专题07 解三角形中的最值和范围问题十种考法-2024-2025学年高一数学重难点突破（苏教版2019必修第二册）

专题07 解三角形中的最值和范围问题十种考法 一、方法讲解 1.求解三角形的角度范围问题，常见解题思路为： （1）对所给条件做出分析，根据条件特点选择合适定理表达所求角度，若已知边长值较多则考虑余弦定理，已知角度大小则考虑正弦定理； （2）根据角度的具体表达式结构特点，讨论有关变量的具体定义域； （3）选择三角函数求值域或基本函数求值域方式，在所求定义域内求得对应值域，即可得到问题所求的角度相关范围大小. 2.求解与边长有关的范围问题，常见解题思路为： （1）根据已知条件的特点，选择合适的定理并代人具体值，得到与问题所求的对应关系等式； （2）根据关系等式以及三角形三边之和、内角和关系特点，得到具体关系等式或不等式； （3）通过运算，求出问题所求边长对应具体取值范围. 3.针对三角形面积进行提问的取值范围问题，常见解题思路为： （1）对所求三角形大致形状做出分析，明确选择面积求解公式； （2）运用正余弦定理，取得三角形边长、角度具体值，将其代人面积公式中得到具体表达式； （3）根据表达式结构特点，运用函数求值域思路或基本不等式求临界值思路，得到具体的范围大小，即对应问题所求的面积范围值. 4.常见五种化归解题技巧： （1）利用基本不等式求范围或最值； （2）利用三角函数求范围或最值； （3）利用三角形中的不等关系求范围或最值； （4）根据三角形解的个数求范围或最值； （5）利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 二、重难点例题及变式 类型一、角度最值和范围问题 例．在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，， 由得， 因为，所以， 由余弦定理得，则，故， 又由正弦定理得， 整理得， 因为，故或（舍去），得， 为锐角三角形，故，解得，所以的取值范围是． 故选：A. 【变式训练1】给出以下三个件:①，②，③.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解.已知在锐角中，内角的对边分别为且______. （1）求边长； （2）若的面积，求角的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）选①，由及余弦定理，得，所以. 选②，由及余弦定理，得， 整理得，所以. 选③，由，得， 整理得，即， 因此，由正弦定理得，所以. （2）显然，当且仅当时取等号，而， 于是，由，得， 而，则有， ，因此， 在锐角中，由，得，于是，解得， 所以角的最大值为. 【变式训练2】已知△ABC的三个内角A，B，C满足，则A的最大值是 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以，所以， 由正弦定理得：．           由余弦定理得：，又由得：， 所以， （当且仅当，即△为正三角形时，取“”）， 因为，所以的最大值为． 故答案为： 类型二、三角形中角度对应的三角函数的最值和范围问题 例．钝角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】因为， 所以由正弦定理得， 又因为，即， 所以， 又因为钝角三角形， 所以，即为钝角， 所以 由，解得， 且， 所以根据二次函数单调性求得. 故答案为：. 【变式训练1】在锐角三角形ABC中，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，所以 所以，又三角形ABC为锐角三角形，所以， 所以 又因为三角形ABC为锐角三角形，所以 所以 所以， 故选：A. 【变式训练2】在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. 则的取值范围为_____________. 【答案】 【解析】（1）因为， 所以，即. 因为，所以. 因为，所以. （2）由（1）知 . 因为，所以， 因为，所以， 所以， 即的取值范围是. 故答案为: 类型三、边长最值和范围问题 例．(1)在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】锐角中，，， 由正弦定理可得，所以， 又， 所以，解得， 所以，所以． 故选：D． (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知,若为锐角三角形，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】由和正弦定理 得， ， 因为A，B，C为的内角，所以． 由正弦定理知：， 为锐角三角形，则， 所以． 故答案为: 【变式训练1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由，得，， 由正弦定理可得，即， 所以，所以或（舍去），所以， 由正弦定理得,， 而，，所以， 所以，所以，所以的取值范围为. 故选：B 【变式训练2】已知面积为9，点D在BC边上，,若，则AD的最小值为________． 【答案】 【解析】记的内角为，所对边为， 因为， 所以， 所以， 在中，因为， 所以由余弦定理可得， 整理得， 因为，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以AD的最小值为4. 故答案为:4 类型四、周长最值和范围问题 例．（1）在锐角三角形ABC中，，，则周长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，， 由三角形面积公式和余弦定理可得，， 即， 整理得，，即， 在锐角三角形ABC中，， 因为根据正弦定理，所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即，所以， 即，， 所以. 故选：C. （2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC周长的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 由正弦定理得， 因为，所以，由于，故，则， 由正弦定理得， 故， 又，则，所以，则， 故△ABC周长的最大值为. 故选：D. 【变式训练1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，，且，则的周长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若，则由余弦定理得， 而由面积公式得，故， 则，则，则， 则有，而在中，可得， 由二倍角公式得，故，， 由正弦定理得，则， 可得， ，而，则， 显然当时，最大，且此时，故， 而易知，综上， 故选：B 【变式训练2】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，． 则周长的范围为_____________． 【答案】 【解析】由余弦定理，， 化简得， 所以， 因为，所以 由正弦定理：， 则，， 由（1），故 因为，则， 所以，即周长范围是． 故答案为: 类型五、面积最值和范围问题 例．在中，角、、所对的边分别为、、，且，,若为锐角三角形，则的面积范围为_____________．. 【答案】 【解析】因为，， 所以， 因为， 所以，则， 因为， 所以，又，则， 所以. 设的外接圆半径为，则， 所以， ， ， ， ， 因为为锐角三角形， 所以，解得， 则， 则， 所以， 所以的面积范围. 故答案为: 【变式训练1】在中，内角的对边分别为，且，则面积的最大值为为_____________． 【答案】 【解析】因为，由余弦定理可得， 则，则， 又，所以，则的面积， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为． 故答案为: 【变式训练2】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为， 由正弦定理得， 所以 ， 又，所以，所以，即， 所以，可得， 所以或， 又，所以． （2）由正弦定理，可得， 所以， 所以， 又由为锐角三角形，且，则，解得， 因为在上单调递增，所以， 所以，即的面积的取值范围是． 类型六、三角形外接圆半径最值和范围问题 例．现给出两个条件：①，②，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．（选出一种可行的条件解答，若两个都选则按第一个解答计分） 在中，，，分别为内角A，，所对的边，若________． （1）求； （2）若的面积为，求外接圆半径的最小值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）若选①：因为， 由正弦定理可得， 由，则，， 可得，所以得； 若选②：因为，即， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 因为，所以. （2）由题意可得：，则， 由余弦定理可知， 当且仅当时，等号成立，即， 所以外接圆半径最小值为. 【变式训练1】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若为钝角三角形，，则外接圆的半径R的取值范围是__________． 【答案】 【解析】因为， 所以， 又因为：， 所以， 由正弦定理有：, 而, 又因为为钝角三角形，不妨设,则， 则,所以, 所以外接圆的半径. 故答案为: 类型七、三角形中差比最值和范围问题 例．在中，内角的对边分别为的面积为S，已知，且． （1）求； （2）求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因为，所以， 在中，由余弦定理，得， 因为，所以， 所以，所以，因为，所以． （2）在中，由正弦定理，得， 所以 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围为． 【变式训练1】在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知：， （1）求b和角B； （2）求的取值范围. 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）由得，即， ，即， 因为，所以，解得， 因为，所以， 由得，即，解得或（舍）， 故，. （2） ， 因为为锐角三角形，所以，即，解得， 所以，则， 解得，即的取值范围为 【变式训练2】在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则由正弦定理得， 又， 所以， 则， 又，，则 所以或，即或（舍去）， 则， 所以，解得，则， 所以 ， 所以的取值范围是．故选：D． 类型八、与三角形中线有关的最值范围问题 例．在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)求的边中线的最大值. 【答案】（1）;（2） 【解析】（1）由题意，结合已知有， 所以，而， 所以，而， 所以，解得. （2） 由题意， 所以， 而由余弦定理有， 所以， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 即，所以， 即的边中线的最大值为. 【变式训练1】在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边，边的中点为，求中线长的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得：，则， 即， 由余弦定理可得：， 因为，所以. （2）因为为的中点，所以， 则， 又由余弦定理得，， 即，所以. 由得，， 则，当且仅当取等号， 即， 所以，即中线长的最大值为. 【变式训练2】在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求； （2）若的面积为，为的中点，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为 ， 由正弦定理可得， 又，，故，， 所以，又，故. （2），又， 在中，由余弦定理， ， 当且仅当时取等号， 的最小值为． 类型九、与三角形角平分线有关的最值范围问题 例．记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知． (1)求； (2)已知的角平分线交于点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得， 所以，又，所以. （2）因为 ， 因为为锐角三角形，所以，解得，所以， 所以，即的取值范围为. 【变式训练1】设的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)设的角平分线交于点，求的最小值． 【答案】（1） （2）9 【解析】（1）. 由正弦定理，得 ，即 ，即 （2）由题意可得， 即 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 【变式训练2】已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角A的大小； (2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由题意知中，， 故 即， 即， 所以， 而，故， 故，即， 又，故； （2）由余弦定理：， 又， 所以，所以， 所以， 当且仅当时，取等号，则的最小值为. 类型十、与三角函数性质有关的最值范围问题 例．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)若，，求的面积； (2)已知为边的中线，且，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由正弦定理，得， 所以． 又， 所以，又， 所以，又，故． 由余弦定理，得， 由，解得，所以的面积． （2）设，则． 由及正弦定理可得，， 所以，， 故 ， 其中，， 当时，的最大值为． 【变式训练1】在中，已知，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】因为， 所以， 即，所以， 所以，又，所以，则， 所以 ， 取为锐角，其中，，因为，所以， 所以当时取得最大值，且最大值为. 故答案为： 【变式训练2】已知函数,已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，则的最大值为___________. 【答案】2 【解析】由于，所以， 因为，所以，所以即， 由锐角可得，所以， 由正弦定理可得， 因为，所以所以， 所以的最大值为2. 故答案为：2 三、能力测试练 1．在中，，则的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，因为，所以. 又，所以的范围是. 故选：B 2．已知的三个内角分别为、、.若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意， 由余弦定理得，， 所以 ，当且仅当时等号成立. 即为锐角，，， ， 所以的最大值为. 3．设内角，，所对的边分别为，，.若，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】因为， 所以由正弦定理可得，得， 由余弦定理得，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为， 故选：B 4．在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】且，, 根据正弦定理得，, 即， 整理得， ，，，解得，， ， ，, 的面积 为锐角三角形，，， ，， ，. 故选：C. 5．（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.则下列说法正确的是（ ） A B. 的取值范围是 C. 若D为边AC的中点，且，则面积的最大值为 D. 若角B的平分线交AC于点E，且，则的最小值18. 【答案】ACD 【解析】对于选项A：因为， 则，整理得， 且，所以，故A正确； 对于选项B：因为， 则 ， 又因为，则，可得， 所以的取值范围为，故B错误； 对于选项C：因为为边的中点，则， 则， 可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为，故C正确； 对于选项D： 由题意得， 即， 整理得，即， 可得， 当且仅当时，等号成立，故D正确． 故选：ACD. 6.（多选）已知内角A、B、C的对边分别是a、b、c，，则（ ） A． B．的最小值为3 C．若为锐角三角形，则 D．若，，则 【答案】BCD 【解析】由，得， 由正弦定理得，由余弦定理得， 则，当时，，即， 当时，，又，所以， 所以，所以， 所以，故选项A错误； 由，则，当且仅当时，故选项B正确； 在中，，由正弦定理，， 若为锐角三角形，又，则，故， 所以，所以，则， 所以，故选项C正确； 在中，由正弦定理，又，，， 得，则 由余弦定理，， 得， 整理得，解得，或， 当时，有，又，所以， 因为，则不成立，故选项D正确. 故选：BCD. 7.古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理：圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知平面凸四边形ABCD外接圆半径为1，．则（1）__________；（2）的最小值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】， 由正弦定理可得：， 设， 由余弦定理可得， 在中，，可得， 由正弦定理可得， ，， 设，由余弦定理得， 由托勒密定理得， 即，平方得， 设， ，当且仅当且，即时取等号， 的最小值为，即的最小值为. 故答案为：;. 8．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为____________ 【答案】 【解析】由， 整理得，所以， 又，则,故， ， 因为为锐角三角形， 所以，即，所以， 即， 所以的取值范围为． 故答案为： 9．在△ABC中，，D在边AC上，∠A，∠B．∠C对应的边为a，b，c． (1)当BD为 的角平分线且时，求的值； (2)当D为AC的中点且时，求的取值范围． 【解析】（1）由题意知，BD为角平分线且长度已知，则利用面积相等可得 ， 整理可得 ，所以 . （2）以a，c为边做平行四边形，另一个端点设为M，连接BM，易知BM交AC于点D. 设∠DBC=θ，则由正弦定理知： 化简可得，，． 则，合并化简可， 易知，则， ∴． ∴的取值范围为. 10．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）若，求的值； （2）过点B作BC的垂线l，D为l上一点． ①若，，求线段AD的长； ②若且D点在外部，求线段AD长的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】（1）由正弦定理，∴，， 代入，整理得∴； （2）①在中，由正弦定理，得， ∴，∴或（舍），∴， ∵，且，所以三点共线， ∴，故， ∴，∴． ②设，，，则，， 在中，，则， 在中，， 则 ， 因为，故，， 则，即的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 解三角形中的最值和范围问题十种考法 一、方法讲解 1.求解三角形的角度范围问题，常见解题思路为： （1）对所给条件做出分析，根据条件特点选择合适定理表达所求角度，若已知边长值较多则考虑余弦定理，已知角度大小则考虑正弦定理； （2）根据角度的具体表达式结构特点，讨论有关变量的具体定义域； （3）选择三角函数求值域或基本函数求值域方式，在所求定义域内求得对应值域，即可得到问题所求的角度相关范围大小. 2.求解与边长有关的范围问题，常见解题思路为： （1）根据已知条件的特点，选择合适的定理并代人具体值，得到与问题所求的对应关系等式； （2）根据关系等式以及三角形三边之和、内角和关系特点，得到具体关系等式或不等式； （3）通过运算，求出问题所求边长对应具体取值范围. 3.针对三角形面积进行提问的取值范围问题，常见解题思路为： （1）对所求三角形大致形状做出分析，明确选择面积求解公式； （2）运用正余弦定理，取得三角形边长、角度具体值，将其代人面积公式中得到具体表达式； （3）根据表达式结构特点，运用函数求值域思路或基本不等式求临界值思路，得到具体的范围大小，即对应问题所求的面积范围值. 4.常见五种化归解题技巧： （1）利用基本不等式求范围或最值； （2）利用三角函数求范围或最值； （3）利用三角形中的不等关系求范围或最值； （4）根据三角形解的个数求范围或最值； （5）利用二次函数求范围或最值． 要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大． 二、重难点例题及变式 类型一、角度最值和范围问题 例．在锐角中，角的对边分别为，的面积为，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】给出以下三个件:①，②，③.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解.已知在锐角中，内角的对边分别为且______. （1）求边长； （2）若的面积，求角的最大值. 【变式训练2】已知△ABC的三个内角A，B，C满足，则A的最大值是 ． 类型二、三角形中角度对应的三角函数的最值和范围问题 例．钝角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为________． 【变式训练1】在锐角三角形ABC中，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【变式训练2】在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. 则的取值范围为_____________. 类型三、边长最值和范围问题 例．(1)在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知,若为锐角三角形，则的取值范围是__________． 【变式训练1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则边b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【变式训练2】已知面积为9，点D在BC边上，,若，则AD的最小值为________． 类型四、周长最值和范围问题 例．（1）在锐角三角形ABC中，，，则周长的取值范围是（ ） A． B． C． D． （2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC周长的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，，且，则的周长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，． 则周长的范围为_____________． 类型五、面积最值和范围问题 例．在中，角、、所对的边分别为、、，且，,若为锐角三角形，则的面积范围为_____________．. 【变式训练1】在中，内角的对边分别为，且，则面积的最大值为为_____________． 【变式训练2】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围． 类型六、三角形外接圆半径最值和范围问题 例．现给出两个条件：①，②，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．（选出一种可行的条件解答，若两个都选则按第一个解答计分） 在中，，，分别为内角A，，所对的边，若________． （1）求； （2）若的面积为，求外接圆半径的最小值． 【变式训练1】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若为钝角三角形，，则外接圆的半径R的取值范围是__________． 类型七、三角形中差比最值和范围问题 例．在中，内角的对边分别为的面积为S，已知，且． （1）求； （2）求的取值范围． 【变式训练1】在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知：， （1）求b和角B； （2）求的取值范围. 【变式训练2】在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 类型八、与三角形中线有关的最值范围问题 例．在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)求的边中线的最大值. 【变式训练1】在中，角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边，边的中点为，求中线长的最大值. 【变式训练2】在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求； （2）若的面积为，为的中点，求的最小值. 类型九、与三角形角平分线有关的最值范围问题 例．记锐角的内角、、的对边分别为、、，已知． (1)求； (2)已知的角平分线交于点，求的取值范围． 【变式训练1】设的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)设的角平分线交于点，求的最小值． 【变式训练2】已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1) 求角A的大小； (2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值． 类型十、与三角函数性质有关的最值范围问题 例．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，． (1)若，，求的面积； (2)已知为边的中线，且，求的最大值． 【变式训练1】在中，已知，则的最大值为___________. 【变式训练2】已知函数,已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，则的最大值为___________. 三、能力测试练 1．在中，，则的范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知的三个内角分别为、、.若，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．设内角，，所对的边分别为，，.若，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 4．在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.则下列说法正确的是（ ） A B. 的取值范围是 C. 若D为边AC的中点，且，则面积的最大值为 D. 若角B的平分线交AC于点E，且，则的最小值18. 6.（多选）已知内角A、B、C的对边分别是a、b、c，，则（ ） A． B．的最小值为3 C．若为锐角三角形，则 D．若，，则 7.古希腊数学家托勒密于公元150年在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理：圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知平面凸四边形ABCD外接圆半径为1，．则（1）_________；（2）的最小值为__________． 8．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为____________ 9．在△ABC中，，D在边AC上，∠A，∠B．∠C对应的边为a，b，c． (1)当BD为 的角平分线且时，求的值； (2)当D为AC的中点且时，求的取值范围． 10．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）若，求的值； （2）过点B作BC的垂线l，D为l上一点． ①若，，求线段AD的长； ②若且D点在外部，求线段AD长的取值范围． ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$