4.1 比例的意义和基本性质-【拔尖特训】2024-2025学年六年级下册数学（人教版 浙江专用）

4 比　例 1. 比例的意义和基本性质 第1课时 比例的意义 1. 填空。 (1) (金华婺城区)18的因数有( ), 选出其中四个数组成的比例是( )。 (2) 当x=( )时,0.9∶x和3∶2能组成 比例。 2. 下面各表中相对应的两种量的比能否组成比 例? 如果能,把组成的比例写在横线上;如果 不能,在横线上画“✕”。 (1) 数量/支 5 8 总价/元 12.5 20 (2) 已读的页数 10 20 未读的页数 50 40 (3) 看书的天数 3 7 看书的页数 24 56 3. (地域景观)每年冬天,来自西伯利亚等地的 天鹅迁徙到山东荣成过冬。美丽的天鹅吸引 了无数来荣成观光旅游的游客。天鹅迁徙的 飞行情况如下表所示。 时间/时 1 2 3 4 … 路程/千米 80 160 240 320 … (1) 写出相对应的路程与时间的比,求出比 值并比较大小。 (2) 这个比值表示( )。 (3) 根据表中的数据写出两个比例。 4. (市政建设)2024年台州市政府的一项民生 实事项目为建成公共领域充电站80座、充电 桩1000个。如果一、二月份共建成充电站 10座,上半年共建成充电站42座,那么一、二 月份建成充电站的数量和月数的比与上半年 建成充电站的数量和月数的比能组成比例吗? 5. ★早上,莉莉的妈妈做了两张煎饼(如图)。 (1) A煎饼和B煎饼的半径比与周长比分别 是多少? 它们能组成比例吗? 为什么? (2) A煎饼和B煎饼的半径比与面积比分别 是多少? 它们能组成比例吗? 为什么? 6. (推理意识)在一个比例中,第一个数与第四 个数的和是72,第一个数是第四个数的8倍, 两个比的比值是2.5。请你写出这个比例。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 第2课时 比例的基本性质 1. 填空。 (1) ★已知3x=7y(x、y 均不为0),则x∶ y=( )∶( ), x 7= ( ) ( ) 。 (2) (杭州萧山区)在一个比例中,两个内项 的积是最小的合数,一个外项是1 8 ,另一个外 项是( )。 (3) (温州苍南)如果A×25=B÷3 (A、B 均 不为0),那么A∶B=( )∶( )。 (4) 一个圆的半径是rcm,若r∶9=4∶r, 则这个圆的面积是( )cm2。(结果保留π) 2. 运用比例的基本性质,判断下面三组中的两 个比是否可以组成比例。 (1) 8∶6和3.2∶2.4 (2) 3 5∶15 和3 4∶12 (3) 45∶14 和54∶0.3 3. (社会生活)据调查,健步走是浙江居民平时 参加得最多的运动项目。王伯伯、李伯伯参 加健步走活动,王伯伯9分钟走630米,李伯 伯7.5分钟走525米。两人行走的路程与时 间之比能否组成比例? 如果能,请指出比例 的内项和外项。 4. 再添加一个数,使它和6、30、18分别满足下 面的条件并组成比例。 (1) 把6和30同时作为外项(或内项),再添 加( )可以组成比例。 (2) 把6和18同时作为外项(或内项),再添 加( )可以组成比例。 (3) 把30和18同时作为外项(或内项),再 添加( )可以组成比例。 5. 从下面的古诗中选取4个数组成一个比例。 比例一: 比例二: 6. (几何直观)如图,三角形的边a上的高为b, 边c上的高为d。根据这些信息,可以组成 哪些比例? (至少写出四个) 7. (思维过程)已知a∶b=c∶d,若a除以4,b 乘4,c不变,要使比例仍然成立,则d 应该 ( )。 A. 不变 B. 除以8C. 乘16 D. 除以16 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 数学(人教版·浙江专用)六年级下 第3课时 解 比 例 1. (杭州萧山区)已知比例的两个内项分别是 9.6和x,两个外项分别是1.2和6。请列出 比例,并解比例。 2. (自然科普)据研究,月球引力与地球引力之 比约为1∶6,理论上同一个人在月球上能跳 到的高度与在地球上能跳到的高度之比约为 6∶1。 (1) 小刚在阳光运动会上的跳高成绩是1.2m, 如果在月球上,那么他大约能跳多少米? (2) 如果小彤在月球上能跳11.4m,那么她 在地球上大约能跳多少米? 3. (地域景观)西湖位于浙江省杭州市,东西宽 与南北长的长度比是7∶8,南北长约3.2千 米。东西宽比南北长约短多少千米? 4. 填空。 (1) 已知 4 2.8= x+8 14 ,则x=( )。 (2) 一种糖水,糖与水的质量比是3∶23。用 60g糖可以配制这种糖水( )g。 (3) 最大的一位数与最小的质数的比等于x 与14 9 的比,x的值是( )。 (4) 若x∶10=2.5∶5,x∶6=a∶0.8,则a 的值是( )。 5. (模型意识)古希腊数学家阿基米德发现,当 圆柱容球(把球放在一个圆柱形容器中,盖上 盖子后,球恰好与圆柱的上、下底面及侧面紧 密接触)时,圆柱与球的表面积之比为3∶2。 如图所示为圆柱容球模型,这个球的表面积 是多少? 6. ★(思维过程)六(1)班图书角的故事书与科 普书的本数比是1∶6,后来同学们又买来 10本故事书,于是故事书与科普书的本数比 变成1∶3。图书角原来有故事书多少本? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 4　比　例 第4课时 练 习 课 1. 选择。 (1) 若比例的两个内项的积是最小的质数, 其中一个外项是0.4,则另一个外项是( )。 A. 2 B. 15 2 C. 5 D. 5 2 (2) (宁波江北区)根据4×6=3×8,可以写 出( )个不同的比例。 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 (3) (几何直观)如图,若长方形的周长与正 五边形的周长相等,则a∶b等于( )。 A. 2∶5 B. 6∶5 C. 5∶6 D. 5∶3 2. 解比例。 80 16=6∶x 1 7∶ 2 5=x∶ 1 2 3. 张阿姨、刘阿姨是杭州某汽车公司的职工。 张阿姨8小时加工零件的数量与刘阿姨 10小时加工零件的数量相同。 (1) 刘阿姨与张阿姨的工作效率之比是 多少? (2) 张阿姨每小时加工60个零件,刘阿姨每 小时加工多少个零件? 4. (探索规律)将任意一个长方形分成四个小长 方形,面积分别用a、b、c、d 表示,这些面积 之间存在着某种规律。请观察下面三幅图 (单位:cm2),解答问题。 (1) 用比例表示a、b、c、d 之间的关系为 ( )。 (2) 第三幅图中右下角的小长方形的面积d 是( )cm2。 5. (五育并举)实验小学有一块梯形劳动实践基 地,这块梯形劳动实践基地被分成两部分,平 行四边形部分种植番薯,三角形部分种植玉 米(如图)。如果种植番薯的面积是100m2, 且BE∶EC=2∶3,那么种植玉米的面积是 多少? 6. (思维过程)A、B两种商品的价格之比为5∶ 3,如果它们的价格分别上涨40元,那么价格 之比变为3∶2。A、B两种商品的原价分别 是多少元? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 43 数学(人教版·浙江专用)六年级下 水相当于圆柱形容器容积的 1 2- 1 3 ,所以圆柱 形容器的容积是 12÷ 12- 1 3 􀭠􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 升。 第3单元整合提升 1. 2×3.14×15=94.2(cm) 94.2+15×2×2= 154.2(cm) 154.2×(15×2)=4626(cm2) 解析:大长方形的长是圆柱的底面周长与两条底面 直径的和,大长方形的宽等于圆柱的底面直径,据 此求出大长方形的面积。 2. 9.42÷3.14÷2=1.5(dm) 3.14×1.52× 9.42≈67(dm3) 解析:由题意知,铁桶的底面周 长是9.42dm,高是9.42dm,因此底面半径是 9.42÷3.14÷2=1.5(dm),再根据“V=πr2h”计 算即可求出铁桶的容积。 3. (25×16+25×10+16×10)×2+2×3.14× 5×12=1996.8(cm2) 解析:长方体的表面积与 圆柱的侧面积之和就是涂防锈材料的面积。 4. 40×40×5+3.14×40×40÷2+3.14×(40÷ 2)2=11768(cm2) 5. 6÷2=3(cm) 3.14×32×(25-18)= 197.82(cm3) 197.82cm3=197.82mL 解析:亮亮喝的饮用水的体积相当于底面半径是 (6÷2)cm、高是(25-18)cm的圆柱的体积。 6. 62.8÷3.14÷2=10(cm) 3.14×102×5= 1570(cm3) 解析:底面周长是62.8cm,则底面半 径是62.8÷3.14÷2=10(cm),上升部分的水的体 积就是铁块的体积,即(3.14×102×5)cm3。 7. 1 3×3.14×2 2×6=25.12(cm3) 解析:将三角形ABC 以边AC 所在的直线为轴旋 转一周,得到两个圆锥,圆锥的底面半径是2cm, 高分别是AD、CD 的长度,而AD 与CD 的长度和 为6cm,所以这个立体图形的体积为13×3.14× 22×6=25.12(cm3)。 8. 2×3.14×(5+2)×6+2×3.14×5×6= 452.16(cm2) 3.14×[(5+2)2-52]×2= 150.72(cm2) 452.16+150.72=602.88(cm2) 解析:旋转后得到一个空心圆柱(如图),这个空心 圆柱的表面积是两个圆柱的侧面积与两个环形的 面积之和。 9. 3.14×12×80=3014.4(cm2) 解析:求制作一节通风管所需要的铁皮面积,实际 上是求圆柱的侧面积。 10. 圆柱与圆锥底面积的比:22∶12=4∶1 体积的比:(4×1)∶ 13×1×3 =4∶1 圆柱的体积:18.84× 44-1=25.12 (立方厘米) 圆锥的体积:18.84× 14-1=6.28 (立方厘米) 解析:由圆柱、圆锥底面半径的比是2∶1知,它们 的底面积的比是22∶12=4∶1;又因圆柱、圆锥高 的比是1∶3,所以它们的体积的比是(4×1)∶ 1 3×1×3 =4∶1,进而根据它们的体积之差是 18.84立方厘米,分别算出圆柱、圆锥的体积。 11. 解:设圆柱的高是xcm。 15×15×(15- x)=15×15×5-15×15×15×5 x=11 15× 15×15×11=495 (cm3) 解析:根据题意知,容器 正放、倒放时空余部分的容积相等。正放时,容器 空余部分的容积=正方体的底面积×(15cm-圆 柱的高);倒放时,容器空余部分的容积=正方体的 底面积×5cm-圆柱的底面积×5cm,列方程解答 即可求出圆柱的高,进而求出圆柱的体积。 4　比　例 1. 比例的意义和基本性质 第1课时 比例的意义 1. (1) 1、2、3、6、9、18 1∶2=3∶6(第2空答案不 唯一) (2) 0.6 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 2. (1) 答案不唯一,如12.5∶5=20∶8 (2) ✕ (3) 答案不唯一,如24∶3=56∶7 解析:判断两种量的比能否组成比例,要看这两种 量组成的比的比值是否相等。 3. (1) 80∶1=80 160∶2=80 240∶3=80 320∶4=80 比值相等 (2) 天鹅迁徙的飞行速 度 (3) 答案不唯一,如80∶1=160∶2 160∶ 2=320∶4 4. 10∶2=5 42∶6=7 5≠7 不能组成比例 5. (1) 半径比:4∶7 周长比:2×4×π∶2×7× π=4∶7 能组成比例 因为它们的比值相等 (2) 半径比:4∶7 面积比:42π∶72π=16∶49 不能组成比例 因为它们的比值不相等 方法归纳 判断两个比能否组成比例的方法 判断两个比能否组成比例,关键要看它们 的比值是否相等。若比值相等,则能组成比 例;若比值不相等,则不能组成比例。 6. 第四个数:72÷(8+1)=8 第一个数:8×8= 64 第二个数:64÷2.5=25.6 第三个数:2.5× 8=20 64∶25.6=20∶8 解析:由题意可知,将第四个数看作1份,则第一个 数是这样的8份,因此第四个数是72÷(8+1)= 8,第一个数是8×8=64,再根据“两个比的比值是 2.5”,依次求出第二个数、第三个数。 第2课时 比例的基本性质 1. (1) 7 3 y3 易错分析 逆用比例的基本性质 把等式ax=by 改写成比例时(a、b、x、y 均不为0),相乘的两个字母必须同时作比例的 外项或内项。 (2) 32 (3) 5 6 (4) 36π 2. (1) 8×2.4=19.2 6×3.2=19.2 19.2= 19.2 可以组成比例 (2) 3 5×12= 36 5 15× 3 4= 45 4 36 5≠ 45 4 不可以组成比例 (3) 45× 0.3=13.5 14×54=13.5 13.5=13.5 可以组 成比例 3. 两人行走的路程与时间之比能组成比例 630∶9=525∶7.5 这个比例的内项是9和525, 外项是630和7.5(或525∶7.5=630∶9 这个比 例的内项是7.5和630,外项是525和9) 4. (1) 10 (2) 3.6 (3) 90 5. 答案不唯一,如比例一:1∶2=4∶8 比例二: 2∶3=4∶6 6. 答案不唯一,如a∶c=d∶b b∶c=d∶a c∶a=b∶d d∶a=b∶c 解析:因为a、b是三 角形对应的底和高,c、d 也是三角形对应的底和 高,三角形的面积一定,所以有ab=cd,逆用比例 的基本性质,即可改写成比例。 7. C 解析:由比例的基本性质知,ad=bc,当b 乘4,c不变时,bc扩大到原来的4倍。要使比例 仍然成立,则ad 也要扩大到原来的4倍,而a 除 以4,所以d应该乘16。 第3课时 解 比 例 1. 1.2∶9.6=x∶6(答案不唯一) x=34 2. (1) 解:设小刚大约能跳xm。 x∶1.2=6∶1 x=7.2 (2) 解:设小彤在地球上大约能跳xm。 11.4∶x=6∶1 x=1.9 3. 解:设西湖东西宽约x千米。 x∶3.2=7∶8 x=2.8 3.2-2.8=0.4(千米) 4. (1) 12 (2) 520 (3) 7 (4) 2 3 5. 3.14×6×6+3.14×(6÷2)2×2=169.56(cm2) 解:设这个球的表面积是xcm2。 169.56∶x= 3∶2 x=113.04 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 6. 解:设图书角原来有故事书x本。 (x+10)∶ 6x=1∶3 x=10 解析:根据题意,设图书角原 来有故事书x 本,则有科普书6x 本,后来又买来 10本故事书,则现在有故事书(x+10)本,根据现 在故事书与科普书的本数比列出比例并解答。 方法归纳 用比例解决问题的方法 先根据题目中的比例关系设未知数列出 比例,再根据比例的基本性质解比例。 第4课时 练 习 课 1. (1) C (2) A (3) C 2. x=1.2 x=528 3. (1) 1 10∶ 1 8=4∶5 (2) 解:设刘阿姨每小时加 工x个零件。 x∶60=4∶5 x=48 4. (1) 答案不唯一,如a∶b=c∶d 解析:根据 第一、二幅图中四个小长方形的面积可知,15∶ 30=45∶90,10∶15=20∶30,所以a∶b=c∶d。 (2) 27 5. 2∶3×12 =4∶3 解:设种植玉米的面积是 xm2。 100∶x=4∶3 x=75 解析:平行四边形和三角形的高相等,底长的比为 2∶3,则它们的面积比为2∶3×12 =4∶3,设种 植玉米的面积是xm2,列比例求解即可。 6. 解:设A商品的原价是5x元,则B商品的原价 是3x元。 (5x+40)∶(3x+40)=3∶2 x= 40 A商品:5×40=200(元) B商品:3×40= 120(元) 解析:根据题意,可设A商品的原价是 5x元,B商品的原价是3x 元,则两种商品的价格 分别上涨40元后,价格分别是(5x+40)元、(3x+ 40)元,再与分别上涨40元后的价格之比3∶2组 成含有未知数的比例(5x+40)∶(3x+40)=3∶ 2,解比例,进而求出A、B两种商品的原价。 2. 正比例和反比例 第5课时 正 比 例 1. (1) D (2) D 2. 正 6001 = 1800 3 = 3600 6 =600 (一定),所以“运- 20”运货的路程和时间成正比例关系 3. (1) 300 3 1500 (2) 正 (3) 7.5 4. (1) 成正比例关系 理由:151= 30 2= 45 3= 60 4= 75 5=15 (一定),所以喷水量与喷涌天数成正比例 关系。 (2) 射线 5. (1) 正 解析:由题图可知,购买两种水果各自 的应付金额与对应数量的比值都是一定的。 (2) 7.5 10 解析:由题图可知,衢州椪柑的单价 是4元/千克,常山胡柚的单价是(12÷4)元/千克, 即3元/千克。根据“数量=总价÷单价”,即可求 出当应付金额为30元时,衢州椪柑、常山胡柚分别 可以买的数量。 知识归纳 正比例关系的图象 正比例关系的图象是一条从(0,0)出发的 射线。从图象中可以直观地看到两种量的变 化规律,有时由一种量的值可以直接找到对应 的另一种量的值。 第6课时 反 比 例 1. B 2. (1) 每行站的人数随着站的行数减少而增多 (合理即可) (2) 成反比例关系 因为3×16= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51