第七讲立体图形（讲义）-2024-2025学年六年级下册数学苏教版

小升初专题 六年级·苏教版 第七讲：立体图形 知识梳理 长方体 1特征 六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。 相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。 有8个顶点。 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。 两个面相交的边叫做棱。 三条棱相交的点叫做顶点。 把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。 长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2 计算公式 s=2(ab+ah+bh) V=sh V=abh 正方体 1特征 六个面都是正方形 六个面的面积相等 12条棱，棱长都相等 有8个顶点 正方体可以看作特殊的长方体 2计算公式 S表=6a² v=a³ 圆柱 圆柱的认识 圆柱的上下两个面叫做底面。 圆柱有一个曲面叫做侧面。 圆柱两个底面之间的距离叫做高 。 进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些 ，因此，要保留数的时候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。 2计算公式 s侧=ch s表=s侧+s底×2 v=sh÷3 圆锥 1 圆锥的认识 圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。 从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。 把圆锥的侧面展开得到一个扇形。 2计算公式 v= sh÷3 典型例题 典型例题一：长方体和正方体图形计算 1．计算下列图形的表面积和体积。 【答案】表面积1036cm2；体积1512cm3 【分析】观察图形可知，正方体与长方体有重合的部分，把正方体的上面向下平移，补给长方体的上面；这样长方体的表面积是6个面的面积之和，而正方体只需计算4个面（前后面和左右面）的面积；所以组合图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体4个面的面积＝棱长×棱长×4，代入数据计算即可。 组合图形的体积＝长方体的体积＋正方体的体积，根据长方体的体积V＝abh，正方体的体积V＝a3，代入数据计算即可。 【详解】长方体的表面积： （25×10＋25×4＋10×4）×2 ＝（250＋100＋40）×2 ＝390×2 ＝780（cm2） 正方体4个面的面积： 8×8×4 ＝64×4 ＝256（cm2） 一共：780＋256＝1036（cm2） 图形的表面积是1036cm2。 25×10×4＋8×8×8 ＝1000＋512 ＝1512（cm3） 图形的体积是1512cm3。 2．求下面几何体的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】表面积110平方厘米；体积60立方厘米 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，几何体的表面积＝正方体的表面积－长方体上下底面的面积＋长方体4个侧面的面积；长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，几何体的体积＝正方体的体积－长方体的体积，据此解答。 【详解】4×4×6－1×1×2＋1×4×4 ＝96－2＋16 ＝110（平方厘米） 4×4×4－1×1×4 ＝64－4 ＝60（立方厘米） 所以，几何体的表面积是110平方厘米，体积是60立方厘米。 典型例题二：圆柱和圆锥图形计算 1．求体积。（单位：分米） 【答案】75.36立方分米 【分析】由图可知，此图形是由一个底面直径是4分米、高是6分米的圆柱和一个底面半径是4分米、高是3分米的圆锥组成的图形，根据圆柱的体积＝和圆锥的体积＝，把数据代入公式即可求解。 【详解】3.14××5＋ ＝3.14×4×5＋3.14×4 ＝62.8＋12.56 ＝75.36（立方分米） 答：这个图形的体积是75.36立方分米。 2．如图所示，有一个立体图形，其底面圆的半径是3厘米，两个高分别为6厘米、8厘米。求出该立体图形的体积。 【答案】197.82立方厘米 【分析】这个立体图形是由高6厘米的圆柱和高（8－6）厘米的圆柱体积的一半组成，圆柱体积＝底面积×高，据此列式计算。 【详解】3.14×32×6＋3.14×32×（8－6）÷2 ＝3.14×9×6＋3.14×9×2÷2 ＝169.56＋28.26 ＝197.82（立方厘米） 该立体图形的体积是197.82立方厘米。 典型例题三：长方体和正方体综合应用 1．李大伯在自己家院里砌了一个水池。从里面测量的深度是7分米，池壁的厚度是12厘米。 （1）这个水池能盛1立方米的水吗？ （2）李大伯要把水池里面的侧壁和底面抹上水泥。如果每平方米用6千克水泥，那么一共需要多少千克水泥？ 【答案】（1）能 （2）30千克 【分析】（1）根据题意，12厘米＝1.2分米，用17.4分米减去两边的宽度，即为水池内部的长，用12.4分米减去两边的宽度，即为水池内部的宽，再结合长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据计算求出这个水池的体积，再比较即可； （2）根据题意，结合长方体的表面积公式，分别求出各个面的面积相加，再换算单位，乘上6即可。 【详解】（1）12厘米＝1.2分米 （17.4－1.2×2）×（12.4－1.2×2）×7 ＝（17.4－2.4）×（12.4－2.4）×7 ＝15×10×7 ＝150×7 ＝1050（立方分米） 1050立方分米＝1.05立方米 1.05立方米＞1立方米 答：这个水池能盛1立方米的水。 （2）（17.4－1.2×2）×7×2 ＝（17.4－2.4）×7×2 ＝15×7×2 ＝105×2 ＝210（平方分米） （12.4－1.2×2）×7×2 ＝（12.4－2.4）×7×2 ＝10×7×2 ＝70×2 ＝140（平方分米） （17.4－1.2×2）×（12.4－1.2×2） ＝（17.4－2.4）×（12.4－2.4） ＝15×10 ＝150（平方分米） 210＋140＋150 ＝350＋150 ＝500（平方分米） 500平方分米＝5平方米 5×6＝30（千克） 答：一个需要30千克水泥。 2．用下面这块长方形铁板制成一个无盖的长方体水槽。（铁板的厚度忽略不计） （1）制作这个水槽实际需要铁板多少平方分米？ （2）水槽的容积是多少升？ 【答案】（1）5平方分米； （2）1升 【分析】（1）根据题意，用一块长方形铁板制成一个无盖的长方体水槽，水槽的深度为5厘米，即在长方形的四个角上各挖掉一个边长为5厘米的小正方形，那么制作这个水槽实际需要铁板的面积＝长方形的面积－4个小正方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算求解。 （2）求水槽的容积，就是求这个无盖的长方体水槽的体积，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据计算求解。 注意单位的换算：1平方分米＝100平方厘米，1升＝1000毫升，1立方厘米＝1毫升。 【详解】（1）30×20－5×5×4 ＝600－100 ＝500（平方厘米） 500平方厘米＝5平方分米 答：制作这个水槽实际需要铁板5平方分米。 （2）（30－5×2）×（20－5×2）×5 ＝20×10×5 ＝200×5 ＝1000（立方厘米） 1000立方厘米＝1000毫升＝1升 答：水槽的容积是1升。 典型例题四：圆柱的表面积 1．如图，淘气想要用一张长方形的纸作侧面围成一个圆柱，请你帮助他从下面选择一组适合的圆作底面。 （1）我选择的是直径为（    ）厘米的圆做底面。 （2）这个圆柱的表面积是多少？ 【答案】（1）6 （2）244.92平方厘米 【分析】（1）圆柱的侧面展开图是个长方形，一条边是圆柱的高，一条边是圆柱的底面圆的周长。若以18.84厘米为底面圆的周长，圆柱的高就是10厘米；若以10厘米为底面圆的周长，圆柱的高就是18.84厘米。据此解答。 （2）根据（1）的选择，应用“圆柱的表面积＝底面面积×2＋侧面积”计算表面积。 【详解】（1）以18.84厘米为底面圆的周长，直径为18.84÷3.14＝6（厘米）； 以10厘米为底面圆的周长，直径为10÷3.14≈3.18（厘米）； 结合给出的三个直径，我选择的是直径为6厘米的圆做底面。 （2）3.14×（6÷2）2×2＋18.84×10 ＝3.14×32×2＋188.4 ＝3.14×9×2＋188.4 ＝56.52＋188.4 ＝244.92（平方厘米） 答：这个圆柱的表面积是244.92平方厘米。 2．古语有云：“孝子之至，莫大乎尊亲。”受学校“孝亲敬老”德育实践活动的感召，小明给妈妈买了一个生日蛋糕，蛋糕包装盒的底面直径20厘米，高15厘米。用丝带按如图捆扎蛋糕盒，打蝴蝶结用了28厘米的丝带。 （1）这条丝带至少长多少厘米？ （2）这个蛋糕盒至少用多大的硬纸板？ （3）制作一个生日蛋糕需要用到牛奶和面粉。牛奶和面粉的比1∶6。现在有200克牛奶，需要面粉多少克？（用比例解答） 【答案】（1）168厘米 （2）1570平方厘米 （3）1200克 【分析】（1）观察图形可知，丝带的长度＝4条底面直径＋4条高＋蝴蝶结用的长度，据此代入数据计算即可解答。 （2）求需要多大的硬纸板就是求圆柱形蛋糕的表面积。圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，圆柱的底面积＝πr2，圆柱的侧面积＝底面周长×高，据此解答。 （3）设需要面粉x克，牛奶和面粉的比是1∶6，据此可列出比例：200∶x＝1∶6，根据比例的基本性质解出比例即可解答。 【详解】（1）20×4＋15×4＋28 ＝80＋60＋28 ＝168（厘米） 答：这条丝带至少长168厘米。 （2）3.14×（20÷2）2×2＋3.14×20×15 ＝3.14×102×2＋942 ＝3.14×100×2＋942 ＝628＋942 ＝1570（平方厘米） 答：这个蛋糕盒至少用1570平方厘米的硬纸板。 （3）解：设需要面粉x克。 200∶x＝1∶6 x＝200×6 x＝1200 答：需要面粉1200克。 典型例题五：圆柱与圆锥的体积 1．一个圆柱和一个圆锥的体积之比是8∶3，圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍。若圆锥的高是36厘米，则圆柱的高是多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，已知一个圆柱和一个圆锥的体积之比是8∶3，圆柱底面半径是圆锥底面半径的2倍，又知道圆锥的高是36厘米，求圆柱的高是多少厘米。根据它们的体积公式，设圆锥的底面半径为r，则圆柱的底面半径为2r，圆柱的高为h，根据比的意义解答。 【详解】解：设圆锥的底面半径为r，则圆柱的底面半径为2r，圆柱的高为h， 由题意得：圆柱的体积∶圆锥的体积＝8∶3； [π×（2r）2×h]∶[πr2×36]＝8∶3 [π×4r2×h]∶[πr2×12]＝8∶3 [4πr2×h]∶12πr2＝8∶3 4πr2h∶12πr2＝8∶3 h∶3＝8∶3 3h＝3×8 3h＝24 3h÷3＝24÷3 h＝8 答：圆柱的高是8厘米。 【点睛】此题主要根据圆柱和圆锥的体积计算方法以及运用等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系解决问题。 2．有一种陀螺（如下图），上面是一个圆柱，下面是一个圆锥。经过测试，当圆柱的体积是圆锥体积比是4∶1时，陀螺会旋转得又稳又快。已知圆锥的底面直径是4厘米，高是3厘米。请你算一算，圆柱的高是多少时能使陀螺转得又快又稳？ 【答案】4厘米 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出圆锥的体积，圆柱的体积是圆锥体积的4倍，把数据代入公式求出圆柱的体积，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，那么h＝V÷πr2，把数据代入公式解答。 【详解】×3.14×（4÷2）2×3×4÷[3.14×（4÷2）2] ＝×3.14×（4÷2）2×3×4÷[3.14×4] ＝×3.14×4×3×4÷[3.14×4] ＝×12.56×3×4÷12.56 ＝×37.68×4÷12.56 ＝12.56×4÷12.56 ＝50.24÷12.56 ＝4（厘米） 答：圆柱的高是4厘米时能使陀螺转得又快又稳。 【点睛】此题主要考查圆锥、圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 跟踪训练 一、选择题 1．观察图中的长方体，x、y、z分别表示长方体的长、宽、高，（    ）的面积∶（    ）的面积＝x∶z。 A．上面；左面 B．左面；前面 C．前面；左面 D．后面；左面 2．下图是一个立体图形从正面、右面看到的形状。要搭成这样的立体图形，最多可以用（    ）个小方体。 A．6 B．7 C．8 D．9 3．如图所示，把一个高10cm的圆柱切分成若干等份，拼成一个近似的长方体后，表面积增加了60cm2，圆柱的体积是（    ）cm3。 A．282.6 B．600 C．113.04 D．28.26 4．将下图的直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，得到的图形的体积是（    ）立方厘米。 A．144π B．128π C．76.8π D．无法计算 5．用5个同样大小的正方体木块拼成一个立体图，从右面和正面看到的形状完全一样的是（    ）幅图形。 A． B． C． D． 6．如图，用棱长相等的两块正方体木料A、B分别加工1个和4个圆柱，剩下的木料体积相比，（    ）。 A．A大 B．B大 C．一样大 D．无法确定 二、填空题 7．如图，由棱长是3和5的两个正方体搭成的图形，它的表面积是( )，体积是( )。 8．圆锥的体积是圆柱的体积的2倍，它们的底面积相等，圆锥和圆柱的高的比是( )。 9．如图用了( )个小正方体，在此摆放的基础上继续摆一个大正方体，至少还要( )个小正方体。 10．在一个无盖的长方体玻璃容器内摆棱长为1厘米的小正方体（如图），一层可以摆( )个，一共可以摆( )个，做这个容器需要玻璃( )平方厘米。（玻璃厚度忽略不计） 11．把一个圆柱形木料（如下图）加工成一个最大的圆锥，圆锥的体积是这块木料体积的( )，是削去废料体积的( )。 12．12个棱长的正方体，如图继续拼下去，拼成的新长方体，表面积减少了( )。 13．有小中大三个正方体水池，从里面测量它们的边长分别是2米、3米、6米，把两堆沙分别倒入小、中号水池，水面分别上升了4厘米、6厘米，如果把两堆沙都倒入大号水池，大号水池水面上升( )厘米。 14．一个圆锥形铁块的体积是200立方厘米，比与它等底等高的圆柱的体积少( )%（百分号前面保留一位小数），把它熔成一个正方体，这个正方体的体积是( )立方厘米。 三、判断题 15．圆柱的底面是两个圆。( ) 16．一个体积是1立方米的物体，它的占地面积是1平方米。( ) 17．圆柱体的侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面的周长，宽等于圆柱的高。( ) 18．若一个水箱的体积是25立方分米，那么它一定能装25升的水。( ) 19．如图是两个圆柱模型表面展示图。（单位：厘米）则A圆柱的体积大。( ) 四、计算题 20．计算下面图形的表面积或体积（单位：厘米）。 21．一个底面是边长为2厘米的正方形的长方体被截去一段，求下图形体的体积。 22．求下面图形的表面积和体积（单位：厘米）。（π取3.14） 五、解答题 23． （1）做上面两个无盖鱼缸，至少各需要多少平方厘米玻璃？ （2）哪个鱼缸盛水多？先猜一猜，再计算多了多少升。 24．学校用的自来水管内直径是20毫米，自来水的流速是每秒8分米。如果你忘记关上水龙头，40秒你将浪费多少升水？ 25．在一个长80厘米、宽50厘米、高40厘米的长方体水箱中有30厘米深的水。如果在水中沉入一个棱长为20厘米的正方体铁块，这时水箱中水深多少厘米？ 26．有一个近似于圆锥形的稻谷堆，底面直径是4米，高是1.5米。如果每立方米稻谷大约重0.55吨，这堆稻谷大约重多少吨？（得数保留整数） 27．一个圆锥（如下图）被分成了一个小圆锥和一个圆台。 （1）圆台的体积是多少？ （2）圆台的体积是小圆锥体积的几倍？ 28．一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30立方厘米，现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度是20厘米，倒放时，空余部分的高度是5厘米，瓶中现有多少毫升饮料？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第七讲立体图形知识梳理、典型例题、跟踪训练-2024-2025学年数学六年级下册苏教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A D A C D C 1．A 【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形。这三组长方形的面分别是上下面、前后面、左右面，根据长方形的面积公式S＝ab，分别求出指定面的面积；再根据比的意义以及化简比，得出哪两个面的面积之比等于x∶z。 【详解】A．上面的面积∶左面的面积＝（xy）∶（yz）＝x∶z，符合题意； B．左面的面积∶前面的面积＝（yz）∶（xz）＝y∶x，不符合题意； C．前面的面积∶左面的面积＝（xz）∶（yz）＝x∶y，不符合题意； D．后面的面积∶左面的面积＝（xz）∶（yz）＝x∶y，不符合题意。 故答案为：A 2．D 【分析】根据从正面和右面看到的形状可知，这个立体图形有2层2排，上层只有1个小正方体，且在前一排；下层最多有8个小正方体，每排4个；据此得出搭这个立体图形最多可用（1＋8）个小正方体。 【详解】如图： 最多可以用9个小方体。 故答案为：D 3．A 【分析】由题意可知，增加的表面积是2个长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径的长方形的面积之和，用60除以2得到一个长方形的面积，再根据长方形的面积＝长×宽的逆运算，用长方形的面积除以圆柱的高，可得圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式，代入数据计算即可得解。 【详解】 （cm3） 如图所示，把一个高10cm的圆柱切分成若干等份，拼成一个近似的长方体后，表面积增加了60cm2，圆柱的体积是282.6cm3。 故答案为：A 4．C 【分析】 如图：，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，求出三角形的面积；高＝面积×2÷底，据此求出底为10厘米边对应的高，旋转后的图形是两个圆锥的和；两个圆锥的底面半径就是底为10厘米边对应的高，两个圆锥的高的和等于三角形斜边长10厘米，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，由于两个圆锥的底面半径相等，则两个圆锥的底面积相等；两个圆锥的体积和＝底面积×（两个圆锥的高的和）×，据此求出这个图形的体积。 【详解】8×6÷2×2÷10 ＝48÷2×2÷10 ＝24×2÷10 ＝48÷10 ＝4.8（厘米） π×4.82×10× ＝π×23.04×10× ＝230.4π× ＝76.8π（立方厘米） 直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，得到的图形的体积是76.8π立方厘米。 故答案为：C 5．D 【分析】A．从右面看可以看到两层，每层两个，从正面看可以看到两层，上层1个，下层2个，右齐；从右面和正面看到的形状不完全一样； B．从右面看可以看到两层，上层1个，下层2个，右齐，从正面看可以看到两层，每层两个，从右面和正面看到的形状不完全一样； C．从右面看可以看到两层，上层1个，下层2个，右齐，从正面看可以看到两层，上层1个，下层3个，中齐；从右面和正面看到的形状不完全一样； D．从右面看可以看到两层，每层两个，从正面看可以看到两层，每层两个；从右面和正面看到的形状完全一样。 【详解】由分析可知：D选项从右面和正面看到的形状完全一样。 故答案为：D 6．C 【分析】假设正方体木料的棱长是8，则正方体木料A加工的圆柱的底面直径是8，高是8，正方体木料B加工的每个圆柱的底面直径是8÷2＝4，高是8，根据圆柱的体积＝圆周率×半径的平方×圆柱的高，分别求出A加工的圆柱体积和B加工的4个圆柱的体积和，再比较它们的大小即可判断出剩下的木料的体积大小。 【详解】假设正方体木料的棱长是8。 ××8 ＝×16×8 ＝128 ××8×4 ＝×4×8×4 ＝128 128＝128 加工出来的圆柱体积相同，所以剩下的木料体积相比一样大。 故答案为：C 7． 186 152 【分析】通过平移，将小正方体上面的面平移到下面，它的表面积＝大正方体的表面积＋小正方体1个面的面积×4，正方体表面积＝棱长×棱长×6；它的体积＝大正方体的体积＋小正方体的体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。 【详解】5×5×6＋3×3×4 ＝150＋36 ＝186（） 5×5×5＋3×3×3 ＝125＋27 ＝152（） 它的表面积是186，体积是152。 8．6∶1 【分析】假设圆柱的体积是2立方厘米，则圆锥的体积是，假设它们的底面积都是1平方厘米，根据分别根据，的逆运算，可分别求出圆锥和圆柱的高，再列比并化简即可。 【详解】假设圆柱的体积是2立方厘米，圆柱和圆锥的底面积都是1平方厘米。 圆锥的高： （厘米） 圆柱的高：（厘米） 圆锥和圆柱的高的比是6∶1。 【点睛】查圆锥和圆柱体积的运用，能过已知条件，假设相应的变量，通过计算再列比及化简。 9． 7 20 【分析】如图所示，最上面的一层有1个小正方体，中间的一层有2个小正方体，最下面的一层有4个小正方体，把这3层的数量依次相加即可求出用了多少个小正方体。找出图形中最长的一边为正方体的棱长，最长的有3个小正方体，那么拼成一个每条棱长都有3个正方体的大正方体需要3×3×3＝27（个）小正方体，再利用总数减掉图中已有的7个即可。 【详解】1＋2＋4＝7（个） 3×3×3＝27（个） 27−7＝20（个） 所以图中用了7个小正方体，还需要20个小正方体才能拼成一个大正方体。 10． 20 60 74 【分析】观察图形可知，长方体玻璃容器的长可以摆5个，宽摆4个，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，据此求出一层可以摆小正方体的个数； 长方体容器的长摆5个，宽摆4个，高摆3个；根据长方体容积公式：容积＝长×宽×高，代入数据，即可求出长方体容器可以摆小正方体的数量； 求做这个容器需要玻璃的面积，就是求长方体容器的5个面积的面积和；根据长方体5个面的表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】5×4＝20（个） 5×4×3 ＝20×3 ＝60（个） 长：1×5＝5（厘米）；宽：1×4＝4（厘米）；高：1×3＝3（厘米） 5×4＋（5×3＋4×3）×2 ＝20＋（15＋12）×2 ＝20＋27×2 ＝20＋54 ＝74（平方厘米） 在一个无盖的长方体玻璃容器内摆棱长为1厘米的小正方体，一层可以摆20个，一共可以摆60个，做这个容器需要玻璃74平方厘米。 11． 【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的；把圆柱的体积看作单位“1”，则圆锥的体积，削去废料的体积是1－，求出削去废料的体积，再用圆锥的体积除以削去废料的体积，即可求出圆锥的体积是削去废料体积的几分之几，据此解答。 【详解】把一个圆柱形木料加工成一个最大的圆锥，圆锥的体积是这块木料体积的。 ÷（1－） ＝÷ ＝× ＝ 把一个圆柱形木料加工成一个最大的圆锥，圆锥的体积是这块木料体积的，是削去废料体积的。 12．22 【分析】根据正方体的表面积棱长棱长6，长方体的表面积（长宽长高宽高），把数据代入公式求出12个正方体的表面积和与长方体的表面积差即可。 【详解】按照图示拼成的长方体的长是12cm，宽和高都是1cm。 （cm2） 则表面积减少了22cm2。 13． 【分析】有大、中、小三个正方形的水池，可知这三个水池底面都是正方形的，把两堆沙分别沉没在中、小水池的水里，可知底面是不变的，只是水面会升高，升高那部分水的体积就是所放沙的体积，利用长方体的体积公式长宽高，求出两堆沙的体积；再将这两堆沙石都倒入大水池的水里，底面变了，体积没变，水面升高的那部分水的体积就是两堆沙的体积，再用两堆沙的体积和除以大正方形水池的底面积，即可解答，注意单位名数的统一。 【详解】2米＝200厘米 3米＝300厘米 6米＝600厘米 200×200×4 ＝40000×4 ＝160000（立方厘米） 300×300×6 ＝90000×6 ＝540000（立方厘米） （160000＋540000）÷（600×600） ＝700000÷360000 ＝（厘米） 如果把两堆沙都倒入大号水池，大号水池水面上升厘米。 14． 66.7 200 【分析】当圆锥和圆柱等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，先求出圆柱的体积，圆锥的体积比圆柱的体积少的百分率＝（圆柱的体积－圆锥的体积）÷圆柱的体积×100%，把圆锥形铁块熔成一个正方体，铁块的形状发生变化，但是铁块的体积不变，据此解答。 【详解】圆柱的体积：200×3＝600（立方厘米） （600－200）÷600×100% ＝400÷600×100% ≈0.667×100% ＝66.7% 所以，一个圆锥形铁块的体积是200立方厘米，比与它等底等高的圆柱的体积少66.7%，把它熔成一个正方体，这个正方体的体积是200立方厘米。 15．√ 【分析】 如图，圆柱上下两个底面是相等的两个圆，据此分析。 【详解】圆柱的底面是两个圆，说法正确。 故答案为：√ 16．× 【分析】占地面积指的是底面积，体积指的是所占空间的大小，长方体体积公式：体积＝底面积×高；据此举例解答。 【详解】如底面积是1平方米，高是1米，它的体积是：1×1＝1（立方米）； 如底面积是0.25平方米，高是4米，它的体积是：0.25×4＝1（立方米） 所以一个体积是1立方米的物体，它的占地面积不一定是1平方米。 原题干说法错误。 故答案为：× 17．√ 【分析】根据圆柱的特征，它的上、下底面是完全相同的两个圆，侧面是一个曲面，侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 【详解】圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。 原题说法正确。 故答案为：√ 18．× 【分析】体积和容积是两个不同的概念，意义不同：容积是指容器所能容纳物体的体积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，叫做它们的容积或容量；物体所占的空间的大小叫做体积，据此判断即可。 【详解】若一个水箱的体积是25立方分米，那么它一定能装25升的水。说法错误。 故答案为：×。 19．√ 【分析】圆柱体积＝πr2h。A的底面周长是10厘米，高是4厘米。将底面周长除以3.14，再除以2，求出底面半径。再根据圆柱的体积公式，求出体积。B的底面周长是4厘米，高是10厘米。同理，先求出B的底面半径，再求出它的体积。对比A和B的体积，解题即可。 【详解】A的底面半径：10÷3.14÷2≈1.6（厘米） A的体积： 3.14×1.62×4 ＝3.14×2.56×4 ＝32.1536（立方厘米） B的底面半径：4÷3.14÷2≈0.6（厘米） B的体积： 3.14×0.62×10 ＝3.14×0.36×10 ＝11.304（立方厘米） 32.1536＞11.304，则A的体积大。 故答案为：√ 20．长方体表面积：610平方厘米；正方体体积：3375立方厘米 【分析】左边图形：根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出长方体表面积； 右边图形：根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体体积。 【详解】（20×10＋20×3.5＋10×3.5）×2 ＝（200＋70＋35）×2 ＝（270＋35）×2 ＝305×2 ＝610（平方厘米） 15×15×15 ＝225×15 ＝3375（立方厘米） 长方体表面积是610平方厘米，正方体体积是3375立方厘米。 21．48立方厘米 【分析】 如图，将这个图形分成两部分，这个图形的体积＝下边长方体的体积＋上边立体图形的体积，而上边立体图形的体积＝长方体的体积÷2，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【详解】2×2×10＋2×2×（14－10）÷2 ＝40＋4×4÷2 ＝40＋8 ＝48（立方厘米） 这个图形的体积是48立方厘米。 22．表面积：219.92平方厘米；体积： 167.92立方厘米 【分析】组合图形的表面＝长方体的表面积＋圆柱的侧面积。 组合图形的体积＝圆柱的体积＋长方体的体积。 根据公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；圆柱的侧面积＝底面周长×高；圆柱的体积＝底面积×高；长方体体积＝长×宽×高；代入数据计算即可。 【详解】（8×2＋8×5＋2×5）×2＋4×3.14×7 ＝（16＋40＋10）×2＋12.56×7 ＝66×2＋87.92 ＝132＋87.92 ＝219.92（平方厘米） 图形的表面积是219.92平方厘米。 ＝10×8＋3.14×4×7 ＝80＋87.92 ＝167.92（立方厘米） 图形的体积是167.92立方厘米。 23．（1）12400平方厘米；12500平方厘米 （2）正方体鱼缸；5升 【分析】（1）因为长方体鱼缸没有盖，一共有5个面，用“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出它的表面积，即需要的玻璃面积；因为正方体鱼缸无盖，用“S＝5a2”，求出它的表面积，即需要的玻璃面积。 （2）估计正方体鱼缸盛水多，鱼缸盛水的多少就是求长方体鱼缸的容积和正方体鱼缸的容积，根据长方体的容积（体积）V＝abh，正方体的容积（体积）V＝a3，把数据分别代入公式求出长方体鱼缸、正方体鱼缸的容积，然后根据求一个数比另一个数多几，用减法解答；最后根据1升＝1000立方厘米，把结果换算成升即可。 【详解】（1）60×40＋60×50×2＋40×50×2 ＝2400＋3000×2＋2000×2 ＝2400＋6000＋4000 ＝8400＋4000 ＝12400（平方厘米） 50×50×5 ＝2500×5 ＝12500（平方厘米） 答：第一个鱼缸需要12400平方厘米玻璃，第二个鱼缸需要12500平方厘米玻璃。 （2）60×40×50 ＝2400×50 ＝120000（立方厘米） 50×50×50 ＝2500×50 ＝125000（立方厘米） 125000－120000＝5000（立方厘米） 5000立方厘米＝5升 答：正方体鱼缸盛水多，多了5升。 24．10.048升 【分析】1分米＝100毫米，据此先将水管内直径的单位换算为分米，再将直径除以2，求出半径。每秒浪费的水的体积可以看作是直径是20毫米、高是8分米的圆柱的体积，再将每秒浪费的乘40，求出40秒浪费多少水。圆柱体积＝底面积×高，底面积＝πr2，据此解题。 【详解】20毫米＝0.2分米 0.2÷2＝0.1（分米） 3.14×0.12×8×40 ＝3.14×0.01×8×40 ＝0.2512×40 ＝10.048（立方分米） 10.048立方分米＝10.048升 答：40秒你将浪费10.048升水。 25．32厘米 【分析】将水中沉入一个棱长为20厘米的正方体铁块，则水面上升的体积就是正方体的体积，根据，得出水上升的体积，长方体的体积＝底面积×高，长方体的底面积＝长×宽，那么用水上升的体积除以长方体的底面积，就是水面上升的高度，最后再加上原来水箱中水的高度就是现在水的深度。 【详解】20×20×20＝8000（立方厘米） 8000÷（80×50） ＝8000÷4000 ＝2（厘米） 30＋2＝32（厘米） 答：这时水箱中水深32厘米。 26．3吨 【分析】已知圆锥的底面直径，根据公式：r＝d÷2，求出底面半径；再根据圆锥的体积公式：V＝πr2求出稻谷堆的体积，最后用稻谷堆的体积乘每立方米稻谷的质量，就是这堆稻谷的总重量；再按照四舍五入的方法保留整数即可。 【详解】4÷2＝2（米） 3.14×22×1.5× ＝3.14×4×1.5× ＝12.56×1.5× ＝18.84× ＝6.28（立方米） 6.28×0.55≈3（吨） 答：这堆稻谷大约重3吨。 27．1831.67立方厘米；7倍 【分析】由图可知，根据圆锥的体积公式分别求出大圆锥和小圆锥的体积，圆台的体积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，再用圆台的体积除以圆锥的体积就能知道圆台体积是圆锥体积的几倍。 【详解】（1）20÷2＝10（厘米） （立方厘米） 10÷2＝5（厘米） （立方厘米） （立方厘米）≈1831.67（立方厘米） 答：圆台的体积是1831.67立方厘米。 （2） 答：圆台的体积是小圆锥体积的7倍。 28．24毫升 【分析】因为饮料瓶的容积不变，瓶内饮料的体积不变，所以正放和倒放时空余部分的体积相等；将正放与倒放的空余部分交换一下位置，可以看出饮料瓶的容积相当于底面积不变，高为（20＋5）厘米的圆柱的体积，那么瓶中的饮料占整个饮料瓶容积的，根据求一个数的几分之几是多少，用整个饮料瓶的容积乘，即可求出瓶内饮料的体积，并根据进率“1立方厘米＝1毫升”换算单位。 【详解】30× ＝30× ＝24（立方厘米） 24立方厘米＝24毫升 答：瓶中现有24毫升饮料。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$