4.4 约分-【拔尖特训】2024-2025学年五年级下册数学（人教版 浙江专用）

4. 约　分 第10课时 最大公因数 1. 填一填。 2. (思维过程)先填表,再填空。 所有因数 8 20 24 (1) 8和20的公因数有( ),最 大公因数是( )。 (2) 8和24的公因数有( ),最 大公因数是( )。 (3) 20和24的公因数有( ),最 大公因数是( )。 (4) 8,20和24的公因数有( ),最 大公因数是( )。 我发现:两个数的公因数是它们最大公因数 的( )。 3. 找出下面各分数中分子和分母的最大公因 数,写在括号里。 8 16 ( ) 1826 ( ) 51 39 ( ) 1435 ( ) 4. (探索规律)想一想,填一填。 写出每组数的最大公因数,并说说你的发现。 3和7( ) 12和13( ) 8和17( ) 1和11( ) 我发现:当两个数的公因数只有( )时, ( )是它们的最大公因数。 3和6( ) 12和24( ) 36和72( ) 5和45( ) 我发现:当较大数是较小数的( )时, ( )是它们的最大公因数。 5. 选一选。 (1) “一个质数和一个合数的最大公因数一 定是1。”要证明这句话是错误的,可以用 ( )作为例子进行反驳。 A. 3和4 B. 8和9 C. 2和6 D. 9和11 (2) (湖州吴兴区)若甲数÷乙数=3(甲、乙两 数均为非0自然数),则它们的最大公因数是 ( )。 A. 1 B. 甲数 C. 乙数 D. 3 6. (算法探究)如图,用短除法可求出8和12的 最大公因数。 你能用短除法求出下面每组数的最大公因 数吗? 18和45 12,18和60 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 24 数学(人教版·浙江专用)五年级下 第11课时 解决问题 1. 李老师把42根跳绳和30个篮球平均分给了 五(1)班的几个小组,正好全部分完。五(1)班 最多有多少个小组? 每个小组分到的跳绳和 篮球各有多少? 2. 选一选。 (1) 甲、乙两数的最大公因数是12,它们的公 因数共有( )个。 A. 4 B. 6 C. 10 D. 12 (2) (生活应用)要给长5.4m、宽4.5m的地 面铺地砖,下面的四种正方形地砖中,能正好 铺满地面(不能切割)的是( )。 A. B. C. D. 3. (五育并举)小芳帮妈妈做家务,她打算将一 块长60分米、宽45分米的长方形布,裁成若 干块同样大小的正方形洗碗布且没有剩余 (边长是整分米数),一共有多少种不同的裁 法? 最少能裁成多少块正方形洗碗布? 4. (绍兴诸暨)老师把38本笔记本和49支圆珠 笔平均分给优秀学生,结果笔记本剩2本,圆 珠笔剩1支。优秀学生最多有几人? 每人分 到几本笔记本,几支圆珠笔? 5. 阳光村为美化某公路,从起点到终点每隔相 同的路程就种一棵柳树(如图)。最少要种多 少棵柳树? (起点、转折点、终点都要种) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 34 4　分数的意义和性质 第12课时 练 习 课 1. 填一填。 (1) 一个自然数的最小倍数和最大因数都是 16,这个数是( ),这个数和20的公因数 有( ),最大公因数是( )。 (2) 若a÷b=5(a,b均是非0自然数),则 a,b两数的最大公因数是( )。 (3) 把下面的数填到相应的括号里。 6 7 12 20 ① ( )和( )的最大公因数是1。 ② ( )和( )的最大公因数是2。 ③ ( )和( )的最大公因数是4。 ④ ( )和( )的最大公因数是6。 2. 选一选。 (1) 如果两个数的最大公因数是6,那么这两 个数的公因数有( )个。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (2) 36和某数的最大公因数是12,这个数不 可能是( )。 A. 24 B. 48 C. 72 D. 12 (3) 最大公因数是1的一组数为( )。 A. 25和20 B. 35和21 C. 12和35 D. 14和28 3. (传统文化)“五月五,过端午,粽香艾香飘满 堂。”端午节,小明家包了28个蛋黄粽子和 35个火腿粽子,把它们分别放在包装盒里, 要使每个包装盒里的粽子数量相等,每个包 装盒里最多放多少个粽子? 至少要准备多少 个包装盒? 4. (生活应用)“口袋公园”可以有效利用零碎地 和闲置地,为居民提供休闲场所。如图,某“口 袋公园”里有两条小道AM,MB,M 为转弯 点。小道AM 长240米,小道MB 长180米。 在这两条小道的一侧等距离安装路灯,A, M,B 三点必须各安装一盏路灯。这两条小 道最少要安装多少盏路灯? 5. (探索规律)写出下面各数与3的最大公因 数。你发现什么规律? 2 3 5 6 10 12 14 15 与3的最 大公因数 我发现:当一个数是质数的倍数时,它们的最 大公因数是( );当一个数不是质数的 倍数时,它们的最大公因数是( )。一个 数与质数的最大公因数只有( )种情况。 6. ★如图所示为长7分米、宽5分米、高4.5分 米的长方体木块。如果把它锯成若干块同样 大小的正方体木块,且没有剩余,那么可以锯 成棱长最大是多少厘米的正方体木块? 可以 锯成多少块? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 44 数学(人教版·浙江专用)五年级下 第13课时 约 分 1. (说理表达)下面三个大正方形的大小相同, 图中涂色部分同样大吗? 为什么? 2. 先圈出下面分数中的最简分数,再把不是最 简分数的化成最简分数。 18 27 14 20 24 40 33 22 5 7 24 25 25 30 10 13 3. 把上下两行相等的两个分数用线连起来。 4. 下面哪些分数在直线上能用同一个点表示? 把这些分数在直线上表示出来。 6 12 42 36 8 6 35 30 10 15 24 18 15 30 18 27 5. 填一填。 (1) 分数单位是1 10 的所有最简真分数有 ( )。 (2) (杭州富阳区)x 9 是一个最简真分数,且x 是一个合数,x是( )。 (3) 在括号里填上最简分数。 36mL=( )L 50kg=( )t 9个月=( )年 24dm2=( )m2 (4) 一个分数的分母比分子大64,约分后是 5 21 。这个分数原来是( )。 6. (生活应用)绍兴的一家纺织厂,要把一批60米 长的丝绸布料和一批48米长的亚麻布料裁 成相同长度的小段,并且没有剩余。每段布 料最长是多少米? 此时这批丝绸布料和亚麻 布料分别可以裁成多少段? 7. 一个最简分数n m ,m,n 均为质数,且m 与n 的差是6,和不大于20。这个最简分数可能 是多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 54 4　分数的意义和性质 第14课时 练 习 课 1. 先约分,再将每个分数化成带分数。 28 12 80 36 120 72 36 30 2. 先把下面的分数化成最简分数,再将原来的 分数按从小到大的顺序排列。 4 32= 45 72= 7 63= 98 56= 84 96= ( )<( )<( )<( )<( ) 3. (温州鹿城区)非遗研学小组制作廊桥模型, 把45个木块和27盒木条平均分给小组里的 所有成员,刚好都分完。这个小组最多有多 少人? 4. (学科融合)冬至是“二十四节气”中的第 22个节气,是北半球各地白昼最短的一天。 下面是某地冬至这天日出和日落的时间,白 昼的时间占全天的几分之几? 5. 选一选。 (1) 大于1 7 、小于1 6 的最简分数有( )个。 A. 1 B. 2 C. 4 D. 无数 (2) 下面的说法中,正确的是( )。 A. 若M+3 12 是最简真分数,则M 一定等于2 B. 一个分数约分后,分数值变小了 C. 分子为1的所有真分数都是最简分数 D. a和b都是合数,则ba 一定不是最简分数 6. (1) 在如图所示的三角形中,底是高的几分 之几? 高是底的几分之几? (2) 在图中涂出三角形面积的1 4 。 7. (算理理解)如果A=2×2×2×3×5,B= 2×3×5×7,那么A 和B 的最大公因数是 多少? 8. ★化简一个分数时,用2约了两次,用3约了 一次,用5约了一次,得25 。这个分数化简前 是多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 64 数学(人教版·浙江专用)五年级下 将分子和分母同时扩大相同的倍数,就可以找到这 两个分数之间的分数,分子和分母同时扩大的倍数 越大,找到符合要求的分数就越多。 第9课时 练 习 课 1. 14 10 13 1 8 24 60 36 8 3 2. 3. 2 3= 8 12 5 6= 10 12 8 24= 4 12 3 4= 9 12 18 72= 3 12 10 12> 9 12> 8 12> 4 12> 3 12 4. 25 50= 1 2 20 50= 40 100 笋片和香菇的质量相同,火 腿和绍酒的质量相同 5. (1) 缩小 12 (2) 扩大 2倍 (3) 缩小 14 (4) 13 41 解析:根据分数的基本性质可知,18= 2 16= 2 a+3 ,得a=13;18= 6 48= 6 b+7 ,得b=41。 6. 1-14= 3 4 3 4= 9 12 7 12< 9 12 芳芳看得多些 解析:先求出芳芳看了全书的几分之几,再比较谁 看得多些。由于两个分数的分子和分母都不相同, 不能直接比大小,可根据分数的基本性质,转化成 同分母分数,再比较大小。 7. 30÷(3+7)=3 3×37×3= 9 21 解析:原来的分数的分子与分母的和除以现在的分 数的分子与分母的和,得出分子与分母同时除以了 几,求原来的分数只需将现在的分数的分子与分母 同时乘几即可。 方法归纳 解决还原分数问题 运用抓不变量法,抓住分数值不变这一已 知条件,根据分数的基本性质进行分析和 转化。 4. 约　分 第10课时 最大公因数 1. 2. 所有因数 8 1,2,4,8 20 1,2,4,5,10,20 24 1,2,3,4,6,8,12,24 (1) 1,2,4 4 (2) 1,2,4,8 8 (3) 1,2,4 4 (4) 1,2,4 4 因数 3. 8 2 3 7 4. 1 1 1 1 1 1 3 12 36 5 倍数 较小数 5. (1) C (2) C 解析:因为甲数÷乙数=3(甲、乙两数均为 非0自然数),所以甲数是乙数的3倍。当两个数 为倍数关系时,较小数为它们的最大公因数,所以 甲、乙两数的最大公因数是乙数。 6. 最大公因数是3×3=9 最大公因数是2×3=6 解析:利用短除法(分解质因数的方法)求几个数的 最大公因数,先用几个数公有的质因数按从小到大 的顺序依次作除数,连续去除这几个数,直到得出 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 91 的几个商只有公因数1为止,再把所有的除数相 乘,所得的积就是这几个数的最大公因数。 第11课时 解决问题 1. 42 30 公因数 最大公因数 42和30的公因数有1,2,3,6,最大公因数是6, 五(1)班最多有6个小组 42÷6=7(根) 30÷6=5(个) 每个小组分到的跳绳有7根,篮球有5个 2. (1) B (2) A 3. 60和45的公因数有1,3,5,15 一共有4种不 同的裁法 正方形洗碗布的边长最长是15分米 60÷15×(45÷15)=12(块) 解析:求一共有多少 种不同的裁法,就是求60和45的公因数有多少 个。求最少能裁成多少块,就是以最大公因数作为 正方形洗碗布的边长,求出能裁成的块数。 4. 38-2=36(本) 49-1=48(支) 36和48的最 大公因数是12 优秀学生最多有12人 36÷12=3(本) 48÷12=4(支) 解析:去掉2本笔记本和1支圆珠笔,剩下的刚好 分完,所以要求优秀学生最多有几人,就是求36和 48的最大公因数。 5. 10,15和35的最大公因数是5 (10+15+35)÷5+1=13(棵) 解析:要在三段公路上每隔相同的路程种一棵柳 树,且起点、转折点、终点都要种,说明是两端都栽 的植树问题,相邻两棵树的间隔路程是10,15和 35的公因数,要使种的柳树最少,那么相邻两棵柳 树的路程就是10,15和35的最大公因数。求出间 隔个数后再加1就是种的柳树的棵数。 第12课时 练 习 课 1. (1) 16 1,2,4 4 (2) b (3) ① 答案不唯 一,如6 7 ② 6 20 ③ 12 20 ④ 6 12 2. (1) D (2) C (3) C 3. 28和35的最大公因数是7 每个包装盒里最 多放7个粽子 (28+35)÷7=9(个) 4. 240和180的最大公因数是60 (240+180)÷ 60+1=8(盏) 解析:路灯的盏数最少,则路灯的 间距要最大。因为要等距离安装,所以要先算出 240和180的最大公因数即最大间距。由题意可 知,本题属于两端都栽的植树问题,所以路灯的盏 数比间隔个数多1,据此求解。 5. 2 3 5 6 10 12 14 15 与3的最 大公因数 1 3 1 3 1 3 1 3 这个质数 1 2 6. 7分米=70厘米 5分米=50厘米 4.5分米=45厘米 70,50和45的最大公因数是5 可以锯成棱长最大是5厘米的正方体木块 70÷5×(50÷5)×(45÷5)=1260(块) 解析:先统一长度单位,再找出70,50和45的最大 公因数是5,也就是锯成的正方体木块的棱长最大 是5厘米,最后分别沿着长、宽和高锯出棱长是 5厘米的正方体木块,即可求得锯成的块数。 方法归纳 运用最大公因数解决问题 解决这类问题时,要先求出一组数据的最 大公因数,再用该组数据分别除以最大公因 数,最后把得到的结果相乘即可。 第13课时 约 分 1. 同样大 因为每个大正方形中的涂色部分都是 大正方形的1 4 ,每个大正方形的大小相同,所以它 们的1 4 也相同,即涂色部分同样大 2. 圈5 7 ,24 25 ,10 13 18 27= 2 3 14 20= 7 10 24 40= 3 5 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02 33 22= 3 2 25 30= 5 6 3. 4. 5. (1) 1 10 ,3 10 ,7 10 ,9 10 (2) 4或8 (3) 9 250 1 20 3 4 6 25 (4) 20 84 解析:约分后是5 21 ,说明原分数的分子与 分母同时除以它们的最大公因数后是5 21 。根据 “分母比分子大64”,可知原分数的分子与分母的 最大公因数是64÷(21-5)=4,所以原分数的分 子是4×5=20,分母是4×21=84。 6. 60和48的最大公因数是12 每段布料最长是 12米 丝绸布料:60÷12=5(段) 亚麻布料: 48÷12=4(段) 解析:求每段布料最长是多少米, 就是求60和48的最大公因数。分别用丝绸布料 和亚麻布料的长度除以每段布料的长度,得到每种 布料的段数。 7. 这个最简分数可能是5 11 ,11 5 ,7 13 ,13 7 解析:先写出20以内的质数:2,3,5,7,11,13,17, 19,再根据m 与n 的差是6,和不大于20,得出符 合条件的有两组数:5和11,7和13,从而有511 , 11 5 ,7 13 ,13 7 这4个最简分数。 第14课时 练 习 课 1. 28 12= 7 3=2 1 3 80 36= 20 9=2 2 9 120 72= 5 3=1 2 3 36 30= 6 5=1 1 5 2. 1 8 5 8 1 9 7 4 7 8 7 63 4 32 45 72 84 96 98 56 3. 45和27的最大公因数是9 最多有9人 4. 下午5时是17时 17-8=9(时) 9÷24=924= 3 8 5. (1) D (2) C 6. (1) 36÷15=3615= 12 5 15÷36= 15 36= 5 12 (2) 答案不唯一,如 7. 2×3×5=30 解析:用分解质因数法求最大公 因数,将两个数的质因数中相同的部分相乘即可。 8. 2×2×2×3×5 5×2×2×3×5= 120 300 解析:把2 5 的分子和分母同时乘2、乘2、乘3、乘5, 得到化简前的分数。 方法归纳 运用倒推法解决约分还原问题 已知约分后的最简分数求原来的分数,可 以运用倒推法将分子和分母分别按照提示逐 步倒推出原来的分子和分母。 5. 通　分 第15课时 最小公倍数 1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12