专题02 认识概率全章复习（二大考点7种题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

专题02 认识概率全章复习 目录 【题型一 事件的分类】 1 【题型二 判断事件的可能性大小】 3 【题型三 改变条件使事件发生的可能性相同】 4 【题型四 关于频率与概率关系说法判断正误】 5 【题型五 求某事件的频率】 7 【题型六 由频率估计概率】 8 【题型七 用频率估计概率的综合应用】 9 【题型一 事件的分类】 例题：（24-25九年级上·广东阳江·期末）汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（    ） A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．竹篮打水 【答案】C 【分析】本题考查了事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能会发生的事件是随机事件，据此判定即可求解，理解以上定义是解题的关键． 【详解】解：A. 旭日东升是必然事件； B. 画饼充饥是不可能事件； C. 守株待兔是随机事件； D. 竹篮打水是不可能事件； 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）下列事件中，必然事件是（    ） A．明天是晴天 B．地球自西向东自转 C．篮球队员在罚球线投篮一次，投中 D．掷一枚硬币，正面朝上 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、明天是晴天是随机事件，本选项不符合题意； B、地球自西向东自转是必然事件，本选项符合题意； C、篮球队员在罚球线投篮一次，投中是随机事件，本选项不符合题意； D、掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，本选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）“掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为6”这个事件是 事件．（填“随机”、“必然”或“不可能”） 【答案】随机 【分析】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义区别． 分析掷股子出现点数为6这一事件的发生性质． 【详解】掷一枚质地均匀的骰子，结果可能是1，2，3，4，5，6中的任意一个点数．“向上一面点数为6”这一情况可能发生，也可能不发生，符合随机事件．“在一定条件下，可能出现也可能不出现”的定义．而必然事件是肯定会发生的，不可能事件是肯定不会发生的，均不符合该事件的特征．因此，该事件是随机事件． 故答案为：随机． 【题型二 判断事件的可能性大小】 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）某路口红绿灯的时间设置为红灯，绿灯，黄灯．小明经过该路口时，遇到 灯的可能性最大，遇到 灯的可能性最小． 【答案】 绿 黄 【分析】本题考查了事件发生的可能性的大小，根据时间长短确定可能性的大小是解答的关键．根据在这几种灯中，每种灯时间的长短，即可得出答案． 【详解】解：因为绿灯持续的时间最长，黄灯持续的时间最短， 所以小明经过该路口时，遇到绿灯的可能性最大，遇到黄灯的可能性最小． 故答案为：绿；黄． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（   ） A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．旭日东升 【答案】D 【分析】本题考查了可能性大小的判断，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间，熟练掌握在一定情况下有可能发生，有可能不发生的事件是随机事件是解题的关键． 【详解】解∶A．守株待兔是极小概率事件，不符合题意； B．大海捞针是不可能事件，不符合题意； C．返老还童是不可能事件，不符合题意； D．旭日东升是必然事件，符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 D．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 【答案】D 【分析】本题考查事件发生的可能性与概率．由题意根据事件的可能性以及事件发生的概率对各选项进行依次判断即可． 【详解】解：A、“10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率最小”，故该选项错误，不符合题意； B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，奇数有3个，偶数有2个，取得奇数的可能性较大，故该选项错误，不符合题意； C、 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次有可能有1次正面朝上，故该选项错误，不符合题意； D、“小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件”，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【题型三 改变条件使事件发生的可能性相同】 例题：（24-25九年级上·四川广安·期末）一个不透明袋子中装有8个红球、个白球和3个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则的值不可能为（　　） A．10 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了可能性的大小的知识，根据摸到哪种球的可能性最大，哪种球的数量最大确定答案即可． 【详解】解：∵摸到红球的可能性最大， ∴三种颜色的球红球数量最大， ∴， ∴各个选项中，的值不可能为， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25六年级上·山东滨州·期末）已知一条不透明的袋子里装有20个橘子和若干个苹果．若任意摸一个，要使摸到的苹果的可能性大，袋子里至少装（   ）个苹果． A．20 B．19 C．21 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了判断事件发生的可能性的大小，根据装有20个橘子且使摸到的苹果的可能性大，则袋子里至少装21个苹果，即可作答． 【详解】解：∵一条不透明的袋子里装有20个橘子和若干个苹果．若任意摸一个，要使摸到的苹果的可能性大， ∴袋子里至少装21个苹果， 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）将5个红球和个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球．若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断即可得解，熟练掌握必然事件的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵不透明的袋子中有5个红球和个白球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球，事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件， ∴的值可以是， 故选：A． 【题型四 关于频率与概率关系说法判断正误】 例题：（24-25九年级上·河北邯郸·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．根据频率的稳定性解答即可． 【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性． 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列说法正确的是（   ） A．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 B．“买中奖率为的奖券张，中奖”是必然事件 C．投掷一枚图钉，“钉尖朝上”的概率可以用列举法求得 D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件，利用频率估计概率等知识点，正确理解随机事件的概念是解题的关键． 根据随机事件的概念，利用频率估计概率的原理分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A. “汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件，不是不可能事件，故选项不符合题意； B. “买中奖率为的奖券张，中奖”是随机事件，不是必然事件，故选项不符合题意； C. 投掷一枚图钉，由于“钉尖朝上”和“钉尖朝下”的可能性不是均等的，因此要获得“钉尖朝上”的概率不可以用列举法求得，可以利用实验的方法，故选项不符合题意； D. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率，此说法正确，故选项符合题意； 故选：． 2．（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 【答案】D 【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性． 故选：D． 【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的事件． 【题型五 求某事件的频率】 例题：（23-24九年级上·全国·课后作业）林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 【答案】B 【分析】本题主要考查频率的应用，根据成活率求出未成活率，再乘以2000即可得出结果． 【详解】解：（棵）， 故选：B 【变式训练】 1．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）小龙在纸上写下一组数字“20240222”，这组数字中2出现的频率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了频数与频率，熟练掌握频数与频率之间的关系是解答本题的关键． 根据频率=频数÷总次数，进行计算，得到答案． 【详解】解：∵8个数字中2出现了5次， ∴这组数字中2出现的频率， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用、频率的概念等知识点，根据题意列出代数式即可解答． 先求出参加扎染社团的学生数，然后除以全班总人数即可解答． 【详解】解：参加扎染社团的学生数为：， 八年级2班学生参加扎染社团的频率是． 故答案为． 【题型六 由频率估计概率】 例题：（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图是小明用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，理解大量反复试验下频率稳定值即概率是解题的关键．结合给出的图形以及在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，解答即可． 【详解】由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是． 故选B． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在学习“频率的稳定性”时，某班同学们共同完成了“抛图钉”的试验，同学们记录了500次抛图钉的试验数据如下，根据表格中的数据可以估计图钉钉尖朝上的概率约为 ． 试验总次数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 钉尖朝上的频率 0.69 【答案】 【分析】本题考查了用频率估计概率．分析表格频率特点是关键． 根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，对表格进行分析即可解答． 【详解】观察发现，随着试验次数的增多，钉尖朝上的频率逐渐稳定到常数， 抛一枚这样的图钉落地后钉尖朝上的概率约为． 故答案为：． 2．（22-23九年级上·湖南湘西·期末）某水果公司以2元/kg的成本价新进柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克定价大约 元（精确到角）比较合适．为解决此问题，销售人员首先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，结果如下： 柑橘总质量n/kg 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 频率（三位小数） 0.110 0.105 【答案】2.8 【分析】本题考查了利用频率估计概率及一元一次方程的应用，用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键．根据概率计算出完好柑橘的质量为千克，设每千克柑橘的销售价为元，然后根据“售价进价利润”列方程解答． 【详解】根据估计的概率可以知道，在10000千克柑橘中完好柑橘的质量为千克． 设每千克柑橘的销售价为元，则应有， 解得． 所以出售柑橘时每千克大约定价为2.8元可获利润5000元． 故答案为：2.8 【题型七 用频率估计概率的综合应用】 例题：（23-24九年级上·江西赣州·期末）在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有（    ）个 摸球的次数m 20 40 60 80 120 160 200 摸到白球的次数n 15 33 49 63 97 126 160 摸到白球的频率 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.79 0.8 A．无法估计 B．8个 C．6个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．同时也考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察可知概率在0.8左右．利用概率公式进行计算． 【详解】解：大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，观察可知概率在0.8左右， 设白球有个， ，解得． 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球个数 200 300 400 500 1000 1600 2000 摸到白球的个数 116 192 232 _______ 590 968 1202 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605 _______ (1)填写表中的空格； (2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.01）； (3)若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数． 【答案】(1)298；0.601 (2)0.60 (3)3个 【分析】本题考查了利用频率估计概率： （1）根据摸到白球的个数等于摸球个数乘以摸到白球的频率，摸到白球的频率等于摸到白球的个数除以摸球个数计算即可； （2）根据频率估计概率计算； （3）由概率的估计值可计算白球的个数． 【详解】（1）解：，， 故答案为：298；0.601； （2）解：当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：0.60； 故答案为：0.60． （3）解：摸到白球的概率的估计值是0.60， 摸到红球的概率的估计值是0.40， 袋中有红球2个， 球的个数共有：（个）， 袋中白球的个数为（个）． 2．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）在一个不透明的箱子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，重复该操作．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)上表中的_____，_____； (2)“摸到白球”的概率的估计值是_____；（精确到） (3)如果箱子中一共有个球，除了白球外，估计还有多少个其他颜色的球？ 【答案】(1)； (2) (3)个 【分析】（1）利用频率＝频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算出白球的个数，即可得到其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；； （2）“摸到白球”的概率的估计值是， 故答案为：； （3）（个）， ∴除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 【点睛】本题考查利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．解题的关键是掌握利用频率估计概率的意义． 一、单选题 1．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共个，这些球除颜色外其余完全相同．某数学学习小组从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 根据上表，从这个盒子里随机摸出一个球，它是红球的概率大约是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用频率估计概率，解题的关键是理解：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此解答即可． 【详解】解：根据上表，从这个盒子里随机摸出一个球，它是红球的概率大约是． 故选：C． 2．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数最有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用频率估计概率．熟练掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 由题意知，摸出黄球的概率为，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，摸出黄球的概率为， ∴袋子中黄球的个数最有可能是个， 故选：D． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）某玩具超市开展有奖购物活动，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 下列说法中，不正确的是（    ） A．当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率是0.70 B．假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70 C．如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次 D．转动转盘10次，一定有3次获得文具盒 【答案】D 【分析】本题主要考查用频率估计概率，根据图表可求得指针落在铅笔区域的概率即可解答问题． 【详解】解：A、大量重复试验中频率稳定在0.7左右，故用频率估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，故A选项正确； B、由A可知转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，故B选项正确； C、指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有次，故C选项正确； D、随机事件，结果不确定，故D选项不正确． 故选：D． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）下列事件中，属于不可能事件的是（   ） A．某人参加比赛获第一名 B．任意抛两枚骰子，点数和为1 C．太阳从东方升起 D．明天会下雨 【答案】B 【分析】本题主要考查了事件的，掌握关键不可能事件是一定不会发生的事件成为解题的关键． 根据不可能事件的定义即可解答． 【详解】解：A． 某人参加比赛获第一名，是随机事件，不符合题意；     B． 任意抛两枚骰子，点数和为1，是不可能事件，符合题意；     C． 太阳从东方升起，是必然事件，不符合题意；         D． 明天会下雨，是随机事件，不符合题意． 故选B． 5．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）下列事件中是必然事件的是（    ） A．抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次 B．367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日 C．任意一个五边形的外角和等于 D．正月十五打雪灯 【答案】B 【分析】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”、必然事件“必然事件发生的可能性为1”、不可能事件“不可能事件的发生的可能性为0”，熟练掌握各定义是解题关键．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次，是随机事件，则此项不符合题意； B、367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日，是必然事件，则此项符合题意； C、因为任意一个五边形的外角和等于，所以任意一个五边形的外角和等于，是不可能事件，则此项不符合题意； D、正月十五打雪灯，是随机事件，则此项不符合题意； 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）数据观念某种绿豆在相同条件下发芽情况的试验结果如下表所示．根据表中数据我们发现当参与试验的这种绿豆的粒数很大时，它的发芽率会在一个常数 （结果精确到）附近摆动，即这种绿豆的发芽率具有 ． 每批粒数 500 1000 2000 3000 发芽的粒数 463 930 1862 2793 发芽率 【答案】 稳定性 【分析】本题考查了频率的稳定性，分析表格频率特点是关键． 根据“大量重复实验时，事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且摆动的幅度越来越小，这个性质称为频率的稳定性”解答即可． 【详解】解：观察表格发现，随着试验次数的增多，绿豆发芽的频率逐渐稳定到（结果精确到）左右， ∴绿豆的发芽率具有稳定性． 故答案为：，稳定性． 7．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）近几年，二维码已经成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，再根据落在黑色阴影的概率等于黑色阴影的面积除以正方形纸片的面积进行求解即可． 【详解】解：， 即估计此二维码黑色阴影部分的面积为； 故答案为：． 8．（23-24九年级上·福建厦门·期末）在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在，和．由此，推测口袋中黄色球的个数有 ． 【答案】24个 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：估计箱子里黄色球有（个）， 故答案为：个． 9．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）转动如图的转盘一周以上，指针指向 色区域的可能性最大． 【答案】黄 【分析】此题考查可能性的大小，解决此题关键是理解转盘停止转动时指针指向的可能性最大的区域，一定是所占面积最大的那一种颜色的区域． 通过观察扇形统计图可知，把整个圆的面积看做单位“1”，其中黄色区域占的面积最多，所以转盘停止转动时指针指向黄色区域的可能性最大，据此解答即可． 【详解】解：由图可知：黄色区域黑色区域红色区域蓝色区域，黄色区域占的面积最多， 所以转盘停止转动时指针指向黄色区域的可能性最大． 故答案为：黄． 10．（2025八年级下·全国·专题练习）下列各事件中，必然事件是 ，不可能事件是 ，随机事件是 （填序号）． ①一个有理数的绝对值是负数；②若a为有理数，；③一个整数的平方的末尾数字是6；④半径为R的圆的周长为． 【答案】 ④ ① ②③/③② 【分析】本题考查随机事件的概念，熟练掌握随机事件的基础知识是解题的关键，根据随机事件的概念逐一判断即可得到答案． 【详解】解：一个有理数的绝对值是非负数，故①为不可能事件； 若a为有理数，；故②为随机事件； 一个整数的平方的末尾数字可能是6，也可能为其它数字；故③为随机事件； 半径为R的圆的周长为，故④为必然事件； 故答案为：④；①；②③． 三、解答题 11．（23-24九年级上·全国·单元测试）下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ (1)张兵买来的电影票的座位号是偶数； (2)抛出去的铅球会落在地上； (3)婴儿会骑摩托车． 【答案】(1)是随机事件 (2)是必然事件 (3)是不可能事件 【分析】本题考查事件的分类，掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义是解题的关键． （1）根据相关定义判断即可； （2）根据相关定义判断即可； （3）根据相关定义判断即可． 【详解】（1）解：张兵买来的电影票的座位号是偶数，也可能是奇数，是随机事件； （2）解：抛出去的铅球一定会落在地上，是必然事件； （3）解：婴儿会骑摩托车，是不可能事件． 12．（23-24八年级上·福建漳州·期末）数学实验课上同学们分两组进行相同的摸球实验：在一个不透明的袋子里装有大小质地完全相同的黑、白、红、黄四种颜色的球若干个，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．第一小组进行了若干次试验后，将他们的实验结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，并求第一小组摸出黄球的频率； (2)求第一小组摸出黑球所对应的扇形的圆心角的度数； (3)若第二小组与第一小组的试验次数相同，他们两组的实验结果一定会一样吗？为什么？ 【答案】(1)条形统计图见解析； (2) (3)不一定；理由见解析 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，熟练掌握统计图的特点，是解题的关键． （1）先根据条形统计图和扇形统计图求出摸球的总数，然后求出摸出白球的频数，补全条形统计图即可；根据摸出黄球的频数和摸球总数求出摸出黄球的频率即可； （2）根据第一小组摸出黑球所占的百分比求出所对应的扇形的圆心角的度数即可； （3）根据实验的随机性进行回答即可． 【详解】（1）解：实验总次数为：（次）， 摸出白球的频数为：， 摸出黄球的频率为：， 补全条形统计图，如图所示： （2）解：第一小组摸出黑球所对应的扇形的圆心角的度数为： ； （3）解：因为进行实验时具有随机性，所以当第二小组与第一小组的试验次数相同时，他们摸出的各种球的频率很接近，但不会完全相同，因此他们两组的实验结果不一定会完全一样． 13．（23-24七年级下·河南郑州·期末）同学们要善于用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 为了解某种小麦的发芽率，小明团队进行了试验，他们在相同条件下进行发芽试验，结果如下表： 试验的麦粒数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的麦粒数m 94 191 473 954 1906 4748 发芽的频率m ①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为， 是小麦发芽的概率吗？（   ） A．是             B．不是 ②当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是 (结果精确到) (2)探究迁移 七一班的学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录． 记录结果如下： 项目名称 组别 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 112 92 177 121 石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33 石子落在长方形外的次数 10 24 32 28 同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的面积大约是多少平方米，请你帮他们写出计算过程．(结果保留整数) (3)拓展应用 如图，学校操场旁的地面上铺满了正方形的地砖， 现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的缝隙相交的概率是 ．(直接写出答案) 【答案】(1)①不是② (2)草地的大体面积为16平方米 (3) 【分析】此题考查了频率估计概率，据此进行解答即可． （1）①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为，只是一次试验的频率，不能代表概率，据此进行解答即可；②表格看，经过多次大量重复试验，频率稳定在左右，即可得到答案； （2）分别求出四个组石子落在草地内的次数占石子落在=长方形内的次数比，即可估计石子落在草地内的概率，再用长方形面积乘以概率即可； （3）利用几何概率进行解答即可． 【详解】（1）①解：当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为，只是一次试验的频率，不能代表概率，即不是小麦发芽的概率， 故选：B ②从表格看，经过多次大量重复试验，频率稳定在左右， ∴当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是， （2）解： 分别求出四个组石子落在草地内的次数占石子落在=长方形内的次数比如下： 一组： 二组： 三组： 四组： ∴估计石子落在草地内的概率约为0.8， ∴草地的大体面积为：（平方米）， 答：草地的大体面积为平方米． （3）解：∵圆碟的圆心如果在正方形的地砖的中心部位的范围外，则与地砖间隙相交， ∴圆碟与地砖间的间隙相交的概率大约是． 故答案为： 14．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）摸到黑球的频率为，故为． （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近． （3）摸到黑球的频率约为，故摸到白球的频率约为，则估计袋子中有白球（个）． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时，即黑球个数等于白球个数，故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近， 故答案为：． （3）摸到黑球的频率约为， 故摸到白球的频率约为， 则估计袋子中有白球（个）， 故答案为：． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时， 即黑球个数等于白球个数， 故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 此时黑白球均为个，摸到黑白球的可能性大小均为． 故答案为：． 15．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）沈阳市林业局积极响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在______附近，估计成活概率为______（精确到0.1）． (2)该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据市政规划共需要成活270000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 【答案】(1)0.9，0.9 (2)①估计这批花卉成活18000棵：②估计还需要移植280000棵 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键． （1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率； （2）①用20000乘以成活的概率即可； ②用移植的总棵数减去已经移植的棵数． 【详解】（1）解：由图可知，这种花卉成活率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9． 故答案为：0.9； （2）解：①估计这批花卉成活的棵数为： （棵）； ②估计还需要移植：（棵）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 认识概率全章复习 目录 【题型一 事件的分类】 1 【题型二 判断事件的可能性大小】 2 【题型三 改变条件使事件发生的可能性相同】 2 【题型四 关于频率与概率关系说法判断正误】 3 【题型五 求某事件的频率】 3 【题型六 由频率估计概率】 4 【题型七 用频率估计概率的综合应用】 5 【题型一 事件的分类】 例题：（24-25九年级上·广东阳江·期末）汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（    ） A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．竹篮打水 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）下列事件中，必然事件是（    ） A．明天是晴天 B．地球自西向东自转 C．篮球队员在罚球线投篮一次，投中 D．掷一枚硬币，正面朝上 2．（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）“掷一枚质地均匀的骰子，向上一面点数为6”这个事件是 事件．（填“随机”、“必然”或“不可能”） 【题型二 判断事件的可能性大小】 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）某路口红绿灯的时间设置为红灯，绿灯，黄灯．小明经过该路口时，遇到 灯的可能性最大，遇到 灯的可能性最小． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·贵州黔南·期末）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（   ） A．守株待兔 B．大海捞针 C．返老还童 D．旭日东升 2．（24-25九年级上·四川资阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．10张票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大 B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 D．小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 【题型三 改变条件使事件发生的可能性相同】 例题：（24-25九年级上·四川广安·期末）一个不透明袋子中装有8个红球、个白球和3个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从中任意摸出一个球，若摸到红球的可能性最大，则的值不可能为（　　） A．10 B．5 C．3 D．2 【变式训练】 1．（24-25六年级上·山东滨州·期末）已知一条不透明的袋子里装有20个橘子和若干个苹果．若任意摸一个，要使摸到的苹果的可能性大，袋子里至少装（   ）个苹果． A．20 B．19 C．21 D．22 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）将5个红球和个白球放入一个不透明的袋子中，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后任意摸出2个球．若事件“摸出的球中至少有一个是红球”是必然事件，则的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型四 关于频率与概率关系说法判断正误】 例题：（24-25九年级上·河北邯郸·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 【变式训练】 1．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列说法正确的是（   ） A．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件 B．“买中奖率为的奖券张，中奖”是必然事件 C．投掷一枚图钉，“钉尖朝上”的概率可以用列举法求得 D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 2．（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 【题型五 求某事件的频率】 例题：（23-24九年级上·全国·课后作业）林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 【变式训练】 1．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）小龙在纸上写下一组数字“20240222”，这组数字中2出现的频率为 ． 2．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是 ． 【题型六 由频率估计概率】 例题：（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图是小明用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果．随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在某个数附近，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）在学习“频率的稳定性”时，某班同学们共同完成了“抛图钉”的试验，同学们记录了500次抛图钉的试验数据如下，根据表格中的数据可以估计图钉钉尖朝上的概率约为 ． 试验总次数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 钉尖朝上的频率 0.69 2．（22-23九年级上·湖南湘西·期末）某水果公司以2元/kg的成本价新进柑橘．如果公司希望这些柑橘能够获得利润5000元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克定价大约 元（精确到角）比较合适．为解决此问题，销售人员首先从所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，结果如下： 柑橘总质量n/kg 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg 5.50 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 频率（三位小数） 0.110 0.105 【题型七 用频率估计概率的综合应用】 例题：（23-24九年级上·江西赣州·期末）在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的数据．请估算盒子里白球的个数有（    ）个 摸球的次数m 20 40 60 80 120 160 200 摸到白球的次数n 15 33 49 63 97 126 160 摸到白球的频率 0.75 0.83 0.82 0.79 0.81 0.79 0.8 A．无法估计 B．8个 C．6个 D．2个 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球个数 200 300 400 500 1000 1600 2000 摸到白球的个数 116 192 232 _______ 590 968 1202 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605 _______ (1)填写表中的空格； (2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是____（精确到0.01）； (3)若袋中有红球2个，请估计袋中白球的个数． 2．（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）在一个不透明的箱子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，重复该操作．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)上表中的_____，_____； (2)“摸到白球”的概率的估计值是_____；（精确到） (3)如果箱子中一共有个球，除了白球外，估计还有多少个其他颜色的球？ 一、单选题 1．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共个，这些球除颜色外其余完全相同．某数学学习小组从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 根据上表，从这个盒子里随机摸出一个球，它是红球的概率大约是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数最有可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）某玩具超市开展有奖购物活动，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 下列说法中，不正确的是（    ） A．当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率是0.70 B．假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70 C．如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次 D．转动转盘10次，一定有3次获得文具盒 4．（2025八年级下·全国·专题练习）下列事件中，属于不可能事件的是（   ） A．某人参加比赛获第一名 B．任意抛两枚骰子，点数和为1 C．太阳从东方升起 D．明天会下雨 5．（24-25九年级上·湖北孝感·期末）下列事件中是必然事件的是（    ） A．抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次 B．367个同学参加一个集会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日 C．任意一个五边形的外角和等于 D．正月十五打雪灯 二、填空题 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）数据观念某种绿豆在相同条件下发芽情况的试验结果如下表所示．根据表中数据我们发现当参与试验的这种绿豆的粒数很大时，它的发芽率会在一个常数 （结果精确到）附近摆动，即这种绿豆的发芽率具有 ． 每批粒数 500 1000 2000 3000 发芽的粒数 463 930 1862 2793 发芽率 7．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）近几年，二维码已经成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码黑色阴影部分的面积为 ． 8．（23-24九年级上·福建厦门·期末）在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在，和．由此，推测口袋中黄色球的个数有 ． 9．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段练习）转动如图的转盘一周以上，指针指向 色区域的可能性最大． 10．（2025八年级下·全国·专题练习）下列各事件中，必然事件是 ，不可能事件是 ，随机事件是 （填序号）． ①一个有理数的绝对值是负数；②若a为有理数，；③一个整数的平方的末尾数字是6；④半径为R的圆的周长为． 三、解答题 11．（23-24九年级上·全国·单元测试）下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ (1)张兵买来的电影票的座位号是偶数； (2)抛出去的铅球会落在地上； (3)婴儿会骑摩托车． 12．（23-24八年级上·福建漳州·期末）数学实验课上同学们分两组进行相同的摸球实验：在一个不透明的袋子里装有大小质地完全相同的黑、白、红、黄四种颜色的球若干个，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．第一小组进行了若干次试验后，将他们的实验结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图，并求第一小组摸出黄球的频率； (2)求第一小组摸出黑球所对应的扇形的圆心角的度数； (3)若第二小组与第一小组的试验次数相同，他们两组的实验结果一定会一样吗？为什么？ 13．（23-24七年级下·河南郑州·期末）同学们要善于用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 为了解某种小麦的发芽率，小明团队进行了试验，他们在相同条件下进行发芽试验，结果如下表： 试验的麦粒数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的麦粒数m 94 191 473 954 1906 4748 发芽的频率m ①当试验的麦粒数位时， 发芽的频率为， 是小麦发芽的概率吗？（   ） A．是             B．不是 ②当任取一粒麦粒，估计它能发芽的概率是 (结果精确到) (2)探究迁移 七一班的学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，将石子落点进行了记录． 记录结果如下： 项目名称 组别 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 112 92 177 121 石子落在草地外长方形内的次数 28 24 43 33 石子落在长方形外的次数 10 24 32 28 同学们将四个小组的数据收集并整理，他们认为用概率的相关知识就能算出草地的面积大约是多少平方米，请你帮他们写出计算过程．(结果保留整数) (3)拓展应用 如图，学校操场旁的地面上铺满了正方形的地砖， 现在向这一地面上抛掷半径为的圆碟，圆碟与地砖间的缝隙相交的概率是 ．(直接写出答案) 14．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 (1)表中 ； (2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； (3)估计袋子中有白球 个； (4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 15．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）沈阳市林业局积极响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在______附近，估计成活概率为______（精确到0.1）． (2)该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据市政规划共需要成活270000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$