精品解析：北京市大兴精华学校2025-2026学年高三下学期5月高考适应性测试数学试卷

北京市大兴精华学校2025-2026学年高三下学期5月高考适应性测试 数学试卷 2026.05 本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，， 所以． 2. 已知i是虚数单位，，已知是复数的共轭复数，则下列结论错误的是（ ） A. B. 为纯虚数 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 对于A，，A正确； 对于B，，当时，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，所以，D正确. 3. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】已知， 则原式可化为：. 4. 双曲线与双曲线的（ ） A. 顶点相同 B. 焦点相同 C. 虚轴长相等 D. 离心率相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质判断即可. 【详解】因为为双曲线，所以，解得. 此时，双曲线方程可改写为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于，分别记，，，焦点在轴上，焦点为. 对于A，第一个双曲线顶点为，第二个双曲线顶点为，只有当时，顶点相同，A错误. 对于B，两者焦点均为，B正确. 对于C，第一个双曲线虚轴长为，第二个双曲线虚轴长为2，只有当时，虚轴长相等，C错误. 对于D，第一个双曲线离心率为，第二个双曲线离心率为，只有当时，离心率相等，D错误. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性，对同时取对数比较其大小. 【详解】已知，同时取对数得： ，， 又，且函数在区间单调递增，因此， 可得：，即，故. 6. 函数在区间上的大致图象不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的对称性可得函数的奇偶性，从而确定参数的值，再判断即可. 【详解】选项A，B中函数图象关于原点对称，则对应的为奇函数， 令，则为偶函数， 即，即， 所以，解得， 当时，，符合A项， 当时，，符合B项； 选项C，D中函数图象关于轴对称，则对应的为偶函数， 令，则为奇函数， 即，即， 所以，此时，当时，，故D符合，故C不符合. 7. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，冬至、小寒、大寒三个节气日影长之和为28.5尺，立春、雨水、惊蛰三个节气日影长之和为19.5尺，今年5月21日8时36分为小满时节，其日影长为（ ） A. 3.5尺 B. 2.5尺 C. 1.5尺 D. 0.5尺 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列前项和，等差数列通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 则由题意知，解得， 所以，即小满时节，其日影长为尺. 8. 设函数，则“”是“的图象关于轴对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】函数图象关于轴对称，等价于该函数是偶函数．先根据求出参数应满足的条件，再判断两个命题之间的推出关系； 【详解】函数的图象关于轴对称，当且仅当对任意，都有 即 展开得即 上式对任意恒成立，则得，则有． 反过来，当该式成立时，，上述等式也恒成立，因此这是图象关于轴对称的充要条件． 若的图象关于轴对称，则． 所以“”是“的图象关于轴对称”的必要条件． 反之，若取，有，此时，显然其图象不关于轴对称，故充分性不成立. 综上，“”是“的图象关于轴对称”的必要不充分条件． 9. 已知和都是定义在上的奇函数，设，则（ ） A. 不可能是增函数 B. 不可能是偶函数 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，可判断A，C；设，，可判断B；分，，可判断D. 【详解】设，，则， 所以在上单调递增，且，故A，C错误； 设，，则，此时为偶函数，故B错误； 对于D：对任意， 若，则，即. 由题意可知， 所以，， 所以， . 所以； 若，上式也成立，故D正确. 故选：D 10. 若点关于动直线：的对称点为N，O为坐标原点.给出下面3个结论：①的取值范围是；②当时，符合条件的点有且只有一个；③当取到最大值时，.其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线所过定点，根据对称性得到，进而得到点的轨迹方程，结合向量数量积的坐标表示、圆与圆的位置关系及圆上的点到定点距离的最值求解判断即可. 【详解】由，得，所以直线恒过点. 点关于动直线的对称点为，则直线是线段的垂直平分线，所以. 设，则， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，轨迹方程为. ①，，则. 由圆的方程可知，的范围为， 所以的取值范围是，①正确. ②当时，即，表示以原点为圆心，以为半径的圆， 联立，解得或，即或. 当时，，直线的方程为，存在； 当时，，直线的方程为，存在； 故当时，符合条件的点有2个，②错误. ③当取到最大值时，，此时在延长线上，坐标为. 此时的中点为，， 所以，即，解得，③正确. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 的展开式中的系数为_____________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】展开式的通项为， 令，解得， 则的系数为. 12. 已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则的面积为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】先利用抛物线得到焦点坐标，再通过抛物线的定义得到点的横坐标，进而求出纵坐标，最后利用三角形的面积公式算出答案 【详解】由可得焦点坐标为， 所以代入抛物线可得,因此的面积为 故答案为：2 13. 函数的最大值是_____________，取最大值时，____________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】先根据辅助角公式化简，再根据正弦函数的值域即可求出的最大值，此时得到的值，再根据同角三角函数的关系，及诱导公式求出取最大值时的值． 【详解】由，，， 又，所以函数的最大值是， 此时，则，， 即，， 所以取最大值时，． 14. 中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体上下底面平行，且均为扇环形．现有一个如图所示的曲池，其中，，，是柱体的高，底面扇环所对的圆心角为，的长度为的长度的2倍，，，则该曲池的体积为__________；表面积为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】“曲池”的体积可以利用柱体的体积公式，利用底面积乘高进行计算；侧面可以利用曲边矩形的面积计算方法计算出面积，将所有面面积相加即可计算表面积． 【详解】根据弧长公式可知，，， 因为的长度为的长度的2倍，故，可得：； 因为，解得， 根据扇环面积公式可计算“曲池”的底面的面积：， 则； 因为，则的面积为； ，则的面积为； 侧面与的面积为； 两底面面积为：， 故表面积为 15. 已知正项数列满足：，数列的前项和.给出下列四个结论：①当时，；②当时，数列单调递增；③当时，；④当时，，都有成立.其中正确结论的序号是______________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】对于①，根据已知条件求出，，进而求出，再比较与的大小；对于②，通过作差法判断与的大小关系，从而确定数列的单调性；对于③，利用放缩法结合已知条件得到的范围，进而求出的范围；对于④，举反例可说明. 【详解】当时，由可得， 因为数列是正项数列，所以， 则，所以， 那么，， 因为，所以，故①正确； 已知，（）， 两式相减得：， 即， 因为数列是正项数列，所以，那么与同号. 当时，，所以，则， 所以，即，数列单调递减，故②错误； 若，则，，故， 则时，故， 得到，故③正确； 当时，当，， ，，则，故④错误. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，. （1）证明：为等腰三角形； （2）若AC边上的高与BC边上的高之比为1:3，求. 【答案】（1）因为，所以， 所以， 所以，即， 又因为，所以， 所以，即， 所以为等腰三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）将写成并展开，与已知等式相减得，推出； （2）由面积公式得高之比等于对应底边之比的倒数，从而得到边长关系，再利用余弦定理求 . 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 设AC边上的高为边上的高为，则， 因为，所以， 所以， 由余弦定理可知. 17. 在三棱锥中，.点在棱PB上，点为BC中点. （1）若点为PB中点，平面平面，证明：； （2）若点满足，从下列条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件，使得三棱锥存在且唯一，求平面AEF与平面PAC所成夹角的余弦值.条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）分别是PB，BC的中点， ， 平面平面PAC， 平面PAC， 平面AEF，平面平面， ； （2）条件②：；条件③： 【解析】 【分析】（1）通过线面平行的性质定理证明线线平行；（2）选条件②，建立空间直角坐标系，利用向量法求解平面AEF与平面PAC所成夹角的余弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 选条件②： . , ,平面ABC, 平面ABC ， 在平面ABC内，过作，则AB，AH，PA两两垂直； 如图，以为原点，AH为轴，AB为轴，AP为轴，建立空间直角坐标系， 则 ，由于为BC中点，故， 设平面AEF的法向量 所以，即， 令，则，故， 设平面PAC的法向量 所以，即. 令，则，故， 设平面AEF与平面PAC所成的角为， 则. ∴平面AEF与平面PAC所成夹角的余弦值为. 选条件③： . , ,平面ABC, 平面ABC 在平面ABC内，过作，则AB，AH，PA两两垂直： 如图，以为原点，AH为轴，AB为轴，AP为轴， 建立空间直角坐标系，后续解法同②. 不能选条件① . , ,平面ABC, 平面ABC 在平面ABC内，过作，则AB，AH，PA两两垂直； 如图，以为原点，AH为轴，AB为轴，AP为轴，建立空间直角坐标系， 则设,则 ，由于为BC中点，故, 因为，所以，所以 ，化简得， 但，所以上面方程无解，所以条件①无法保证三棱锥存在且唯一，不符合题目要求. 18. 某公司运营慢充、快充、超级快充三种不同充电方式的电动汽车充电桩（每个充电桩只支持一种充电方式）.该公司为了解其运营的所有电动汽车充电桩的使用情况，从中随机抽取1000个，记录并整理数据如下表： 不超过5次 超过5次 慢充 140 60 快充 200 400 超级快充 60 140 （1）从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取1个，估计该充电桩日均使用超过5次的概率； （2）假设该公司运营的每个慢充、快充、超级快充充电桩的日均维护费用分别为10元、10元、20元.从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取3个，设为抽取的3个充电桩的日均维护费用之和，求的分布列和数学期望； （3）电动汽车充电桩按服务对象与开放属性分为公用充电桩和专用充电桩两种.已知该公司运营的所有快充充电桩中，公用和专用充电桩数量之比为7:3.在日均使用不超过5次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为；在日均使用超过5次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为0.7.试比较与0.7的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） 30 40 50 60 P （3） 【解析】 【分析】（1）先统计样本中日均使用超过5次的充电桩总数，因为用频率估计概率，所以用该总数除以样本容量1000即可得到估计的概率； （2）确定抽取3个充电桩时X的所有可能取值，根据独立重复试验的概率公式计算每个取值对应的概率，得到分布列，最后用期望公式计，即可得答案； （3）先明确快充充电桩中公用充电桩的整体占比，结合日均使用不超过5次和超过5次的快充充电桩的数量，根据整体公用占比的关系，即可比较a和0.7的大小。 【小问1详解】 随机抽取1000个充电桩中，日均使用次数超过5次的有：个， 设事件：“从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取1个， 估计该充电桩日均使用超过5次”，则. 【小问2详解】 设事件：“从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取1个，其所需维护费用为10元”， 依题意可得，， 随机变量的可能取值为， ，， ，. 所以随机变量的分布列如下表所示： 30 40 50 60 P 故. 【小问3详解】 快充充电桩共600个，公用和专用充电桩数量之比为7：3， 故公用充电桩的总个数为，日均使用超过5次的快充充电桩的个数为400个，其中公用占比为0.7， 故公用充电桩的个数为，日均使用不超过5次的快充充电桩的个数为200个， 设公用占比为，则公用充电桩的个数为200a， 由题意可得，解得，故. 19. 已知椭圆的离心率为，以椭圆两个焦点与短轴的两个端点为顶点构成的四边形的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线与椭圆相切于点，且直线斜率大于0，过线段PQ的中点作直线交椭圆于A，B两点（点A，B不在轴上），连结PA，PB，分别与椭圆交于点M，N，记的面积分别为，比较与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1） （2）；理由如下： 设切线PQ的方程为， ， 由，消去y得①， 则， 解得或（舍去），将代入①得， ，解得，则， 所以，又为PQ中点，则， 因为斜率都存在，不妨设，， 则的方程为，联立得， 得，所以 ， 则，同理，， 则， 又R，A，B三点共线，则,即， 即得， 化简得， 所以， 所以，所以，则到直线的距离相等，设为d， 则，所以. 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及椭圆两个焦点与短轴的端点为顶点构成的四边形的面积列出等式即可求解； （2）设出相关直线与相关点的坐标，直线与椭圆联立，点的坐标配合斜率公式化简，再运用韦达理化简可证明，再结合三角形面积公式即可得结论. 【小问1详解】 由题意可知，解得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 略 20. 已知函数. （1）若曲线与直线相切于点，求a，b的值； （2）若关于的方程有两个不同的解， （i）直接写出的取值范围，并求证：； （ii）判断与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1） （2）（i）； 因为的方程有两个不同的解， 所以，且， 所以， 所以. 因为，所以， 所以； （ii），理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）（i）由的方程有两个不同的解，得到，且，通过计算得到结论；（ii）构造函数，利用导数法得到在上单调递增，从而得到当时有，不妨设，则，从而得到，通过计算得到 . 【小问1详解】 因为，所以， 因为曲线与直线相切于点， 所以，所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 （i）略； （ii）；令， 则，则时，有. 即在上单调递增， 故时，有， 不妨设，则， 则，即，即， 即，又，即， 即：. 21. 给定整数，由元实数集合定义其相伴数集且，如果，则称集合为一个元规范数集，并定义的范数为其中所有元素绝对值之和. （1）判断是不是规范数集；（结论不要求说明理由） （2）任取一个元规范数集，求证：； （3）当取遍所有2026元规范数集时，求范数的最小值. 注：分别表示数集中的最小数与最大数. 【答案】（1）集合不是，集合是 （2）不妨设集合中的元素为，即， 因为为规范数集，则， 则，且，使得， 当时， ， 当且仅当且时，等号成立； 当时， . 当且仅当且时，等号成立； 当时， . 当且仅当时，等号成立； 综上所述：. （3） 【解析】 【分析】（1）根据规范数集的定义，只需判断集合中的元素两两相减的差的绝对值，是否都大于等于1即可； （2）利用元规范数集的定义，得到，从而分、与讨论，结合去绝对值的方法即可证明； （3）利用规范数集的性质与（2）中结论即可得解. 【小问1详解】 集合不是，集合是； 对于集合，，所以集合A不是规范数集； 对于集合，因为，，，，，，， 所以B相伴数集，即，故集合B是规范数集. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设，因为为规范数集， 所以，且，使得. 对于，同样有. 由（2）得. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以. 所以范数. 所以范数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市大兴精华学校2025-2026学年高三下学期5月高考适应性测试 数学试卷 2026.05 本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知i是虚数单位，，已知是复数的共轭复数，则下列结论错误的是（ ） A. B. 为纯虚数 C. D. 3. 已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 4. 双曲线与双曲线的（ ） A. 顶点相同 B. 焦点相同 C. 虚轴长相等 D. 离心率相等 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数在区间上的大致图象不可能为（ ） A. B. C. D. 7. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，冬至、小寒、大寒三个节气日影长之和为28.5尺，立春、雨水、惊蛰三个节气日影长之和为19.5尺，今年5月21日8时36分为小满时节，其日影长为（ ） A. 3.5尺 B. 2.5尺 C. 1.5尺 D. 0.5尺 8. 设函数，则“”是“的图象关于轴对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知和都是定义在上的奇函数，设，则（ ） A. 不可能是增函数 B. 不可能是偶函数 C. D. 10. 若点关于动直线：的对称点为N，O为坐标原点.给出下面3个结论：①的取值范围是；②当时，符合条件的点有且只有一个；③当取到最大值时，.其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 的展开式中的系数为_____________.（用数字作答） 12. 已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则的面积为__________. 13. 函数的最大值是_____________，取最大值时，____________． 14. 中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体上下底面平行，且均为扇环形．现有一个如图所示的曲池，其中，，，是柱体的高，底面扇环所对的圆心角为，的长度为的长度的2倍，，，则该曲池的体积为__________；表面积为__________． 15. 已知正项数列满足：，数列的前项和.给出下列四个结论：①当时，；②当时，数列单调递增；③当时，；④当时，，都有成立.其中正确结论的序号是______________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，. （1）证明：为等腰三角形； （2）若AC边上的高与BC边上的高之比为1:3，求. 17. 在三棱锥中，.点在棱PB上，点为BC中点. （1）若点为PB中点，平面平面，证明：； （2）若点满足，从下列条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件，使得三棱锥存在且唯一，求平面AEF与平面PAC所成夹角的余弦值.条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 某公司运营慢充、快充、超级快充三种不同充电方式的电动汽车充电桩（每个充电桩只支持一种充电方式）.该公司为了解其运营的所有电动汽车充电桩的使用情况，从中随机抽取1000个，记录并整理数据如下表： 不超过5次 超过5次 慢充 140 60 快充 200 400 超级快充 60 140 （1）从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取1个，估计该充电桩日均使用超过5次的概率； （2）假设该公司运营的每个慢充、快充、超级快充充电桩的日均维护费用分别为10元、10元、20元.从该公司运营的所有电动汽车充电桩中随机抽取3个，设为抽取的3个充电桩的日均维护费用之和，求的分布列和数学期望； （3）电动汽车充电桩按服务对象与开放属性分为公用充电桩和专用充电桩两种.已知该公司运营的所有快充充电桩中，公用和专用充电桩数量之比为7:3.在日均使用不超过5次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为；在日均使用超过5次的快充充电桩中，公用充电桩的占比为0.7.试比较与0.7的大小.（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的离心率为，以椭圆两个焦点与短轴的两个端点为顶点构成的四边形的面积为. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线与椭圆相切于点，且直线斜率大于0，过线段PQ的中点作直线交椭圆于A，B两点（点A，B不在轴上），连结PA，PB，分别与椭圆交于点M，N，记的面积分别为，比较与的大小关系，并说明理由. 20. 已知函数. （1）若曲线与直线相切于点，求a，b的值； （2）若关于的方程有两个不同的解， （i）直接写出的取值范围，并求证：； （ii）判断与的大小关系，并说明理由. 21. 给定整数，由元实数集合定义其相伴数集且，如果，则称集合为一个元规范数集，并定义的范数为其中所有元素绝对值之和. （1）判断是不是规范数集；（结论不要求说明理由） （2）任取一个元规范数集，求证：； （3）当取遍所有2026元规范数集时，求范数的最小值. 注：分别表示数集中的最小数与最大数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $