数学（北京卷02）-学易金卷：2025年高考第三次模拟考试

2025年高考数学第三次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．的展开式中，常数项等于（    ） A．1 B．15 C． D．1 4．已知圆与直线相切，则（    ） A．2 B． C． D． 5．已知，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若函数的两个零点分别为和，则（    ） A． B． C． D． 7．点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 8．著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．16分钟 B．18分钟 C．20分钟 D．22分钟 9．风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年级学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为AB的中点，四边形EFDC为矩形，且，，，当时，多面体ABCEF的体积为（    ） A． B． C． D． 10．设是无穷数列，若存在正整数使得对任意，均有，则称是间隔递减数列，其中称为数列的间隔数．给出下列三个结论： ①若，则是间隔递减数列； ②若，则是间隔递减数列； ③若，则是间隔递减数列且的间隔数的最小值是． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知是定义域为的奇函数，且当时，，则 ． 12．已知是第四象限角且，，则的值为 . 13．已知的内角的对边分别为，面积为，若，则 ． 14．提丢斯—波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离（以AU为天文单位）．现将数列的各项乘以10后再减4得数列，可以发现从第3项起，每一项是前一项的2倍，则 ． 15．给定曲线为曲线，点为曲线上任一点，给出下列结论： ①； ②点在圆的内部； ③曲线关于原点对称，也关于直线对称； ④曲线至少经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 其中正确命题的序号为 ． 3、 解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分）如图，在直三棱柱中，为的中点，. (1)证明：平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．（满分13分）已知函数在上单调.从以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在. ①；②的图像关于直线对称；③的最大值为. (1)求函数的单调增区间； (2)已知且，求的最小值. 注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18．（满分14分）无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了个不同的路段作为测试样本，数据如下表： 测试 结果真实 路况 传感器1 传感器2 传感器3 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 无障碍 4 15 1 1 15 4 8 12 0 有障碍 40 10 10 45 5 10 45 10 5 假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立． (1)从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率； (2)从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器1和传感器2判断正确的总路段数，求的分布列和数学期望； (3)现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器．在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？（结论不要求证明） 19．（满分15分）已知椭圆经过点，其右焦点为. (1)求椭圆的离心率； (2)若点在椭圆上，右顶点为A，且满足直线与的斜率之积为，求证：直线PQ过定点. 20．（满分15分）已知函数（a为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 21．（满分15分）现定义：若对于集合满足：对任意，都有，则称是可分比集合． (1)证明：是可分比集合； (2)设集合均为可分比集合，且，求正整数的最大值； (3)探究是否存在正整数，对于任意正整数，均存在可分比集合，使得．若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学第三次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，， 所以.故选：C 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以.故选：D. 3．的展开式中，常数项等于（    ） A．1 B．15 C． D．1 【答案】B 【解析】二项式，可得：，即 令的次数，解得. 将代入到通项公式中，可得常数项为.故选：B 4．已知圆与直线相切，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径为， 依题意，.故选：D 5．已知，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，， 当时，. 当时，； 当时，与不垂直. 所以是的充分不必要条件.故选：A. 6．若函数的两个零点分别为和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数，其中， 由，得，而， 因此，即，则即， 所以.故选：A. 7．点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】设， 由，得，所以，准线方程为， 因为，所以为的重心， 所以，所以， 所以，故选：C 8．著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．16分钟 B．18分钟 C．20分钟 D．22分钟 【答案】D 【解析】由题知， 所以，可得， 所以，即.故选：D. 9．风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年级学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为AB的中点，四边形EFDC为矩形，且，，，当时，多面体ABCEF的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，因为且为的中点，所以， 又因为，且，平面， 所以平面， 在中，因为且， 所以，且， 因为四边形为矩形，可得， 又因为，且平面，所以平面， 因为，所以平面， 又因为平面，所以， 设，在直角中，可得， 在直角中，可得， 因为，所以， 即，解得， 所以多面体的体积. 故选：A. 10．设是无穷数列，若存在正整数使得对任意，均有，则称是间隔递减数列，其中称为数列的间隔数．给出下列三个结论： ①若，则是间隔递减数列； ②若，则是间隔递减数列； ③若，则是间隔递减数列且的间隔数的最小值是． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【解析】对于①，因为，则数列为单调递减数列，即对任意恒成立， 此时，，满足题中条件，①对； 对于②，若，假设数列是间隔递减数列， 则存在，使得，即， 若为奇数，则有，可得， 因为，显然当为奇数时，合乎题意； 当为偶数时，，不等式不成立，故为奇数； 若为偶数，则有，可得， 当为奇数时，不成立， 故假设不成立，即数列不是间隔递减数列，②错； 对于③，若， 因为， 则，所以，数列是间隔递减数列， 假设存在正整数，使得，即， 可得， 由于，当且仅当且时，等号成立， 当时，，这与为正整数矛盾， 故，所以，，解得， 所以，若，则是间隔递减数列且的间隔数的最小值是，③对.故选：B. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知是定义域为的奇函数，且当时，，则 ． 【答案】 【解析】因为函数是定义域为的奇函数，且当时，， 则，故. 12．已知是第四象限角且，，则的值为 . 【答案】 【解析】因为是第四象限角且，所以，， 因为，所以， 则. 13．已知的内角的对边分别为，面积为，若，则 ． 【答案】 【解析】由，得， 又因为，所以， 由正弦定理得， 由，则，解得或， 因为，所以. 14．提丢斯—波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离（以AU为天文单位）．现将数列的各项乘以10后再减4得数列，可以发现从第3项起，每一项是前一项的2倍，则 ． 【答案】 【解析】由题意可知数列从第2项起，是以为首项，2为公比的等比数列. ，， ∴当时，， ∴，∴， 15．给定曲线为曲线，点为曲线上任一点，给出下列结论： ①； ②点在圆的内部； ③曲线关于原点对称，也关于直线对称； ④曲线至少经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 其中正确命题的序号为 ． 【答案】①③④ 【解析】对于①，由满足可得， 即可得，解得，即①正确； 对于②，由可得，解得； 所以，因此点不在圆的内部，即②错误； 对于③，将替换成，替换成，依然满足，所以曲线关于原点对称， 同理可得将互换，方程不变，所以曲线关于对称， 将替换成，替换成，依然满足，所以曲线关于对称，即③正确； 对于④，令，则可得，解得或，即过两个整数点； 同理令，则可得，解得或，即又过两个整数点； 再由对称性可知曲线还过点，可得④正确. 故答案为：①③④ 三、解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分）如图，在直三棱柱中，为的中点，. (1)证明：平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】（1）连接， ∵E为中点，为的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面； （2）以点C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量， 则，取，则， 设与平面所成角为， 则与平面所成角的正弦值为：． 17．（满分13分）已知函数在上单调.从以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在. ①；②的图像关于直线对称；③的最大值为. (1)求函数的单调增区间； (2)已知且，求的最小值. 注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)，;(2) 【解析】（1）因为， 若选①，则， 所以， 当时，，因为在上不单调，不符合题意，故舍去； 若选②的图像关于直线对称， 则，解得， 所以， 当时，，因为在上单调递减，符合题意， 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，； 若选③的最大值为，因为（其中） 所以，解得或； 当时，由①可知，不符合题意； 当时，由②可知，符合题意； 所以， 当时，，因为在上单调递减，符合题意， 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，； （2）由（1）可知， 则，令， 即，即， 即或， 当，则或， 解得或； 当，则或， 解得或； 因为且， 所以. 18．（满分14分）无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了个不同的路段作为测试样本，数据如下表： 测试 结果真实 路况 传感器1 传感器2 传感器3 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 无障碍 4 15 1 1 15 4 8 12 0 有障碍 40 10 10 45 5 10 45 10 5 假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立． (1)从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率； (2)从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器1和传感器2判断正确的总路段数，求的分布列和数学期望； (3)现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器．在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？（结论不要求证明） 【答案】(1)；(2)分布列见解析，；(3)答案见解析 【解析】（1）80个路段中，传感器1判断正确的路段有个． 设“传感器1对该路况判断正确”为事件，则. （2）80个路段中共有60个有障碍的路段．60个有障碍的路段中， 传感器1判断正确的路段有40个， 错误的有个，传感器2判断正确的路段有45个，判断错误的路段有个 的取值集合为． ， ， ， 故的分布列为 随机变量的数学期望 （3）可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于． 分析：共有20个无障碍地路段，传感器1判断无障碍的有15个， 由频率估计概率，故无障碍路段上，估计传感器1判断无障碍的概率为． 传感2判断无障碍的有15个，由频率估计概率，故无障碍路段上， 估计传感器2判断无障碍的概率为． 若传感器3在无障碍路段上，判断为无障碍的概率为1． 小汽车在无障碍的道路上减速的概率：． 故可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于． 19．（满分15分）已知椭圆经过点，其右焦点为. (1)求椭圆的离心率； (2)若点在椭圆上，右顶点为A，且满足直线与的斜率之积为，求证：直线PQ过定点. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）依题可得，，解得， 所以椭圆的方程为.所以离心率. （2）由（1）知，易知直线与的斜率存在且同号，所以直线不垂直于轴， 故可设， 由可得，， 所以， ，而，即， 化简可得， 即， 即， 化简得，所以或， 所以直线或， 因为直线不经过点A，所以直线经过定点. 20．（满分15分）已知函数（a为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析；(3). 【解析】（1）由题设，则， 则在上有，故在上是增函数，得证； （2）由题设，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以最小值为时，最大值为时； （3）由题设在上能成立，则， 对于，则在上恒成立， 故在上单调递增，且时，即在上恒成立， 所以在上能成立， 令且，则， 对于且，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当，，即在上恒成立， 在上恒成立，则在上单调递增，故， 所以. 21．（满分15分）现定义：若对于集合满足：对任意，都有，则称是可分比集合． (1)证明：是可分比集合； (2)设集合均为可分比集合，且，求正整数的最大值； (3)探究是否存在正整数，对于任意正整数，均存在可分比集合，使得．若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，的最小值为，理由见解析. 【解析】（1）当分子比分母小时，比值小于1，显然不在区间内， 当分子比分母大时，由于，，故是可分比集合． （2）解法一：一方面，取，则； 另一方面，若，不妨设，则，则， 此时，且，矛盾！综上所述，正整数的最大值为7. 解法二：，则， 又，即若，内的数均不属于， 若，则，则， 又，矛盾， 所以，当时，符合，所以． （3）存在，； 证明：要使最小，即满足每个集合内的个数尽可能多， 令， ， 令即可将分成了3个可分比集合， 先证明，将分成， ， 其中，， 由（2）可知当时不成立，所以. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考数学第三次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．的展开式中，常数项等于（    ） A．1 B．15 C． D．1 4．已知圆与直线相切，则（    ） A．2 B． C． D． 5．已知，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若函数的两个零点分别为和，则（    ） A． B． C． D． 7．点F抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 8．著名数学家､物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.若常数，空气温度为，某物体的温度从下降到，大约需要的时间为（    ）（参考数据：） A．16分钟 B．18分钟 C．20分钟 D．22分钟 9．风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年级学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为AB的中点，四边形EFDC为矩形，且，，，当时，多面体ABCEF的体积为（    ） A． B． C． D． 10．设是无穷数列，若存在正整数使得对任意，均有，则称是间隔递减数列，其中称为数列的间隔数．给出下列三个结论： ①若，则是间隔递减数列； ②若，则是间隔递减数列； ③若，则是间隔递减数列且的间隔数的最小值是． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知是定义域为的奇函数，且当时，，则 ． 12．已知是第四象限角且，，则的值为 . 13．已知的内角的对边分别为，面积为，若，则 ． 14．提丢斯—波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离（以AU为天文单位）．现将数列的各项乘以10后再减4得数列，可以发现从第3项起，每一项是前一项的2倍，则 ． 15．给定曲线为曲线，点为曲线上任一点，给出下列结论： ①； ②点在圆的内部； ③曲线关于原点对称，也关于直线对称； ④曲线至少经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）． 其中正确命题的序号为 ． 三、解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分）如图，在直三棱柱中，为的中点，. (1)证明：平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．（满分13分）已知函数在上单调.从以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在. ①；②的图像关于直线对称；③的最大值为. (1)求函数的单调增区间； (2)已知且，求的最小值. 注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18．（满分14分）无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了个不同的路段作为测试样本，数据如下表： 测试 结果真实 路况 传感器1 传感器2 传感器3 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 无障碍 4 15 1 1 15 4 8 12 0 有障碍 40 10 10 45 5 10 45 10 5 假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立． (1)从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率； (2)从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器1和传感器2判断正确的总路段数，求的分布列和数学期望； (3)现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器．在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？（结论不要求证明） 19．（满分15分）已知椭圆经过点，其右焦点为. (1)求椭圆的离心率； (2)若点在椭圆上，右顶点为A，且满足直线与的斜率之积为，求证：直线PQ过定点. 20．（满分15分）已知函数（a为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 21．（满分15分）现定义：若对于集合满足：对任意，都有，则称是可分比集合． (1)证明：是可分比集合； (2)设集合均为可分比集合，且，求正整数的最大值； (3)探究是否存在正整数，对于任意正整数，均存在可分比集合，使得．若存在，求的最小值；若不存在，说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考数学第三次模拟考试 高三数学·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D B D A A C D A B 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11． 12． 13． 14． 15．①③④ 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（满分13分） 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）连接， ∵E为中点，为的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面；.....................5分 （2）以点C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量， 则，取，则， 设与平面所成角为， 则与平面所成角的正弦值为：．.....................13分 17．（满分13分） 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）因为， 若选①，则， 所以， 当时，，因为在上不单调，不符合题意，故舍去； 若选②的图像关于直线对称， 则，解得， 所以， 当时，，因为在上单调递减，符合题意， 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，； 若选③的最大值为，因为（其中） 所以，解得或； 当时，由①可知，不符合题意； 当时，由②可知，符合题意； 所以， 当时，，因为在上单调递减，符合题意， 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，；.....................6分 （2）由（1）可知，则， 令，即，即， 即或， 当，则或， 解得或； 当，则或， 解得或； 因为且， 所以......................13分 18．（满分14分） 【答案】(1)；(2)分布列见解析，；(3)答案见解析 【解析】（1）80个路段中，传感器1判断正确的路段有个． 设“传感器1对该路况判断正确”为事件，则......................3分 （2）80个路段中共有60个有障碍的路段．60个有障碍的路段中， 传感器1判断正确的路段有40个， 错误的有个，传感器2判断正确的路段有45个，判断错误的路段有个 的取值集合为． ， ， ， 故的分布列为 随机变量的数学期望.....................8分 （3）可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于． 分析：共有20个无障碍地路段，传感器1判断无障碍的有15个， 由频率估计概率，故无障碍路段上，估计传感器1判断无障碍的概率为． 传感2判断无障碍的有15个，由频率估计概率，故无障碍路段上， 估计传感器2判断无障碍的概率为． 若传感器3在无障碍路段上，判断为无障碍的概率为1． 小汽车在无障碍的道路上减速的概率：． 故可以通过提高传感器3的判断正确率， 使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于．.....................14分 19．（满分15分） 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）依题可得，，解得， 所以椭圆的方程为.所以离心率......................4分 （2）由（1）知，易知直线与的斜率存在且同号，所以直线不垂直于轴， 故可设， 由可得，， 所以， ，而，即， 化简可得， 即， 即， 化简得，所以或， 所以直线或， 因为直线不经过点A，所以直线经过定点......................13分 20．（满分15分） 【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析；(3). 【解析】（1）由题设，则， 则在上有，故在上是增函数，得证；.....................4分 （2）由题设，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以最小值为时，最大值为时；.....................9分 （3）由题设在上能成立，则， 对于，则在上恒成立， 故在上单调递增，且时，即在上恒成立， 所以在上能成立， 令且，则， 对于且，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当，，即在上恒成立， 在上恒成立，则在上单调递增，故， 所以......................15分 21．（满分15分） 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，的最小值为，理由见解析. 【解析】（1）当分子比分母小时，比值小于1，显然不在区间内， 当分子比分母大时，由于，，故是可分比集合．.....................4分 （2）解法一：一方面，取，则； 另一方面，若，不妨设，则，则， 此时，且，矛盾！综上所述，正整数的最大值为7. 解法二：，则， 又，即若，内的数均不属于， 若，则，则， 又，矛盾， 所以，当时，符合，所以．.....................9分 （3）存在，； 证明：要使最小，即满足每个集合内的个数尽可能多， 令， ， 令即可将分成了3个可分比集合， 先证明，将分成， ， 其中，， 由（2）可知当时不成立，所以......................15分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年高考数学第三次模拟考试 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$