2.2 探索直线平行的条件2. 讲义2024－2025学年北师大版数学七年级下册

2.2 探索直线平行的条件 考点1: 同位角 1. 同位角的概念 如图所示，直线AB，CD被直线l所截，形成了8个角(称为“三线八角”).具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角，同位角还有∠3与∠4，∠5与∠6，∠7与∠8. 2. 同位角的特征 (1)在被截两直线的同一方； (2)在截线的同侧. 基本图形：如图所示的各个图形中的∠1与∠2都是同位角. (同位角是具有相同位置特征的两个角,与两角的大小无关) 练习1. 1. 下列图形中∠1与∠2是同位角的是( ) 2. 如图，直线DC和AC被AD所截，构成的同位角是( ) A. ∠EDC和∠EAB B. ∠DCA和∠DAC C. ∠EDC和∠EAC D. ∠DCA和∠CAB 3. 若∠1与∠2是同位角，则它们之间的关系是( ) A. ∠1＝∠2 B. ∠1＞∠2 C. ∠1＜∠2 D. ∠1＝∠2或∠1＞∠2或∠1＜∠2 考点2: 两条直线平行的条件1 1. 条件1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简述为：同位角相等，两直线平行.基本图形如图所示. 2. 符号语言 如图，因为∠1＝∠2，所以AB∥CD 练习2. 1. 如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是 . 2. 如图所示，绑在一起的木条a，b，c，若测得∠1＝83°，∠2＝40°，要使木条a∥b，木条a绕点O至少要顺时针旋转 °. 3. 如图，直线a，b被直线c所截，若∠1＝35°，当∠2＝ °时，a∥b. 4. 一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍与原来的方向一致，那么两次拐弯的角度是( ) A.第一次右拐 80°，第二次左拐 100° B.第一次左拐 80°，第二次左拐 100° C.第一次右拐 80°，第二次右拐 80° D.第一次左拐 80°，第二次右拐 80° 5. 如图所示，已知∠1＝90°，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，正确的是( ) A. ∠2＝90° B. ∠3＝90° C. ∠4＝90° D. ∠5＝90° 6. 如图，∠B＝50°，CG平分∠DCF，∠DCG＝65°，试说明：AB∥EF 考点3: 平行线的画法(依据：“同位角相等，两直线平行”) 1. 借助三角尺画平行线 已知直线AB和AB外一点P，过点P作直线AB的平行线CD. 作法：如图所示， (1)放：把三角尺的一边放在直线AB上(图)； (2)贴：把另一个三角尺的一边紧贴在已放好的三角尺的另一边上(图)； (3)推：把第一个三角尺沿第二个三角尺的边推到使刚才落在AB上的边恰好经过已知点P的位置(图)； (4)画：沿三角尺画经过点P的直线CD，则直线CD即所求(图). · 条件强调“过直线外一点”若经过直线上一点，画已知直线的平行线，则所画的直线与已知直线重合. 2. 借助方格纸画平行线 方格纸上的所有横线互相平行，所有竖线也互相平行，可用“描线法”来画.斜画是过任意相邻方格组成的长方形的对角顶点画一条直线，再按相同方式画出另一条直线，就可以得到一组平行线. 如图所示，AB∥CD，EF∥MN 考点4: 用尺规作过直线外一点与已知直线平行的直线 已知点P在直线AB外，用尺规作直线MN，使MN过点P，且MN∥AB的作法与示范如下： (依据:“同位角相等，两直线平行”,需要尺规作图画等角) ①在直线AB上任取一点O，过点O，P作直线 CD ②以点P为顶点，以PD为一边，在直线CD的右侧作∠DPN＝∠DOB.PN边所在的直线MN就是要作的直线 考点5: 平行线的性质 性质1：过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；(存在性和唯一性) 性质2：平行于同一条直线的两条直线平行，即：若b∥a，c∥a，那么b∥c. (平行线的传递性) · 在同一平面内，和一条直线平行的直线有无数条，并且它们也互相平行 练习3. 1. 下列关于作图的语句正确的是( ) A.画直线AB＝10厘米 B.画射线OB＝10厘米 C.已知A，B，C三点，过这三点画一条直线 D.过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行 2. 若直线a∥b，b∥c，则a∥c的依据是( ) A．平行的性质 B．等量代换 C．平行于同一直线的两条直线平行 D．以上都不对 3. 同一平面内有三条直线a，b，c，已知a⊥c，b∥c，则a与b的位置关系是( ) A. a∥b B. a⊥b或a∥b C. a⊥b D.无法确定 4. 如图所示，已知点P为∠AOB的一边OB上的一点，请利用尺规在∠AOB内部作射线PQ，使PQ∥ OA.(不写作法，保留作图痕迹) 5. 画图题. (1)在如图所示的方格纸中，经过线段AB外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺画线段AB的垂线GH和平行线 (2)判断EF，CH的位置关系是 . 6. 如图，已知方格纸上有两条线段AC，BC根据下列要求完成以下操作： (1)过点B画AC的平行线l1； (2)连接AB，取AB的中点O，过点O画l1的平行线l2交BC于点E. 考点6: 内错角、同旁内角 1. 内错角 (1)定义：如图所示，具有∠1与∠2这样位置关系的角称为内错角，内错角还有∠4与∠3. (2)内错角的特征：既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开”. (3)内错角的基本图形：如图所示的各个图形中的∠1与∠2都是内错角. 2. 同旁内角 (1)定义：如图所示，具有∠1与∠3这样位置关系的角称为同旁内角，同旁内角还有∠2 与∠4. (2)同旁内角的特征：既位于截线的同侧，又位于被截两直线之间. (3)同旁内角的基本图形：如图所示的各个图形中的∠1 与∠2都是同旁内角. · (1)同位角、内错角、同旁内角都是指具有特殊位置关系的两个角，是成对出现的，不是大小关系. (2)这三类角的出现必须有“三线”，即两直线被第三条直线所截. (3)两条直线被第三条直线所截形成八个角，其中共有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角. 考点7: 两条直线平行的条件2，3 1. 条件2 (1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等那么这两条直线平行(如图所示). 简述为：内错角相等，两直线平行. (2)符号语言：因为∠1＝∠2，所以AB∥CD. 2. 条件3 (1)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补那么这两条直线平行(如图所示). 简述为：同旁内角互补，两直线平行. (2)符号语言：因为∠1＋∠3＝180°，所以AB∥CD. 练习4. 1. 如图，各组角的位置判断错误的是( ) A. ∠1与∠4是同旁内角 B. ∠3与∠4是内错角 C. ∠5与∠6是同旁内角 D. ∠2与∠5是同位角 2. 如图，点C，A在OP上，小明利用尺规作出了如图所示的图形，根据作图可知OB∥AE的根据是( ) A.两直线平行，同位角相等 B.同位角相等，两直线平行 C.两直线平行，内错角相等 D.内错角相等，两直线平行 3. 如图，用两个相同的三角板按照如图方式作平行线，能解释其中道理的定理是( ) A.同位角相等两直线平行 B.同旁内角互补，两直线平行 C.内错角相等两直线平行 D.平行于同一条直线的两直线平行 4. 如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是( ) A.内错角相等，两直线平行 B.同旁内角互补，两直线平行 C.对顶角相等 D.两点确定一条直线 5. 如图，学员小明在广场上练习驾驶汽车若第一次向左拐70°，行驶一段时间后，要使行驶的方向与最开始的方向相反，则第二次需要左拐的度数为 °. 6. 如图，请你补充一个条件 ，使得a∥b. 7. 如图所示，三角尺的直角顶点在直线b上，∠3＝25°，转动直线a，当∠1＝ °时，a∥b. 8. 已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40°，则另一个角的度数是 . 9. 规律探究：同一平面内有直线a1，a2，a3，…，a100，若a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，…，按此规律，a1和a100的位置是 . 10. 如图，已知直线AB及直线外一点P (1)请你用一个圆规和一把没有刻度的直尺过点P作直线CD，使得CD∥AB(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)中，CD∥AB的依据是 11. 将一副三角尺的两个直角顶点C叠放在一起(如图)，其中∠A＝30°，∠B＝60°， ∠D＝∠E＝45°. (1)猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由. (2)若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度数. (3)若按住三角尺ABC不动，绕顶点C转动三角尺DCE.试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说明理由. 12. 如图已知点E在BD上，EA平分∠BEF，EC平分∠DEF. (1)试说明：AE⊥CE； (2)若∠1＝∠A，∠4＝∠C，试说明：AB∥CD. 13. 我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象，光线从水中射入空气中，同样会发生折射现象，如图是光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中的示意图，由于折射率相同，因此已知∠1＝∠4，∠2＝∠3.请你用所学知识来判断c与d是否平行?并说明理由 14. 补全下面的解答。如图所示，∠ADE＋∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC=2∠E. (1)AD与 BC平行吗?请说明理由. (2)AB与EF的位置关系如何?为什么? 解:(1)AD∥BC。理由如下: ∵∠ADE＋∠BCF＝180°(已知)， ∠ADE+∠ADF＝180°(邻补角的定义) ∴∠ADF＝∠ ( ) ∴ AD∥BC ( ) (2)AB∥EF。理由如下： ∵BE平分∠ABC(已知)， ∴∠ABE＝∠ABC( ) 又∵∠ABC＝2∠E(已知)，即∠E＝∠ABC， ∴∠E=∠ ( ) ∴ AB∥EF ( ) 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$