4.1 比例的意义和基本性质-【拔尖特训】2024-2025学年六年级下册数学（人教版）

4 比　例 1. 比例的意义和基本性质 第1课时 比例的意义 1. 填空。 (1) 写出两个比值是0.4的比:( )∶( ) 和( )∶( ),组成的比例是( )。 (2) 48的因数有( ),从中选 出四个不同的数组成的比例是( )。 2. 下面各表中相对应的两种量的比能否组成比 例? 如果能,把组成的比例写在横线上;如果 不能,在横线上画“✕”。 (1) 数量/支 5 8 总价/元 12.5 20 (2) 已读的页数 10 20 未读的页数 50 40 (3) 看书的天数 3 7 看书的页数 24 56 3. (地域景观)每年冬天,来自西伯利亚等地的 天鹅迁徙到山东荣成过冬。美丽的天鹅吸引 了无数来荣成观光旅游的游客。天鹅迁徙的 飞行情况如下表所示。 时间/时 1 2 3 4 … 路程/千米 80 160 240 320 … (1) 写出相对应的路程与时间的比,求出比 值并比较大小。 (2) 这个比值表示( )。 (3) 根据表中的数据写出两个比例。 4. (说理表达)笑笑6分钟走了390米,聪聪半 小时走了1.95千米。下面是林林的想法: 因为390∶6=65,1.95∶0.5=3.9,65≠ 3.9,所以笑笑、聪聪各自走的路程和时间之 比不能组成比例。 5. ★(地域美食)徐州煎饼是当地的传统美食, 口味鲜香。早上,莉莉的妈妈做了两个煎饼 (如图)。 (1) A煎饼和B煎饼的半径之比与周长之比 分别是多少? 它们能组成比例吗? 为什么? (2) A煎饼和B煎饼的半径之比与面积之比 分别是多少? 它们能组成比例吗? 为什么? 6. (推理意识)在一个比例中,第一个数与第四 个数的和是72,第一个数是第四个数的8倍, 两个比的比值是2.5。请你写出这个比例。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 第2课时 比例的基本性质 1. 填空。 (1) ★已知3x=7y(x、y 均不为0),则x∶ y=( )∶( ), x 7= ( ) ( ) 。 (2) 已知2∶5=6∶15,若将比例中的6改为 8,则15应改为( )。 (3) 在一个比例中,两个外项互为倒数,其中 一个内项是0.7,则另一个内项是( )。 (4) 一个圆的半径是rcm,若r∶9=4∶r, 则这个圆的面积是( )cm2。(结果保留π) 2. 运用比例的基本性质,判断下面三组中的两 个比是否可以组成比例。 (1) 8∶6和3.2∶2.4 (2) 3 5∶15 和3 4∶12 (3) 45∶14 和54∶0.3 3. (社会生活)健步走是一项深受市民喜爱的有 氧锻炼项目,既文明环保,又健康时尚。王伯 伯、李伯伯参加健步走活动,王伯伯6分钟走 420米,李伯伯7.5分钟走525米。两人行 走的路程与时间之比能否组成比例? 如果 能,请指出比例的内项和外项。 4. 再添加一个数,使它和6、30、18分别满足下 面的条件并组成比例。 (1) 把6和30同时作为外项(或内项),再添 加( )可以组成比例。 (2) 把6和18同时作为外项(或内项),再添 加( )可以组成比例。 (3) 把30和18同时作为外项(或内项),再 添加( )可以组成比例。 5. (五育并举)跳绳是一项简单方便的运动,既 可以锻炼反应速度,增强身体协调性,又可以 开发大脑。 小丽说得对吗? 为什么? 6. (几何直观)如图,三角形的边a上的高为b, 边c上的高为d。根据这些信息,可以组成 哪些比例? (至少写出四个) 7. (思维过程)已知a∶b=c∶d,若a除以4,b 乘4,c不变,要使比例仍然成立,则d 应该 ( )。 A. 不变 B. 除以8C. 乘16 D. 除以16 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 数学(人教版)六年级下 第3课时 解 比 例 1. 解比例。 24∶3=3∶x 12∶ 1 9=x∶ 1 3 1.45 4 = x 16 1.5 x =2.5∶0.8 2. (时事热点)2024年5月3日17时27分,搭 载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭 成功发射。某科技馆制作了一个高约是60cm 的嫦娥六号探测器模型,且该模型的高度与 嫦娥六号探测器的实际高度之比是1∶12。 嫦娥六号探测器的实际高度约是多少米? 3. (自然科普)据研究,月球引力与地球引力之 比约为1∶6,理论上同一个人在月球上能跳 到的高度与在地球上能跳到的高度之比约为 6∶1。 (1) 小刚在阳光运动会上的跳高成绩是1.2m, 如果在月球上,那么他大约能跳多少米? (2) 如果小彤在月球上能跳11.4m,那么她 在地球上大约能跳多少米? 4. 填空。 (1) 已知 4 2.8= x+8 14 ,则x=( )。 (2) 一种糖水,糖与水的质量比是3∶23。用 60g糖可以配制这种糖水( )g。 (3) 最大的一位数与最小的质数的比等于x 与14 9 的比,x的值是( )。 (4) 若x∶10=2.5∶5,x∶6=a∶0.8,则a 的值是( )。 5. (模型意识)古希腊数学家阿基米德发现,当 圆柱容球(把球放在一个圆柱形容器中,盖上 盖子后,球恰好与圆柱的上、下底面及侧面紧 密接触)时,圆柱与球的表面积之比为3∶2。 如图所示为圆柱容球模型,这个球的表面积 是多少? 6. ★(思维过程)六(1)班图书角的故事书与科 普书的本数比是1∶6,后来同学们又买来 10本故事书,于是故事书与科普书的本数比 变成1∶3。图书角原来有故事书多少本? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 4　比　例 第4课时 练 习 课 1. 选择。 (1) 若比例的两个内项的积是最小的质数, 其中一个外项是0.4,则另一个外项是( )。 A. 2 B. 15 2 C. 5 D. 5 2 (2) 若a÷9=b×14 (a、b均不为0),则a∶b 等于( )。 A. 9∶4 B. 4∶9 C. 36∶1 D. 1∶36 (3) (几何直观)如图,若长方形的周长与正 五边形的周长相等,则a∶b等于( )。 A. 2∶5 B. 6∶5 C. 5∶6 D. 5∶3 2. 解比例。 80 16=6∶x 1 7∶ 2 5=x∶ 1 2 3. 张阿姨8小时加工零件的数量与刘阿姨 10小时加工零件的数量相同。 (1) 刘阿姨与张阿姨的工作效率之比是 多少? (2) 张阿姨每小时加工60个零件,刘阿姨每 小时加工多少个零件? 4. (探索规律)将任意一个长方形分成四个小长 方形,面积分别用a、b、c、d 表示,这些面积 之间存在着某种规律。请观察下面三幅图 (单位:cm2),解答问题。 (1) 用比例表示a、b、c、d 之间的关系为 ( )。 (2) 第三幅图中右下角的小长方形的面积d 是( )cm2。 5. (自然科普)菠萝用食盐水浸泡,可以使菠萝 的口感变甜,还可以降低菠萝中的草酸含量, 减少对身体的危害。配制306克食盐水,需 要多少克食盐? 6. (思维过程)A、B两种商品的价格之比为5∶ 3,如果它们的价格分别上涨40元,那么价格 之比变为3∶2。A、B两种商品的原价分别 是多少元? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 43 数学(人教版)六年级下 第3单元整合提升 1. 2×3.14×15=94.2(cm) 94.2+15×2×2= 154.2(cm) 154.2×(15×2)=4626(cm2) 解析:大长方形的长是圆柱的底面周长与两条底面 直径的和,大长方形的宽等于圆柱的底面直径,据 此求出大长方形的面积。 2. 9.42÷3.14÷2=1.5(dm) 3.14×1.52× 9.42≈67(dm3) 解析:由题意知,铁桶的底面周 长是9.42dm,高是9.42dm,因此底面半径是 9.42÷3.14÷2=1.5(dm),再根据“V=πr2h”计 算即可求出铁桶的容积。 3. (25×16+25×10+16×10)×2+2×3.14× 5×12=1996.8(cm2) 解析:长方体的表面积与 圆柱的侧面积之和就是涂防锈材料的面积。 4. 40×40×5+3.14×40×40÷2+3.14×(40÷ 2)2=11768(cm2) 5. 6÷2=3(cm) 3.14×32×(25-18)= 197.82(cm3) 197.82cm3=197.82mL 解析:亮亮喝的饮用水的体积相当于底面半径是 (6÷2)cm、高是(25-18)cm的圆柱的体积。 6. 62.8÷3.14÷2=10(cm) 3.14×102×5= 1570(cm3) 解析:底面周长是62.8cm,则底面半 径是62.8÷3.14÷2=10(cm),上升部分的水的体 积就是铁块的体积,即(3.14×102×5)cm3。 7. 1 3×3.14×2 2×6=25.12(cm3) 解析:将三角形ABC 以边AC 所在的直线为轴旋 转一周,得到两个圆锥,圆锥的底面半径是2cm, 高分别是AD、CD 的长度,而AD 与CD 的长度和 为6cm,所以这个立体图形的体积为13×3.14× 22×6=25.12(cm3)。 8. 2×3.14×(5+2)×6+2×3.14×5×6= 452.16(cm2) 3.14×[(5+2)2-52]×2= 150.72(cm2) 452.16+150.72=602.88(cm2) 解析:旋转后得到一个空心圆柱(如图),这个空心 圆柱的表面积是两个圆柱的侧面积与两个环形的 面积之和。 9. 3.14×12×80=3014.4(cm2) 解析:求制作一节通风管所需要的铁皮面积,实际 上是求圆柱的侧面积。 10. 圆柱与圆锥底面积的比:22∶12=4∶1 体积的比:(4×1)∶ 13×1×3 =4∶1 圆柱的体积:18.84× 44-1=25.12 (立方厘米) 圆锥的体积:18.84× 14-1=6.28 (立方厘米) 解析:由圆柱、圆锥底面半径的比是2∶1知,它们 的底面积的比是22∶12=4∶1;又因圆柱、圆锥高 的比是1∶3,所以它们的体积的比是(4×1)∶ 1 3×1×3 =4∶1,进而根据它们的体积之差是 18.84立方厘米,分别算出圆柱、圆锥的体积。 11. 解:设圆柱的高是xcm。 15×15×(15- x)=15×15×5-15×15×15×5 x=11 15× 15×15×11=495 (cm3) 解析:根据题意知,容器 正放、倒放时空余部分的容积相等。正放时,容器 空余部分的容积=正方体的底面积×(15cm-圆 柱的高);倒放时,容器空余部分的容积=正方体的 底面积×5cm-圆柱的底面积×5cm,列方程解答 即可求出圆柱的高,进而求出圆柱的体积。 4　比　例 1. 比例的意义和基本性质 第1课时 比例的意义 1. (1) 答案不唯一,如2 5 20 50 2∶5=20∶50 (2) 1、2、3、4、6、8、12、16、24、48 1∶2=3∶6(第 2空答案不唯一) 2. (1) 答案不唯一,如12.5∶5=20∶8 (2) ✕ 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 (3) 答案不唯一,如24∶3=56∶7 解析:判断两种量的比能否组成比例,要看这两种 量组成的比的比值是否相等。 3. (1) 80∶1=80 160∶2=80 240∶3=80 320∶4=80 比值相等 (2) 天鹅迁徙的飞行速 度 (3) 答案不唯一,如80∶1=160∶2 160∶ 2=320∶4 4. 林林的想法不对 理由:1.95千米=1950米, 0.5时=30分,390∶6=65,1950∶30=65,390∶ 6=1950∶30,笑笑、聪聪各自走的路程和时间之比 能组成比例。 5. (1) 半径之比:4∶7 周长之比:8π∶14π=4∶7 能组成比例 因为它们的比值相等 (2) 半径之 比:4∶7 面积之比:16π∶49π=16∶49 不能组 成比例 因为它们的比值不相等 方法归纳 判断两个比能否组成比例的方法 判断两个比能否组成比例,关键要看它们 的比值是否相等。若比值相等,则能组成比 例;若比值不相等,则不能组成比例。 6. 第四个数:72÷(8+1)=8 第一个数:8×8= 64 第二个数:64÷2.5=25.6 第三个数:2.5× 8=20 64∶25.6=20∶8 解析:由题意可知,将第四个数看作1份,则第一个 数是这样的8份,因此第四个数是72÷(8+1)= 8,第一个数是8×8=64,再根据“两个比的比值是 2.5”,依次求出第二个数、第三个数。 第2课时 比例的基本性质 1. (1) 7 3 y3 易错分析 逆用比例的基本性质 把等式ax=by 改写成比例时(a、b、x、y 均不为0),相乘的两个字母必须同时作比例的 外项或内项。 (2) 20 (3) 10 7 (4) 36π 2. (1) 8×2.4=19.2 6×3.2=19.2 19.2= 19.2 可以组成比例 (2) 3 5×12= 36 5 15× 3 4= 45 4 36 5≠ 45 4 不可以组成比例 (3) 45× 0.3=13.5 14×54=13.5 13.5=13.5 可以组 成比例 3. 两人行走的路程与时间之比能组成比例 420∶6=525∶7.5 这个比例的内项是6和525, 外项是420和7.5(或525∶7.5=420∶6 这个比 例的内项是7.5和420,外项是525和6) 4. (1) 10 (2) 3.6 (3) 90 5. 不对 80÷40=2(下) 1分半=90秒 160÷ 90=169 (下) 2≠169 所以小丽说得不对 6. 答案不唯一,如a∶c=d∶b b∶c=d∶a c∶a=b∶d d∶a=b∶c 解析:因为a、b是三 角形对应的底和高,c、d 也是三角形对应的底和 高,三角形的面积一定,所以有ab=cd,逆用比例 的基本性质,即可改写成比例。 7. C 解析:由比例的基本性质知,ad=bc,当b 乘4,c不变时,bc扩大到原来的4倍。要使比例 仍然成立,则ad 也要扩大到原来的4倍,而a 除 以4,所以d应该乘16。 第3课时 解 比 例 1. x=38 x= 3 2 x=5.8 x=0.48 2. 解:设嫦娥六号探测器的实际高度约是xcm。 60∶x=1∶12 x=720 720cm=7.2m 3. (1) 解:设小刚大约能跳xm。 x∶1.2=6∶1 x=7.2 (2) 解:设小彤在地球上大约能跳xm。 11.4∶x=6∶1 x=1.9 4. (1) 12 (2) 520 (3) 7 (4) 2 3 5. 3.14×6×6+3.14×(6÷2)2×2=169.56(cm2) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 解:设这个球的表面积是xcm2。 169.56∶x= 3∶2 x=113.04 6. 解:设图书角原来有故事书x本。 (x+10)∶ 6x=1∶3 x=10 解析:根据题意,设图书角原 来有故事书x 本,则有科普书6x 本,后来又买来 10本故事书,则现在有故事书(x+10)本,根据现 在故事书与科普书的本数比列出比例并解答。 方法归纳 用比例解决问题的方法 先根据题目中的比例关系设未知数列出 比例,再根据比例的基本性质解比例。 第4课时 练 习 课 1. (1) C (2) A (3) C 2. x=1.2 x=528 3. (1) 1 10∶ 1 8=4∶5 (2) 解:设刘阿姨每小时加 工x个零件。 x∶60=4∶5 x=48 4. (1) 答案不唯一,如a∶b=c∶d 解析:根据 第一、二幅图中四个小长方形的面积可知,15∶ 30=45∶90,10∶15=20∶30,所以a∶b=c∶d。 (2) 27 5. 解:设需要x克食盐。 x∶306=1∶(1+50) x=6 解析:因为食盐水的质量是306克,所以需 要将“食盐与水的质量比是1∶50”转化为食盐与 食盐水的质量比是1∶(1+50),再列出比例解答。 6. 解:设A商品的原价是5x元,则B商品的原价 是3x元。 (5x+40)∶(3x+40)=3∶2 x= 40 A商品:5×40=200(元) B商品:3×40= 120(元) 解析:根据题意,可设A商品的原价是 5x元,B商品的原价是3x 元,则两种商品的价格 分别上涨40元后,价格分别是(5x+40)元、(3x+ 40)元,再与分别上涨40元后的价格之比3∶2组 成含有未知数的比例(5x+40)∶(3x+40)=3∶ 2,解比例,进而求出A、B两种商品的原价。 2. 正比例和反比例 第5课时 正 比 例 1. (1) D (2) D 2. 正 6001 = 1800 3 = 3600 6 =600 (一定),所以“运- 20”运货的路程和时间成正比例关系 3. (1) 300 3 1500 (2) 正 (3) 7.5 4. (1) 成正比例关系 理由:151= 30 2= 45 3= 60 4= 75 5=15 (一定),所以喷水量与喷涌天数成正比例 关系。 (2) 射线 5. (1) 正 解析:由题图可知,购买两种练习本各 自的应付金额与对应数量的比值都是一定的。 (2) 6 8 解析:由题图可知,甲练习本的单价是 0.8元/本,乙练习本的单价是(2.4÷4)元/本,即 0.6元/本。根据“数量=总价÷单价”,即可求出 当应付金额为4.8元时,甲、乙两种练习本分别可 以买的数量。 知识归纳 正比例关系的图象 正比例关系的图象是一条从(0,0)出发的 射线。从图象中可以直观地看到两种量的变 化规律,由一种量的值有时可以直接找到对应 的另一种量的值。 第6课时 反 比 例 1. C 2. (1) 每行站的人数随着站的行数减少而增多 (合理即可) (2) 成反比例关系 因为3×16= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51