽略不计) 6. (生活体验)如图,一个酸奶瓶的瓶身呈圆柱 形(不包括瓶颈),底面直径是6cm。当瓶子 正放时,瓶内酸奶高10cm;当瓶子倒放时, 空余部分高2cm。这个酸奶瓶的容积是多 少毫升? (容器壁的厚度忽略不计) 7. (生活应用)如图,A、B是两个圆柱形水槽,底 部用带阀门的管子互相连接(解决问题时不 考虑管子的容积)。关闭阀门,向A、B两个 水槽内各注入14.13升的水(水均没有溢 出),打开阀门后,水面离水槽底的高度是多 少厘米? (水面静止后,两个水槽中的水面高 度相同) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 二　圆柱和圆锥 第7课时 圆锥的体积 1. 填一填。 (1) 一个圆锥的底面积是20平方厘米,高是 6厘米,体积是( )立方厘米。 (2) 一个圆柱和一个圆锥等底等高。若圆柱 的体积是18立方厘米,则圆锥的体积是 ( )立方厘米;若圆锥的体积是18立方厘 米,则圆柱的体积是( )立方厘米。 (3) 如图,正方体、圆柱和圆锥的底面积相等, 高也相等。若圆锥的高是10dm,则圆柱的底 面积是( )dm2,圆锥的体积是( )dm3, 正方体的体积是圆锥体积的( )倍。 2. 选一选。 (1) 把一根圆柱形木料削成一个最大的圆 锥,削去部分的体积是圆锥体积的( ),削 去部分的体积是圆柱体积的( )。 A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 2倍 (2) ★一个圆柱和一个圆锥的底面积和体积 都相等。如果圆柱的高是6厘米,那么圆锥 的高是( )厘米。 A. 2 B. 6 C. 12 D. 18 (3) (南通如皋)将两张相同的直角三角形纸 片分别以其中一条直角边所在直线为轴旋转 一周,得到两个不同的圆锥(如图)。这两个 圆锥的体积相比,( )。 A. 甲<乙 B. 甲>乙 C. 甲=乙 D. 无法比较 3. 如图,在三角形ABC中,AB 长15cm, CD 长4cm。若以边AB 所在的直线 为轴旋转一周,则得到一个体积为 ( )cm3的立体图形。 A. 251.2 B. 188.4 C. 282.6 D. 无法确定 4. (南京溧水区)如图,健身房有一个圆柱形沙 包,量得沙包的底面直径是2分米,高是8分 米。在一次训练中,沙包底破了,沙子全部流 到地上形成了一个高4分米的圆锥形沙堆, 这个沙堆的占地面积是多少平方分米? 5. (操作探究)小迪用彩纸和小棒做了一面长方 形彩旗(如图),旋转小棒,观察并想象彩旗旋 转一周所形成的立体图形。旋转后红色部分 和黄色部分形成的立体图形的体积分别是 多少? 6. (思维过程)一个圆锥的底面半径是2厘米,将 圆锥沿高竖直切成两半,表面积增加了48平 方厘米。原来这个圆锥的体积是多少立方 厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 数学(苏教版·江苏专用)六年级下 第8课时 练 习 课 1. 填一填。 (1) 如图,小薇在一个圆柱形容器 里装满雪后,又压进一个与圆柱形 容器等底等高的圆锥形木块,压过 后雪的体积是( )cm3。(容器 壁的厚度忽略不计) (2) 一根圆柱形钢材的底面周长是18.84cm, 高是6cm。将它熔铸成底面积是9.42cm2 的圆锥,这个圆锥的高是( )cm。(损耗 忽略不计) 2. (生活应用)一个圆锥形沙堆,量得其底面周 长是15.7米,高是1.2米。如果每立方米沙 子约重1.5吨,那么这堆沙子约重多少吨? 3. (数学文化)《九章算术》是我国古代数学著 作,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下 周八尺,高五尺。问积及为米几何?”其大意 为现靠屋内墙角处堆放米 如图,米堆为一个 圆锥的1 4 ,米堆底部的弧长为8尺,米堆的 高为5尺。问:米堆的体积及堆放的米分别 为多少? 已知一斛米的体积约为1.62立方 尺,π取3,则堆放的米约有多少斛? 4. (扬州江都区)已知一个圆柱和圆锥的底面积 相等,圆锥与圆柱的体积比是1∶6,圆柱的 高是9.6厘米,则圆锥的高是( )厘米。 5. 选一选。 (1) 如果一个圆柱和一个圆锥的底面周长之 比是2∶3,高之比是1∶3,那么圆柱与圆锥 的体积之比是( )。 A. 2∶9 B. 4∶27 C. 4∶9 D. 9∶2 (2) 一个圆柱和一个圆锥的体积之比是5∶4, 底面半径之比是2∶3,已知圆柱高3分米, 则圆锥高( )分米。 A. 3.2 B. 4 C. 6.4 D. 2.4 6. 一个密封的沙漏,上、下都是圆锥形,底面直 径都是12厘米,高都是10厘米。该沙漏下 面的圆锥中装满了沙子,将沙漏倒置(如图), 如果每分钟向下漏20立方厘米的沙子,那么 这些沙子多少分钟后可以全部漏完? 7. ★(苏州太仓)如图,一个密闭的容器由圆柱 和圆锥组成,圆柱和圆锥的高分别为12厘 米、9厘米,容器内的水面高8厘米。如果将 这个容器倒过来放置,那么从圆锥的顶点到 水面的距离是多少厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 二　圆柱和圆锥 第9课时 整理与练习(1) 1. 填一填。 (1) 一个圆柱的侧面积是376.8dm2,高是 6dm,它的表面积是( )dm2,体积是 ( )dm3。 (2) 一个圆柱和一个圆锥的底面直径相等, 且圆锥的高是圆柱的3倍。若这个圆锥的体 积是30dm3,则圆柱的体积是( )dm3。 (3) 一根长2.4米的圆柱形木料,把它锯成 相同的四段后,表面积增加了24平方分米。 这根木料的底面积是( )平方米,体积是 ( )立方米,将其中的一段加工成一个最 大的圆锥,这个圆锥的体积是( )立方米。 (4) 把一根底面直径是8厘米、高是1.2米 的圆柱形木料截成( )个小圆柱,截开后 表面积增加了200.96平方厘米。 2. (生活应用)某厂家新推出600个“暖心”圆柱 形玻璃杯,高是22cm,底面直径是8cm,且 都配有防烫外套(有底),防烫外套的上边缘 距离杯口8cm(如图)。加工这些玻璃杯防 烫外套至少需要多少平方米的防烫布料? (布料的厚度和接头处忽略不计,得数保留 整数) 3. 选一选。 (1) (宿迁泗洪)妈妈榨了一大杯橙汁,倒入 小杯子中(如图),可以倒满( )杯。(杯子 的壁厚忽略不计) A. 3 B. 6 C. 9 D. 15 (2) (几何直观)关于下面四个图形的体积之 间的关系,下面的选项中正确的是( )。 ① V甲=V乙×3 ② V乙=V丙 ③ V乙=V丁×2 ④ V甲=V丁×12 A. ①③ B. ①②③ C. ③④ D. ①②④ 4. 一支未用过的圆柱形铅笔长18cm,体积是 9cm3。使用一段时间后变成下面的样子,此 时铅笔的体积是( )cm3。 5. ★将一块棱长为6dm的正方体木料削成一个 最大的圆锥,削去部分的体积是( )dm3。 6. 下面是科研小组制作的一个零件模型,这个 零件模型的体积是多少立方分米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 数学(苏教版·江苏专用)六年级下 第10课时 整理与练习(2) 1. 填一填。 (1) (操作探究)如图,在一个盛有450mL水 的量杯中放入一个圆柱,水面处的刻度为 600mL。若再放入一个与圆柱等底等高的 圆锥,则此时水面处的刻度为( )mL。 (2) 将一个正方体木块加工成一个最大的圆 锥,它的底面半径是5厘米,原来正方体木块 的体积是( )立方厘米。 (3) 街心花园有一根圆柱形花柱,底面周长 是3.14米,高是4米,花柱的侧面和上底面 都插满了花。如果每平方米有200朵花,那 么这根花柱上一共有( )朵花,这根花柱 的体积是( )立方米。 (4) 一根固体胶棒的底面直 径是2厘米,高是6厘米。 如图,12根固体胶棒可装满 一个包装盒,这个包装盒的容积是( )立 方厘米。另一个包装盒长10厘米,宽6厘米, 高6厘米,则这个包装盒最多能装( )根这 样的固体胶棒。(包装盒的厚度忽略不计) 2. 选一选。 (1) 一个圆柱和一个圆锥等底等高,如果圆 柱的高减少12分米,那么圆锥和圆柱的体积 相等。圆锥的高是( )分米。 A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 (2) 把一个圆柱形木块削成两个相同的圆锥 形物体,它们的底面积与圆柱的底面积相等, 每个圆锥的高是圆柱高的一半,则每个圆锥 的体积与圆柱体积的比是( )。 A. 1∶3 B. 2∶3 C. 1∶6 D. 1∶2 3. 一个长方体木料的长、宽均是a,高是h,且 h>a。把它削成一个最大的圆锥,这个圆锥 的体积占长方体木料体积的 ( ) ( ) 。(得数 保留π) 4. 一个圆柱形容器,从里面量,底面直径是8厘 米,水面高是5厘米。把一个底面周长是 12.56厘米的圆锥形铁块浸没在水中,此时 水面上升3厘米,且水未溢出。圆锥形铁块 的体积是多少立方厘米? 5. (淮安淮安区)一个圆柱形木块,若按图①所示 切成4块,则表面积增加48平方厘米;若按图 ②所示切成3块,则表面积增加50.24平方厘 米;若削成一个最大的圆锥(如图③),则体积 减少多少立方厘米? 6. (思维过程)有甲、乙两个圆柱形容器,甲容器 的底面积是60平方厘米,水深8厘米;乙容 器的底面积是40平方厘米,水深5厘米。在 两个容器中加入同样多的水,使水面高度相 同,这时容器中水面的高度是多少厘米? (甲、乙两个容器足够高) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 二　圆柱和圆锥 提分真题集训 1. 选一选。 (1) (盐城)一个圆柱形玻璃容器的底面积是 240cm2,高是20cm,原来水面的高度是 8cm,分别往该容器内浸没不同物体后,水面 的高度均上升至10cm(如图)。比较浸没物 体的体积,下面的说法中,正确的是( )。 A. 正方体的体积大 B. 圆锥的体积大 C. 圆柱的体积大 D. 一样大 (2) (无锡惠山区)下面各图形以虚 线所在直线为轴旋转一周形成的立 体图形中,与右图沿虚线所在直线 旋转一周形成的立体图形的体积相等的是 ( )。 A. B. C. D. (3) (泰州姜堰区) 一张长方形纸,长 是5厘米,宽是4厘 米,以长所在直线为轴旋转一周,形成圆柱 甲;以宽所在直线为轴旋转一周,形成圆柱乙 (如图)。圆柱甲的体积是圆柱乙的( )。 A. 4 5 B. 5 4 C. 16 25 D. 25 16 2. (宿迁宿城区)某沙滩公园为了修建沙雕,用 一辆车厢从里面量长9.42米、宽2.5米、高 2米的卡车装满黄沙,倒在地面上堆成一个 近似圆锥形的沙堆,沙堆的底面半径是3米, 这个沙堆的高是多少米? 3. (扬州广陵区)晶晶的爸爸在“琉璃厂”买了一块 砚台,为了测量它的体积,做了以下操作: ① 用天平称出这块砚台的质量是1.44kg;② 用 天平称出1dm3 砚台的质量为2.5kg;③ 测量出 一个圆柱形玻璃容器的底面半径是8cm;④ 用 直尺量出容器的高是10cm;⑤ 在容器里注入一 定量的水,量出水面高度为5cm;⑥ 将砚台完全 浸入水中(水未溢出),量出水面高度为8cm。 根据信息,你能用不同的方法求出这块砚台 的体积吗? (π取3,容器壁的厚度忽略不计) 4. (徐州睢宁)如图①,某品牌卷纸有甲、乙两种 规格,其价格分别为3元和8元,该品牌卷纸 中间硬纸轴的直径是4cm,高度是10cm。 (1) 制作一个中间的硬纸轴需要多少平方厘 米的硬纸板? (2) 如图②,纸箱正好可放入24个甲种卷 纸,这个纸箱的容积至少是多少立方厘米? (3) 如果甲、乙两种卷纸的纸质相同,你觉得 买哪一种更划算? 请通过计算加以说明。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 数学(苏教版·江苏专用)六年级下 第二单元整合提升 类型一 图形切割后表面积的变化 根据表面积的变化找出增加(减少)了几个面,求出增 加(减少)一个面的面积,进而求出圆柱或圆锥的底面 半径(直径),最后求出它们的体积。 1. 将一个圆柱的侧面展开,得到一个正方形。 如果高减少4厘米,那么表面积比原来减少 125.6平方厘米。原来圆柱的体积是多少立 方厘米? 2. (生活应用)把一根2米长的圆柱形木头锯成 相同的三段小圆柱,表面积增加了0.24平方 米。原来圆柱形木头的体积是多少立方米? 类型二 求图形绕轴旋转后形成的立体图形的 体积 先确定旋转轴(即图形的某条边所在的直线),再找出 旋转后形成的立体图形的底面半径和高,由此即可求 出旋转后形成的立体图形的体积。 3. 有一个直角三角形(如图),分别绕它的两条 直角边所在的直线旋转一周,能够形成两个 大小不同的圆锥。它们的体积各是多少立方 厘米? 类型三 根据体积的变化解决实际问题 求不规则物体的体积时,可以通过转化的方法,先求 出底面积或高,再求出对应部分的体积;求浸没在水 中的物体的体积时,要明确物体的体积就是水面上升 部分水的体积或溢出的水的体积或两者之和。 4. 一个圆柱形容器,从里面量得底面直径是 12厘米,高是10厘米。容器中放了一个棱 长是6厘米的正方体铁块,现在打开一个水 龙头,往容器中注水,5秒时正方体铁块正好 浸没在水中。照这样计算,再经过多少秒,水 能注满容器? (得数保留整数) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 二　圆柱和圆锥 5. (操作探究)在一个圆柱形水桶里,放进一段 截面半径是5厘米的圆柱形钢材,如果圆柱 形钢材浸没在水中(水未溢出),那么水桶里 的水面上升10厘米;如果把水中的圆柱形钢 材竖着提起,使它露出水面6厘米,那么水桶 里的水面就下降2厘米。求这段圆柱形钢材 的体积。(水的损耗忽略不计) 类型四 借助等积变换解决实际问题 求容器中水面上升(下降)的高度时,要明确容器中水 面上升(下降)部分的水的体积等于容器中放入(拿 出)的物体的体积(物体浸没在水中)。 6. 下面是一个从里面量底面直径为20厘米的 圆柱形容器,容器内装有一部分水,水中浸没 着一个底面直径为8厘米、高为30厘米的圆 锥形铁块。将铁块从水中取出后,容器中的 水面下降了多少厘米? (水的损耗忽略不计) 素养点 运用分解法计算组合图形的体积 7. 如图(单位:厘米),四边形ABCD 是直角梯形。 (1) 以AB 边所在直线为轴将梯 形旋转一周得到一个立体图形,它 的体积是多少? (2) 以CD 边所在直线为轴将梯形旋转一周 得到一个立体图形,它的体积是多少? 思路提示:根据平面图形的旋转方式,在脑海中想 象出立体图形的样子,会发现得到的是一个组合 图形,将这个组合图形分解成规则的立体图形,从 而计算出体积。 8. (思维过程)如图,四边形 ABCD 是长方形,BC= 6厘米,AB=10厘米,对 角线AC、BD 相交于点O。E、F 分别是AD 与BC 的中点,将长方形ABCD 以EF 所在 直线为轴旋转一周,则白色部分扫出的立体 图形的体积是多少立方厘米? (π取3) 思路提示:白色部分扫出的立体图形的体积等于 长方形旋转得到的圆柱的体积减去涂色部分旋转 得到的两个圆锥的体积。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81 数学(苏教版·江苏专用)六年级下 3. 二　圆柱和圆锥 第1课时 圆柱和圆锥的认识 1. (1) 28.26 25.12 (2) ③①④② 2. (1) C (2) B 知识归纳 圆柱的侧面展开图 将一个圆柱的侧面剪开,通常有下面三种 情况:(1) 沿高剪开,展开后可以是一个长方形 或正方形;(2) 沿侧面上的一条斜线剪开,展开 后可以是一个平行四边形;(3) 沿侧面上的曲线 (或折线)剪开,展开后可以是一个不规则图形。 (3) A B 3. 12.56 5 78.5 2 解析:绕着长方形的长所 在的直线旋转一周,得到的圆柱的底面半径等于长 方形的宽,是2厘米,高等于长方形的长,是5厘 米,所以圆柱 A 的底面周长是2×3.14×2= 12.56(厘米),高是5厘米;绕着长方形的宽所在的 直线旋转一周,得到的圆柱的底面半径等于长方形 的长,是5厘米,高等于长方形的宽,是2厘米,所 以圆柱B的底面积是3.14×52=78.5(平方厘 米),高是2厘米。 4. D 解析:观察题图可知,扇形中弧的长度等于 半径为R 的圆周长的14 ,且圆锥底面周长与扇形 中弧的长度相等,因此可以得出2πr=2πR×14 , 即R=4r。 5. 30×4+20×4+35=235(cm) 6. 24÷6=4(盒) 12÷6=2(盒) 20÷10= 2(层) 4×2×2=16(盒) 解析:根据题意可知, 在长方体纸盒中装直径是6厘米、高是10厘米的 茶叶盒,纸盒长边上一排最多能装24÷6=4(盒),宽 边上一列最多能装12÷6=2(盒),竖着最多能装 20÷10=2(层),所以最多能装4×2×2=16(盒)。 第2课时 圆柱的侧面积 和表面积 1. (1) 37.68 226.08 452.16 (2) 314 2. (1) 3.14×1.5×40=188.4(米) 3.14×2× 30=188.4(米) 他们的记录正确 (2) 188.4× 2.5=471(平方米) 3. 12分米=1.2米 3.14×1.2×19×4×0.6≈ 172(千克) 解析:给柱子刷油漆只需刷柱子的侧 面,先计算1根柱子的侧面积,再求出4根柱子的 侧面积,最后乘每平方米用的油漆质量即可求解。 4. C 解析:由题图可知,拼成的大长方形的长是 底面圆的周长,宽是(h+r),则面积是2πr(h+ r),即圆柱的表面积。 5. (1) ① 圆柱侧面展开后的长方形,其中一条 边是底面直径的3倍多一些(合理即可) (2) 3÷ 2=1.5(分米) 3.14×1.52×2+3.14×3×3= 42.39(平方分米) 42.39>40 不够 6. 3.14×120×20+3.14×(120÷2)2=18840(平 方厘米) 3.14×100×20+18840=25120(平方厘 米) 解析:由题意可知,交警指挥台露在外面的面 可以看作由下面圆柱的侧面和一个底面以及上面 圆柱的侧面组成。 第3课时 练 习 课 1. (1) 4 (2) 11.28 (3) 408.2 (4) 50.24 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 2. (1) A (2) C B (3) A 3. (1) (6×2+6×3.14)×25=771(平方厘米) (2) 6×2×6×25=1800(立方厘米) 4. 3.14×28×12×34=791.28 (平方厘米) 3.14×(28÷2)2×2×34=923.16 (平方厘米) (28÷2)×12×2+791.28+923.16=2050.44(平 方厘米) 解析:观察题图可知,剩下部分的表面积 是原来圆柱形蛋糕表面积的3 4 加上2个长(28÷ 2)厘米、宽12厘米的长方形的面积。 5. 157+300÷2×3.14=628(平方厘米) 解析:把 圆柱形木料截成两个小圆柱,会增加两个底面,因此 157平方厘米是两个底面的面积之和;如果沿着底 面直径截成两个半圆柱,那么将增加两个长方形, 即其中一个长方形的面积为300÷2=150(平方厘 米),而这个长方形的面积=底面直径×高,圆柱的 侧面积=底面周长×高=π×底面直径×高,进而 求出圆柱的侧面积。然后用两个底面的面积之和 加上侧面积,就能求出原来圆柱形木料的表面积。 第4课时 圆柱的体积 1. (1) 157×5=785(cm3) (2) 0.6 15 (3) 56.52 (4) 120 2. 3.14×52×3=235.5(立方分米) 235.5立方 分米=235.5升 3. 3.14×(6÷2)2×(9÷60%)×(1-60%)= 169.56(立方厘米) 169.56立方厘米=169.56毫升 4. 25 500 5. 188.4÷3.14÷2=30(厘米) 3.14×302×4= 11304(立方厘米) 解析:这些水草、小石块和金鱼 的体积就是鱼缸内上升高度为4厘米的水的体积。 方法归纳 求浸没在水中的物体的体积 当物体浸没在装有水的容器里,且水未溢 出时,容器中上升部分的水的体积就是浸没在 水中的物体的体积。 6. 3.14×(10÷2)2×10=785(dm3) 解析:根据 题意可知,把这个正方体木料加工成一个最大的圆 柱,这个圆柱的底面直径和高都等于正方体的棱 长,根据圆柱的体积计算公式,把相关数据代入公 式解答即可。 7. 6.28÷3.14÷2=1(厘米) 48÷2÷1=24(厘 米) 3.14×12×24=75.36(立方厘米) 解析:由 题意可知,增加的表面积实际上是长方体左右两个 面的面积之和,则一个面的面积是48÷2=24(平 方厘米)。由题图可知,长方体左右两个面均是长 方形,且长方形的宽是圆柱的底面半径,长方形的 长是圆柱的高。先根据圆柱的底面周长求出底面 半径,再求出圆柱的高,最后根据圆柱的体积计算 公式即可求出原来圆柱的体积。 第5课时 练 习 课(1) 1. (1) 10.5975 21.195 (2) 376.8 2. (1) ① (2) ④ (3) 侧面积 ①④②③ ③②④① ①④②③ (4) 圆柱的侧面积相同时, 半径越大,体积越大 3. (1) A 解析:小圆柱与大圆柱的底面直径之比 是2∶3,则底面积之比是4∶9。大圆柱与小圆柱 高的最简整数比是(9÷9)∶(5÷4)=4∶5。 (2) B 解析:把圆柱截成两个小圆柱,表面积增加 了50.24cm2,是2个底面积的和,则底面积是 50.24÷2=25.12(cm2)。由题意可知,较小的小 圆柱的高是2× 22+3=0.8 (dm),即8cm,则较小 的小圆柱的体积是25.12×8=200.96(cm3)。 4. 25.12÷2=12.56(厘米) 3.14×(12.56÷ 3.14÷2)2×8=100.48(立方厘米) 5. 绕边AB 所在的直线旋转一周所形成的圆柱的 体积:3.14×52×6=471(立方分米),表面积:2× 3.14×5×6+3.14×52×2=345.4(平方分米) 绕边BC 所在的直线旋转一周所形成的圆柱的体 积:3.14×62×5=565.2(立方分米),表面积:2× 3.14×6×5+3.14×62×2=414.48(平方分米) 471<565.2 345.4<414.48 绕边BC 所在的直 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 线旋转一周所形成的圆柱的体积和表面积大 解析:将一个长方形绕长或宽所在的直线旋转 一周,都会得到一个圆柱。如果绕长所在的直线旋 转一周,那么会得到一个以长为高、宽为底面半径 的圆柱;如果绕宽所在的直线旋转一周,那么会得 到一个以宽为高、长为底面半径的圆柱,所以会出 现大小不同的两个圆柱。根据不同的底面半径和 高,算出不同的体积和表面积,最后进行比较即可。 第6课时 练 习 课(2) 1. (1) 1 (2) 602.88 2. 12×10×8÷12=80(平方厘米) 3. 3.14×(40÷2)2×50÷2+50×40×20= 71400(立方厘米) 4. A 解析:四个大小相同的小圆柱叠成一个大 圆柱,表面积比原来减少了3×2=6(个)小圆柱的 底面积,则小圆柱的底面积是72÷6=12(平方厘 米),所以一个小圆柱的体积是12×(40÷4)= 120(立方厘米)。 5. 50mL=50cm3 50÷8×(8-6)×(16÷8)= 25(cm3) 解析:根据题意可知,当圆柱B从容器 A中拿走时,容器A中水面下降了(8-6)cm,且下 降部分水的体积等于圆柱B插入水中部分的体 积。因为圆柱B长16cm,插入水中部分的长正好 是8cm,所以下降部分水的体积等于圆柱B体积 的一半。 6. 3.14×(6÷2)2×(10+2)=339.12(cm3) 339.12cm3=339.12mL 解析:观察题图可知, 要求这个酸奶瓶的容积,实际就是求底面直径是 6cm、高是(10+2)cm的圆柱形容器的容积。 7. 3.14×(60÷2)2+3.14×(20÷2)2=3140(平 方厘米) 14.13升=14130立方厘米 解:设打开 阀门后,水面离水槽底的高度是h 厘米。 3140h=14130×2 h=9 解析:当阀门关闭时, 两边注入同样多的水,A水槽粗,所以水面会低一 些;B水槽细,所以水面会高一些。阀门打开后,高 处的水会向低处流,B水槽内的水会通过阀门流向 A水槽,最终两边的水面高度相同。两边水槽内 的水都是圆柱形,两边水面持平后,它们底面积的 和乘水面高度,就是水的总体积,也就是14.13× 2=28.26(升)。据此求解。 第7课时 圆锥的体积 1. (1) 40 (2) 6 54 (3) 100 10003 3 2. (1) D C (2) D 易错分析 混淆圆柱和圆锥的关系 底面积和体积分别相等的圆柱和圆锥,圆 锥的高是圆柱高的3倍。不能根据圆柱和圆 锥体积计算公式之间的关系,误以为圆锥的高 是圆柱高的1 3 。 (3) A 3. A 解析:以边AB 所在的直线为轴旋转一周 后,得到的是两个底面半径为4cm的圆锥,且底面 拼接在一起,两个圆锥的高的和是15cm,即AD+ DB=15cm。所以立体图形的体积为13×3.14× 42×AD+13×3.14×4 2×DB=13×3.14×4 2× (AD+DB)=13×3.14×4 2×15=251.2(cm3)。 4. 3.14×(2÷2)2×8=25.12(立方分米) 25.12÷13÷4=18.84 (平方分米) 5. 3.14×102×6=1884(立方厘米) 黄色部分: 1884×13=628 (立方厘米) 红色部分:1884- 628=1256(立方厘米) 解析:将彩旗旋转一周,黄 色部分形成了一个底面半径为10厘米、高为6厘 米的圆锥,整面长方形彩旗形成了一个底面半径为 10厘米、高为6厘米的圆柱。圆锥的体积是等底 等高的圆柱体积的1 3 ,所以旋转后红色部分形成的 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 立体图形的体积是圆柱体积的2 3 ,也可以用圆柱的 体积减去圆锥的体积得到旋转后红色部分形成的 立体图形的体积。 6. 48÷2=24(平方厘米) 24×2÷(2×2)= 12(厘米) 13×3.14×2 2×12=50.24(立方厘米) 解析:将圆锥沿高竖直切成两半,增加的表面积是 两个相同三角形的面积和,这两个三角形的底边长 等于圆锥的底面直径,高等于圆锥的高。表面积增 加了48平方厘米,则一个三角形的面积是48÷ 2=24(平方厘米),根据三角形的面积和底,计算出 三角形的高,即圆锥的高,进而求出原来这个圆锥 的体积。 第8课时 练 习 课 1. (1) 169.56 (2) 54 2. 15.7÷3.14÷2=2.5(米) 13×3.14×2.5 2× 1.2=7.85(立方米) 7.85×1.5=11.775(吨) 3. 米堆的体积:1 4× 1 3×3× (4×8÷2÷3)2×5≈ 35.56(立方尺) 堆放的米:35.56÷1.62≈22(斛) 4. 4.8 5. (1) C (2) A 解析:由“底面半径之比是2∶3”可知,底 面积之比是4∶9。假设圆柱和圆锥的体积分别是 5立方分米和4立方分米,底面积分别是4平方分 米和9平方分米,则圆柱和圆锥高的比是(5÷4)∶ (4×3÷9)=15∶16,所以圆锥高3÷15×16= 3.2(分米)。 6. 1 3×3.14× (12÷2)2×10÷20=18.84(分) 7. 9×13=3 (厘米) 8-3=5(厘米) 9+5= 14(厘米) 解析:由题图可知,圆锥和圆柱的底面 积相等,则高为9厘米的圆锥的体积相当于高为 9×13=3 (厘米)的圆柱的体积,容器倒放之后,原 圆柱容器中高3厘米的水正好把圆锥容器装满,剩 余的水在圆柱容器中,高为8-3=5(厘米),所以 圆锥的顶点到水面的距离是9+5=14(厘米)。 方法归纳 等体积问题 解决此类问题时,需要先挖掘出题中的隐 藏信息———水的体积不变,再根据圆柱与圆锥 之间的关系进行解答。 第9课时 整理与练习(1) 1. (1) 1004.8 1884 (2) 30 (3) 0.04 0.096 0.008 (4) 3 解析:由题意可知,圆柱形木料的底面积是 3.14×(8÷2)2=50.24(平方厘米),则截开后增加 了200.96÷50.24=4(个)底面,也就是截了2次, 截成了3个小圆柱。 2. 3.14×(8÷2)2+3.14×8×(22-8)= 401.92(cm2) 401.92×600=241152(cm2) 241152cm2=24.1152m2≈25m2 3. (1) C (2) D 4. 5 解析:此时铅笔的体积可看作等底的高 9cm的圆柱与高3cm的圆锥的体积和。由题意, 得等底的高9cm的圆柱的体积占原来铅笔体积的 9 18 ,即1 2 ,所 以 圆 柱 部 分 的 体 积 是 9× 12 = 4.5(cm3)。等底的高3cm的圆柱的体积占原来 铅笔体积的3 18 ,即1 6 ,则等底的高3cm的圆锥的体 积就占原来铅笔体积的1 6× 1 3 ,即1 18 ,所以圆锥部 分的体积是9×118=0.5 (cm3)。此时铅笔的体积 是4.5+0.5=5(cm3)。 5. 159.48 解析:将一块棱长为6dm的正方体木 料削成一个最大的圆锥,这个最大的圆锥的底面直 径和高都是正方体的棱长,即6dm,先求出圆锥的 体积,再用正方体的体积减去圆锥的体积就能求出 削去部分的体积。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 方法归纳 将正方体削成一个最大的圆锥 解决此类问题时,要明确削成的最大圆锥 的底面直径和高都等于正方体的棱长。 6. 1 3×3.14× (6÷2)2×(8+8)=150.72(dm3) 1 3×3.14× (3÷2)2×8=18.84(dm3) 150.72- 18.84=131.88(dm3) 解析:观察题图可知,零件 模型的体积是直径为6dm、高为(8+8)dm的圆锥 的体积减去直径为3dm、高为8dm 的圆锥的 体积。 第10课时 整理与练习(2) 1. (1) 650 (2) 1000 (3) 2669 3.14 (4) 288 15 2. (1) D (2) C 3. π 12 解析:因为h>a,则h 不可能是圆锥的底 面直径,削成的最大圆锥的底面半径是a÷2,高是 h。先求出圆锥的体积是13×π× (a÷2)2×h,再 求出长方体木料的体积是a×a×h,由此求出圆 锥的体积占长方体木料体积的几分之几。 4. 3.14×(8÷2)2×3=150.72(立方厘米) 解析:本题是等积变换题,圆锥形铁块的体积等于 上升3厘米的水的体积,也就是底面直径是8厘 米、高是3厘米的圆柱的体积。 5. 50.24÷[(3-1)×2]=12.56(平方厘米) 12.56÷3.14=4(平方厘米) 4=2×2 48÷4÷(2×2)=3(厘米) 12.56×3×1-13 =25.12(立方厘米) 解析:由题图②可知,增加了(3-1)×2=4(个)底 面,则圆柱的底面积是50.24÷4=12.56(平方厘 米)。12.56÷3.14=4(平方厘米),4=2×2,即圆 柱的底面半径是2厘米,底面直径是2×2=4(厘 米)。由题图①可知,增加了4个相同的长方形的 面积,且每个长方形的面积=圆柱的高×圆柱的底 面直径,所以圆柱的高是48÷4÷4=3(厘米),体 积是12.56×3=37.68(立方厘米)。由题图③可 知,体积减少了圆柱的 1-13 ,所以若削成一个 最大的圆锥,则体积减少37.68×1-13 =25.12(立 方厘米)。 6. 方法一:60∶40=3∶2 (8-5)÷(3-2)×3+ 5=14(厘米) 方法二:解:设这时容器中水面的高 度是x厘米。 60x-60×8=40x-40×5 x= 14 解析:方法一:由于甲、乙两个容器的底面积的 比是60∶40=3∶2,加入同样多的水,那么甲、乙 两个容器中加入的水的高度之比应该是2∶3,要 使加水后水面高度相等,那么两个容器中加入的水 的高度就要相差8-5=3(厘米),所以乙容器中要 加入高为3÷(3-2)×3=9(厘米)的水,这时容器 中水面的高度是5+9=14(厘米)。方法二:现在 水面高度相同,用现在容器中水的体积减去原来容 器中水的体积就是加入的水的体积,根据两个容器 中加入的水的体积相同列方程解答。 提分真题集训 1. (1) D (2) A (3) A 2. 9.42×2.5×2=47.1(立方米) 47.1÷13÷ (3.14×32)=5(米) 3. 方法一:1.44÷2.5×1=0.576(dm3) 方法二:3×82×(8-5)=576(cm3) 576cm3=0.576dm3 4. (1) 3.14×4×10=125.6(cm2) (2) 甲种卷纸底面直径:4+4+4=12(cm) 纸箱的长:12×4=48(cm) 纸箱的宽:12×3=36(cm) 纸箱的高:10×2=20(cm) 48×36×20=34560(cm3) (3) 甲种卷纸:4+4+4=12(cm) 12÷2=6(cm) 4÷2=2(cm) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7 (3.14×62-3.14×22)×10=1004.8(cm3) 1004.8÷3≈334.9(cm3) 乙种卷纸:4+8+8=20(cm) 20÷2=10(cm) 4÷2=2(cm) (3.14×102-3.14×22)×10=3014.4(cm3) 3014.4÷8=376.8(cm3) 376.8>334.9 买乙种卷纸更划算 第二单元整合提升 1. 125.6÷4=31.4(厘米) 31.4÷3.14÷2= 5(厘米) 3.14×52×31.4=2464.9(立方厘米) 解析:先根据“将一个圆柱的侧面展开,得到一个正 方形”可知,这个圆柱的底面周长和高是相等的。 再根据高减少4厘米,表面积比原来减少125.6平 方厘米,可以求出圆柱的底面周长,进而求出圆柱 的底面半径,最后求出原来圆柱的体积。 2. 0.24÷4×2=0.12(立方米) 解析:把一根圆 柱形木头锯成相同的三段小圆柱,要锯两次,表面 积比原来圆柱形木头的表面积多了4个底面积,这 4个底面积的和是0.24平方米,所以可以先求出 圆柱形木头的底面积,再乘高(圆柱形木头的长), 即可求出它的体积。 3. 绕8厘米的直角边所在的直线旋转一周形成的 圆锥的体积:1 3×3.14×6 2×8=301.44(立方厘米) 绕6厘米的直角边所在的直线旋转一周形成的圆 锥的体积:1 3×3.14×8 2×6=401.92(立方厘米) 解析:由题意可知,如果绕8厘米的直角边所在的 直线旋转一周,那么会形成一个底面半径是6厘 米、高是8厘米的圆锥;如果绕6厘米的直角边所 在的直线旋转一周,那么会形成一个底面半径是 8厘米、高是6厘米的圆锥。根据圆锥的体积计算 公式分别求出这两个圆锥的体积。 4. [3.14×(12÷2)2-62]×6÷5=92.448(立方 厘米) 3.14×(12÷2)2×(10-6)÷92.448≈ 5(秒) 解析:由题意可知,水龙头前5秒注水部分 的底面积是圆柱形容器的底面积与正方体铁块底 面积的差,高就是正方体铁块的棱长,先求出水龙 头5秒注水的体积,再求出每秒注水的体积。要让 水注满容器,则还要将正方体铁块以上的部分注 满,该部分的底面积就是圆柱形容器的底面积,高 就是圆柱形容器的高与正方体铁块棱长的差,由此 求出还需要注水的体积,再除以每秒注水的体积即 可求出时间。 5. 3.14×52×(10÷2×6)=2355(立方厘米) 解析:圆柱形钢材浸没在水中(水未溢出),水桶里 的水面上升10厘米,竖着提起圆柱形钢材,露出水 面6厘米,水桶里的水面下降2厘米,则圆柱形钢 材的高度是10÷2×6=30(厘米)。由此利用圆柱 的体积计算公式求出圆柱形钢材的体积。 6. 3.14×(20÷2)2=314(平方厘米) 13× 3.14×(8÷2)2×30÷314=1.6(厘米) 解析:将 圆锥形铁块从水中取出后,圆锥形铁块在水中所占 的空间就会被水占据,因此水面就会下降,下降部 分的体积就等于圆锥形铁块的体积。所以用圆锥 形铁块的体积除以圆柱形容器的底面积就能得到 水面下降的高度。 7. (1) 3.14×32×3+13×3.14×3 2×(6-3)= 113.04(立方厘米) (2) 3.14×32×6-13×3.14×3 2×(6-3)= 141.3(立方厘米) 解析:以AB 边所在直线为轴旋转一周得到的立体 图形如图①所示,该立体图形的体积等于底面半径 是3厘米、高是6-3=3(厘米)的圆锥的体积加上 底面半径是3厘米、高是3厘米的圆柱的体积。以 CD 边所在直线为轴旋转一周得到的立体图形如 图②所示,该立体图形的体积等于底面半径是3厘 米、高是6厘米的圆柱的体积减去底面半径是3厘 米、高是6-3=3(厘米)的圆锥的体积。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 8. 6÷2=3(厘米) 3×32×10-13×3×3 2× 10=180(立方厘米) 三　解决问题的策略 第1课时 选择策略解决 实际问题(1) 1. (1) 7 5 5 7 2 7 (2) 1956 2. (1) A (2) D 3. 红玫瑰:4800× 55+3=3000 (平方米) 黄玫瑰: 4800-3000=1800(平方米) 解析:先将“黄玫瑰 的种植面积是红玫瑰的3 5 ”转化为黄玫瑰与红玫瑰 的种植面积的比是3∶5,再按比进行分配和求解。 方法归纳 运用转化法解决分数问题 解决“已知两个数的和及一个数是另一个 数的几分之几,求这两个数”的问题时,可以把 分率转化为两个数的比,从而按比进行分配 求解。 4. 2 1+2= 2 3 8 7+8= 8 15 800÷ 2 3- 8 15 = 6000(个) 解析:此题容易错将变量800个看作单 位“1”。实际上,这两种垃圾箱的总个数没有变化, 应将这两种垃圾箱的总个数看作单位“1”。 方法归纳 解决此类问题时,一定要明确哪些量在变 化,哪些量没有变化,要把不变的量看作单位 “1”,并根据题目要求找出新的“对应分率”再 解答。 5. 96÷ 31+3- 3 5 =640(千米) 解析:根据“第 二天行驶的路程与第一天行驶路程的比是1∶3” 可知,第一天行驶的路程占全程的 3 1+3 ,则96千 米占全程的 3 1+3- 3 5 。 第2课时 选择策略解决 实际问题(2) 1. (1) ① 略 ② 图略 8 ③ 图略 4 ④ 11 4 (2) 鸵鸟 只数 长颈鹿 只数 腿的总条数 和38条 比较 7 8 7×2+8×4=46 多8条 8 7 8×2+7×4=44 多6条 9 6 9×2+6×4=42 多4条 10 5 10×2+5×4=40 多2条 11 4 11×2+4×4=38 相等 (3) 2x+4×(15-x)=38 x=11 长颈鹿:15-11=4(只) 2. 6 4 3. 解:设大帐篷租了x顶,则小帐篷租了(x-4)顶。 5x+3(x-4)=36 x=6 小帐篷:6-4=2(顶) 4. (20×5-84)÷(5+3)=2(道) 解析:假设亮 亮全部做对,则应得20×5=100(分),实际得了 84分,多算了100-84=16(分)。每不做或做错 1道题不仅不得分,还要倒扣3分,也就是不做或 做错1道题与做对1道题相差5+3=8(分),则16分 里有多少个8分,就有多少道题不做或做错。 方法归纳 解决“倒扣”问题 解决此类问题的关键是理解做对1道题 与不做或做错1道题的分数差=做对1道题 的得分+不做或做错1道题倒扣的分。 5. 780-180=600(人) 600+10×2=620(人) 620÷(3+2)=124(户) 解析:根据题意可知,三口之家与两口之家出行的 总人数为780-180=600。假设两口之家多10户, 即两口之家与三口之家的户数相等,则此时三口之 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9