4.2 正比例和反比例-【拔尖特训】2024-2025学年六年级下册数学（人教版 浙江专用）

2. 正比例和反比例 第5课时 正 比 例 1. 选择。 (1) (温州苍南)下面表示x 与y(x、y 都不 为0)成正比例关系的式子是( )。 A. 6x+5=y B. x-y=4 C. 2x=1y D. 3x=y (2) 下面的选项中,相关联的两种量成正比 例关系的是( )。 A. 圆的面积和半径 B. 时间和路程 C. 一段路,修好的米数和剩下的米数 D. 定期两年的利息与本金 2. “运-20”是我国自主研制的大型运输机,“运- 20”运货的时间和路程如下表所示。 时间/h 1 3 6 … 路程/km 600 1800 3600 … “运-20”运货的路程和时间成( )比例关 系,理由是( )。 3. (社会生活)高铁是我国的一张亮丽的名片。下 图是一列高铁在铁路上行驶的时间和路程情况。 (1) 填表。 时间/h 1 5 路程/km 900 (2) 这列高铁行驶的路程和时间成( )比 例关系。 (3) 照这样的速度,行驶2250km,需要( )h。 4. (地域景观)趵突泉被誉为“天下第一泉”,是 泉城济南的象征与标志,每天吸引着许多游 客。下面是趵突泉某段时间内的喷涌天数和 喷水量的统计表。 喷涌天数 1 2 3 4 5 喷水量/万立方米 15 30 45 60 75 (1) 喷水量与喷涌天数成正比例关系吗? 请 判断并说明理由。 (2) 在下图中描出表示喷涌天数与对应喷水 量的点,然后把它们按顺序连起来并延长,得 到一条( )。 5. ★(思维过程)下面的图象表示某段时间衢州 椪柑、常山胡柚的应付金额与数量情况。 (1) 购买两种水果各自的应付金额与对应数 量成( )比例关系。 (2) 当应付金额为30元时,衢州椪柑、常山 胡柚分别可以买( )千克和( )千克。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 4　比　例 第6课时 反 比 例 1. (金华婺城区)下面的选项中,两种量成反比 例关系的是( )。 A. 如果5x=8y,那么x和y B. 铺地面积一定,每块砖的面积和砖的块数 C. 同时同地,竹竿的长和它的影长 D. 同学们的年龄一定,他们的身高与体重 2. (五育并举)“向快乐出发,与健康同行”,实验 小学举行韵律操比赛。六(1)班每行站的人 数和站的行数情况如下表所示。 每行站的人数 3 4 6 12 16 站的行数 16 12 8 4 3 (1) 每行站的人数是怎样随着站的行数的变 化而变化的? (2) 每行站的人数与站的行数成什么比例关 系? 为什么? 3. (社会生活)某服装厂接到一笔校服订单,每 小时制作校服的数量与所需时间之间的关系 如下表所示。 每小时制作校服的数量/件 9 12 18 24 所需时间/时 80 60 40 30 (1) 这笔订单一共有( )件。 (2) 如果每小时制作校服a件,所需时间为 t小时,那么a和t成( )比例关系,关系 式为( )。(a、t均大于0) 4. 一个三角形的面积是24cm2,它的底与对应 的高如下表所示,请把下表补充完整。 底/cm 12 8 高/cm 2 3 5 (1) 这个三角形的底和对应的高成( )比 例关系。 (2) 当这个三角形的高是1.6cm时,对应的 底是( )cm。 5. (时事热点)无人驾驶汽车是未来交通的变革 者。某汽车公司对自主研发的一款无人驾驶 汽车的性能进行测试,这款无人驾驶汽车在 某段路上行驶的速度和它行驶完全程所用时 间的情况如下图所示。 (1) 该图象反映的是( )和( )两种相 关联的量,它们成( )比例关系。 (2) 若这款无人驾驶汽车2.5小时行驶完全 程,则这款无人驾驶汽车每小时行驶( ) 千米。 6. (推理意识)已知1 12×A= 1 B×12 (A、B 均不 为0),A 与B 是否成比例关系? 如果成比例 关系,那么成什么比例关系? 请写出思考过程。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63 数学(人教版·浙江专用)六年级下 第7课时 练 习 课 1. (温州苍南)观察表格,如果x 与y 成正比例 关系,那么“?”处填( );如果x 与y 成反 比例关系,那么“?”处填( )。 x 6 ? y 25 50 2. (地域美食)茴香豆是绍兴的传统小吃,酥软 清甜,香味浓郁。下面是茴香豆的数量与总 价的关系,请将表格填写完整。 数量/袋 0 1 3 5 … 总价/元 0 9 45 72 … 在下图中描出表示数量与对应总价的点,然 后把这些点按顺序连起来并延长。 (1) 茴香豆的总价与数量成( )比例 关系。 (2) 点(10,90)在这条射线上吗? 这一点表 示什么含义? (3) 王阿姨买的茴香豆的数量是丁阿姨的 3 5 ,王阿姨花的钱比丁阿姨少百分之多少? 3. 填空。 (1) (推理意识)有a、b、c三种相关联的量 (a、b、c均不为0),且a∶0.5=b∶c。 ① 当a一定时,b和c成( )比例关系。 ② 当b一定时,a和c成( )比例关系。 ③ 当c一定时,b和a 成( )比例关系。 (2) 一块三角形木板的面积是75dm2,若它 的底为xdm,对应的高为ydm,则x和y成 ( )比例关系,它们的关系用图象表示出 来是一条( )线。 4. (探究创新)如果x、y 是两种成反比例关系 的量(x、y均不为0),那么x增加40%时,y 怎样变化,x、y仍然是两种成反比例关系的量? 5. (几何直观)如图,在平行四边形ABCD 中, 边AB 的长是10cm,边AB 上的高是9cm。 (1) 图中成反比例关系的两种量是( ) 和( )。 (2) 如果平行四边形ABCD 的周长是50cm, 那么边AD 上的高是多少厘米? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 73 4　比　例 6. 解:设图书角原来有故事书x本。 (x+10)∶ 6x=1∶3 x=10 解析:根据题意,设图书角原 来有故事书x 本,则有科普书6x 本,后来又买来 10本故事书,则现在有故事书(x+10)本,根据现 在故事书与科普书的本数比列出比例并解答。 方法归纳 用比例解决问题的方法 先根据题目中的比例关系设未知数列出 比例,再根据比例的基本性质解比例。 第4课时 练 习 课 1. (1) C (2) A (3) C 2. x=1.2 x=528 3. (1) 1 10∶ 1 8=4∶5 (2) 解:设刘阿姨每小时加 工x个零件。 x∶60=4∶5 x=48 4. (1) 答案不唯一,如a∶b=c∶d 解析:根据 第一、二幅图中四个小长方形的面积可知,15∶ 30=45∶90,10∶15=20∶30,所以a∶b=c∶d。 (2) 27 5. 2∶3×12 =4∶3 解:设种植玉米的面积是 xm2。 100∶x=4∶3 x=75 解析:平行四边形和三角形的高相等,底长的比为 2∶3,则它们的面积比为2∶3×12 =4∶3,设种 植玉米的面积是xm2,列比例求解即可。 6. 解:设A商品的原价是5x元,则B商品的原价 是3x元。 (5x+40)∶(3x+40)=3∶2 x= 40 A商品:5×40=200(元) B商品:3×40= 120(元) 解析:根据题意,可设A商品的原价是 5x元,B商品的原价是3x 元,则两种商品的价格 分别上涨40元后,价格分别是(5x+40)元、(3x+ 40)元,再与分别上涨40元后的价格之比3∶2组 成含有未知数的比例(5x+40)∶(3x+40)=3∶ 2,解比例,进而求出A、B两种商品的原价。 2. 正比例和反比例 第5课时 正 比 例 1. (1) D (2) D 2. 正 6001 = 1800 3 = 3600 6 =600 (一定),所以“运- 20”运货的路程和时间成正比例关系 3. (1) 300 3 1500 (2) 正 (3) 7.5 4. (1) 成正比例关系 理由:151= 30 2= 45 3= 60 4= 75 5=15 (一定),所以喷水量与喷涌天数成正比例 关系。 (2) 射线 5. (1) 正 解析:由题图可知,购买两种水果各自 的应付金额与对应数量的比值都是一定的。 (2) 7.5 10 解析:由题图可知,衢州椪柑的单价 是4元/千克,常山胡柚的单价是(12÷4)元/千克, 即3元/千克。根据“数量=总价÷单价”,即可求 出当应付金额为30元时,衢州椪柑、常山胡柚分别 可以买的数量。 知识归纳 正比例关系的图象 正比例关系的图象是一条从(0,0)出发的 射线。从图象中可以直观地看到两种量的变 化规律,有时由一种量的值可以直接找到对应 的另一种量的值。 第6课时 反 比 例 1. B 2. (1) 每行站的人数随着站的行数减少而增多 (合理即可) (2) 成反比例关系 因为3×16= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 4×12=6×8=12×4=16×3=48(一定),所以每 行站的人数与站的行数成反比例关系 3. (1) 720 (2) 反 at=720 4. 24 16 4 9.6 6 (1) 反 解析:根据三角形的面积计算公式可知, 底×高=24×2=48(cm2),乘积是一定的,所以三 角形的底和对应的高成反比例关系。 (2) 30 5. (1) 速度 时间 反 解析:根据题图可知,速 度与时间的乘积是一定的,所以速度和时间成反比 例关系。 (2) 48 6. 成比例关系 112×A= 1 B×12 A 12= 12 B AB=144(一 定) A 与B 成反比例关系 解析:将1 12×A= 1 B×12 变形为A 12= 12 B ,再由比例 的基本性质得AB=144,即A 与B 的乘积是144 (一定),所以A 与B 成反比例关系。 第7课时 练 习 课 1. 12 3 2. 27 8 (1) 正 (2) 点(10,90)在这条射线上,这一点表 示10袋茴香豆的总价是90元 (3) 1-35 ÷1=40% 3. (1) ① 正 解析:由a∶0.5=b∶c得bc=2a (一定),所以b和c成正比例关系。 ② 反 解析:由a∶0.5=b∶c得ac=12b (一定), 所以a和c成反比例关系。 ③ 正 解析:由a∶0.5=b∶c得ba=2c (一定), 所以b和a成正比例关系。 (2) 反 曲 解析:根据三角形的面积计算公式可 知,1 2xy=75 ,即xy=150(一定),所以x 和y 成 反比例关系,图象是一条曲线。 4. y 减少它的 2 7 或y变为它的 5 7 解析:x、y 是两种成反比例关系的量,那么它们的乘积一定。 当x增加40%时,变为(1+40%)x=75x ,要使 x、y仍然是两种成反比例关系的量,所以y 要变 为5 7y ,即y减少它的 2 7 或变为它的5 7 。 5. (1) 平行四边形的底 对应的高 (2) 50÷2-10=15(cm) 解:设边AD 上的高是 xcm。 15x=10×9 x=6 解析:因为平行四 边形ABCD 的周长是50cm,且AB=10cm,所以 边AD 的长是50÷2-10=15(cm)。再根据“底× 高=平行四边形的面积(一定)”列比例解答即可。 3. 比例的应用 第8课时 比 例 尺(1) 1. (1) 1∶200000 (2) 10 (3) 正 2. (1) 330 千 米 =33000000 厘 米 13.2∶ 33000000=1∶2500000 (2) 知识归纳 比例尺的种类 比例尺有线段比例尺和数值比例尺两种 形式,在互化和求比例尺的过程中,要注意单 位的统一。 3. 42∶28=1.5∶1 4. 880米=88000厘米 明明:1.1∶88000=1∶ 80000 莉莉:2.2∶88000=1∶40000 明明是在 比例尺为1∶80000的地图上量得天安门广场南北 长1.1厘米,莉莉是在比例尺为1∶40000的地图 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61