4.2 正比例和反比例-【拔尖特训】2024-2025学年六年级下册数学（人教版）

2. 正比例和反比例 第5课时 正 比 例 1. 选择。 (1) 下面的式子中,x 与y 成正比例关系的 是( )。(x、y均不为0) A. x+5=y B. x-1.4=y C. x=by D. x=y9 (2) 下面的选项中,相关联的两种量成正比 例关系的是( )。 A. 圆的面积和半径 B. 时间和路程 C. 一段路,修好的米数和剩下的米数 D. 定期两年的利息与本金 2. “运-20”是我国自主研制的大型运输机,“运- 20”运货的时间和路程如下表所示。 时间/h 1 3 6 … 路程/km 600 1800 3600 … “运-20”运货的路程和时间成( )比例关 系,理由是( )。 3. (社会生活)高铁是我国的一张亮丽的名片。下 图是一列高铁在铁路上行驶的时间和路程情况。 (1) 填表。 时间/h 1 5 路程/km 900 (2) 这列高铁行驶的路程和时间成( )比 例关系。 (3) 照这样的速度,行驶2250km,需要( )h。 4. (地域景观)趵突泉被誉为“天下第一泉”,是 泉城济南的象征与标志,每天吸引着许多游 客。下面是趵突泉某段时间内的喷涌天数和 喷水量的统计表。 喷涌天数 1 2 3 4 5 喷水量/万立方米 15 30 45 60 75 (1) 喷水量与喷涌天数成正比例关系吗? 请 判断并说明理由。 (2) 在下图中描出表示喷涌天数与对应喷水 量的点,然后把它们按顺序连起来并延长,得 到一条( )。 5. ★(思维过程)下面的图象表示购买甲、乙两种 不同价格的练习本的应付金额与数量情况。 (1) 购买两种练习本各自的应付金额与对应 数量成( )比例关系。 (2) 当应付金额为4.8元时,甲、乙两种练习 本分别可以买( )本和( )本。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 4　比　例 第6课时 反 比 例 1. 在( )一定的情况下,每平方米的涂料用 量与粉刷的面积成反比例关系。 A. 粉刷次数 B. 粉刷时间 C. 涂料总量 D. 涂料单价 2. (五育并举)“向快乐出发,与健康同行”,实验 小学举行韵律操比赛。六(1)班每行站的人 数和站的行数情况如下表所示。 每行站的人数 3 4 6 12 16 站的行数 16 12 8 4 3 (1) 每行站的人数是怎样随着站的行数的变 化而变化的? (2) 每行站的人数与站的行数成什么比例关 系? 为什么? 3. (社会生活)某服装厂接到一笔校服订单,每 小时制作校服的数量与所需时间之间的关系 如下表所示。 每小时制作校服的数量/件 9 12 18 24 所需时间/时 80 60 40 30 (1) 这笔订单一共有( )件。 (2) 如果每小时制作校服a件,所需时间为 t小时,那么a和t成( )比例关系,请写 出关系式。(a、t均大于0) 4. 一个三角形的面积是24cm2,它的底与对应 的高如下表,请把下表补充完整。 底/cm 12 8 高/cm 2 3 5 (1) 这个三角形的底和对应的高成( )比 例关系。 (2) 当这个三角形的高是1.6cm时,对应的 底是( )cm。 5. (时事热点)无人驾驶汽车是未来交通的变革 者。某汽车公司对自主研发的一款无人驾驶 汽车的性能进行测试,这款无人驾驶汽车在 某段路上行驶的速度和它行驶完全程所用时 间的情况如下图所示。 (1) 这幅图象反映的是( )和( )两种 相关联的量,它们成( )比例关系。 (2) 若这款无人驾驶汽车2.5小时行驶完全 程,则这款无人驾驶汽车每小时行驶( ) 千米。 6. (推理意识)已知1 12×A= 1 B×12 (A、B 均不 为0),A 与B 是否成比例关系? 如果成比例 关系,那么成什么比例关系? 请写出思考过程。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63 数学(人教版)六年级下 第7课时 练 习 课 1. 观察下表,若m 和n 成正比例关系,则x= ( );若 m 和n 成反比例关系,则x= ( )。 m 5 x n 9 3 2. (生活应用)一种消毒水是按药液和水的质量 比为1∶50配制而成的,请根据这种关系解 答下面各题。 (1) 把下表填写完整。 药液的 质量/克 0 1 5 8 … 水的 质量/克 0 50 150 350 … (2) 把上表中药液和水对应的质量的点描在 下图中,并顺次连接起来。 (3) 药液的质量和所需水的质量成( )比 例关系,理由是( )。 (4) 要配制867克的消毒水,需要药液和水 各多少克? 3. (探索规律)如图,在杠杆的左侧刻度1处挂 了4个砝码,每个砝码的质量为5g,在右侧 刻度2处挂了1个质量为10g的砝码,此时 杠杆平衡。 (1) 根据上面的信息,填写下表,你发现了 什么? 刻度数 砝码的总质量/g 我发现: 。 (2) 如果取走右侧刻度2处的砝码,在右侧 刻度4处挂上1个质量为( )g的砝码, 杠杆仍然平衡。 4. 填空。 (1) (推理意识)有a、b、c三种相关联的量 (a、b、c均不为0),且a∶0.5=b∶c。 ① 当a一定时,b和c成( )比例关系。 ② 当b一定时,a和c成( )比例关系。 ③ 当c一定时,b和a 成( )比例关系。 (2) 一块三角形木板的面积是75dm2,若它 的底为xdm,对应的高为ydm,则x和y成 ( )比例关系,它们的关系用图象表示出 来是一条( )线。 5. (探究创新)如果x、y 是两种成反比例关系 的量(x、y均不为0),那么x增加40%时,y 怎样变化,x、y仍然是两种成反比例关系的量? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 73 4　比　例 解:设这个球的表面积是xcm2。 169.56∶x= 3∶2 x=113.04 6. 解:设图书角原来有故事书x本。 (x+10)∶ 6x=1∶3 x=10 解析:根据题意,设图书角原 来有故事书x 本,则有科普书6x 本,后来又买来 10本故事书,则现在有故事书(x+10)本,根据现 在故事书与科普书的本数比列出比例并解答。 方法归纳 用比例解决问题的方法 先根据题目中的比例关系设未知数列出 比例,再根据比例的基本性质解比例。 第4课时 练 习 课 1. (1) C (2) A (3) C 2. x=1.2 x=528 3. (1) 1 10∶ 1 8=4∶5 (2) 解:设刘阿姨每小时加 工x个零件。 x∶60=4∶5 x=48 4. (1) 答案不唯一,如a∶b=c∶d 解析:根据 第一、二幅图中四个小长方形的面积可知,15∶ 30=45∶90,10∶15=20∶30,所以a∶b=c∶d。 (2) 27 5. 解:设需要x克食盐。 x∶306=1∶(1+50) x=6 解析:因为食盐水的质量是306克,所以需 要将“食盐与水的质量比是1∶50”转化为食盐与 食盐水的质量比是1∶(1+50),再列出比例解答。 6. 解:设A商品的原价是5x元,则B商品的原价 是3x元。 (5x+40)∶(3x+40)=3∶2 x= 40 A商品:5×40=200(元) B商品:3×40= 120(元) 解析:根据题意,可设A商品的原价是 5x元,B商品的原价是3x 元,则两种商品的价格 分别上涨40元后,价格分别是(5x+40)元、(3x+ 40)元,再与分别上涨40元后的价格之比3∶2组 成含有未知数的比例(5x+40)∶(3x+40)=3∶ 2,解比例,进而求出A、B两种商品的原价。 2. 正比例和反比例 第5课时 正 比 例 1. (1) D (2) D 2. 正 6001 = 1800 3 = 3600 6 =600 (一定),所以“运- 20”运货的路程和时间成正比例关系 3. (1) 300 3 1500 (2) 正 (3) 7.5 4. (1) 成正比例关系 理由:151= 30 2= 45 3= 60 4= 75 5=15 (一定),所以喷水量与喷涌天数成正比例 关系。 (2) 射线 5. (1) 正 解析:由题图可知,购买两种练习本各 自的应付金额与对应数量的比值都是一定的。 (2) 6 8 解析:由题图可知,甲练习本的单价是 0.8元/本,乙练习本的单价是(2.4÷4)元/本,即 0.6元/本。根据“数量=总价÷单价”,即可求出 当应付金额为4.8元时,甲、乙两种练习本分别可 以买的数量。 知识归纳 正比例关系的图象 正比例关系的图象是一条从(0,0)出发的 射线。从图象中可以直观地看到两种量的变 化规律,由一种量的值有时可以直接找到对应 的另一种量的值。 第6课时 反 比 例 1. C 2. (1) 每行站的人数随着站的行数减少而增多 (合理即可) (2) 成反比例关系 因为3×16= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 4×12=6×8=12×4=16×3=48(一定),所以每 行站的人数与站的行数成反比例关系 3. (1) 720 (2) 反 at=720 4. 24 16 4 9.6 6 (1) 反 解析:根据三角形的面积计算公式可知, 底×高=24×2=48(cm2),乘积是一定的,所以三 角形的底和对应的高成反比例关系。 (2) 30 5. (1) 速度 时间 反 解析:根据题图可知,速 度与时间的乘积是一定的,所以速度和时间成反比 例关系。 (2) 48 6. 成比例关系 112×A= 1 B×12 A 12= 12 B AB=144(一 定) A 与B 成反比例关系 解析:将1 12×A= 1 B×12 变形为A 12= 12 B ,再由比例 的基本性质得AB=144,即A 与B 的乘积是144 (一定),所以A 与B 成反比例关系。 第7课时 练 习 课 1. 5 3 15 2. (1) 3 250 7 400 (2) (3) 正 150= 3 150= 5 250= 7 350= 8 400= 1 50 (一定), 所以药液的质量和所需水的质量成正比例关系 (4) 药液:867× 11+50=17 (克) 水:867× 501+50=850 (克) 3. (1) 1 20 2 10 在杠杆上,左侧刻度数与 所挂砝码的总质量的乘积等于右侧刻度数与所挂 砝码的总质量的乘积 (2) 5 4. (1) ① 正 解析:由a∶0.5=b∶c得bc=2a (一定),所以b和c成正比例关系。 ② 反 解析:由a∶0.5=b∶c得ac=12b (一定), 所以a和c成反比例关系。 ③ 正 解析:由a∶0.5=b∶c得ba=2c (一定), 所以b和a成正比例关系。 (2) 反 曲 解析:根据三角形的面积计算公式可 知,1 2xy=75 ,即xy=150(一定),所以x 和y 成 反比例关系,图象是一条曲线。 5. y 减少它的 2 7 或y变为它的 5 7 解析:x、y 是两种成反比例关系的量,那么它们的乘积一定。 当x增加40%时,变为(1+40%)x=75x ,要使 x、y仍然是两种成反比例关系的量,所以y 要变 为5 7y ,即y减少它的 2 7 或变为它的5 7 。 3. 比例的应用 第8课时 比 例 尺(1) 1. (1) 30km 1∶3000000 (2) 10 (3) 正 2. (1) 330 千 米 =33000000 厘 米 13.2∶ 33000000=1∶2500000 (2) 知识归纳 比例尺的种类 比例尺有线段比例尺和数值比例尺两种 形式,在互化和求比例尺的过程中,要注意单 位的统一。 3. 42∶28=1.5∶1 4. 880米=88000厘米 明明:1.1∶88000=1∶ 80000 莉莉:2.2∶88000=1∶40000 明明是在 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61