第九章 中心对称图形--平行四边形单元培优训练（题型专攻）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

第9章 中心对称图形--平行四边形 单元培优卷 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第9章 中心对称图形-平行四边形，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．剪纸是中国的传统文化之一，剪纸图案中一般蕴含着对称美，下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 3．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点．若，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D．2 4．如图，已知的对角线和交于点O．若，，则边的长度可能是（   ） AI A．2 B．8 C．10 D．14 5．如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．如图，将的矩形纸片放在以所在直线为轴，边上一点为坐标原点的直角坐标系中，连接将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿着向点D移动，若过点P作，垂足分别为E、F，连接，则的长最小为（   ） A． B． C．5 D．7 8．如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，在中，交对角线于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为 ． 12．在平行四边形中，，则的度数是 ． 13．如图，在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为 ．    14．如图所示，在中，，点D是的中点，点E是的中点，连接，若，则 ． 15．如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为 ． 16．如图，在，，，，点D在线段上，点E在线段的延长线上，且，则的最小值为 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，在矩形中，E是上的一点，交于点F，，矩形的周长为16．求的长． 18．如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上． 求证：平分． 19．如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接、、． (1)求证：； (2)若，，．求的面积． 20．如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，已知在中，E，F是对角线BD上的两点，，点G，H分别在BA和DC的延长线上，且，连接GE，EH，HF，FG． 求证： (1)； (2)． 22．如图，将沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点处，折痕交边于点E，连接． (1)证明四边形是平行四边形； (2)若平分，求的度数． 23．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的； (2)画出将绕原点顺时针旋转后得到的，点的坐标是________； (3)试说明经过怎样的变换可以得到． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．已知在中，，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），以为边作正方形，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，求证： (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，延长交于点G，连接，若已知，，求的长． 25．已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数． (2)如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长 (3)如图4，在（1）的条件下，连结并延长与的延长线交于点，若，求的面积． (4)如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 中心对称图形--平行四边形 单元培优卷 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第9章 中心对称图形-平行四边形，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．剪纸是中国的传统文化之一，剪纸图案中一般蕴含着对称美，下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，的长为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等边对等角的性质，勾股定理，熟记旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质结合，推出是等腰直角三角形，即可推出结果． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴． 故选：D ． 3．如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点．若，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线的性质，由菱形的性质可得，由三角形中位线的性质可得，故可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点E是的中点，， ∴， 故选：D． 4．如图，已知的对角线和交于点O．若，，则边的长度可能是（   ） AI A．2 B．8 C．10 D．14 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握相关图形的性质定理是解本题的关键． 根据平行四边形对角线互相平分可得的长度，然后根据三角形三边关系可得的范围，结合选项解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， ， 即， ∴边的长度可能是8． 故选：B． 5．如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心在对应点连线的垂直平分线上是解题的关键．根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，进而得出答案． 【详解】 解：根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上， 由图形可知：点在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上， ∴旋转中心是点， 故选：A． 6．如图，将的矩形纸片放在以所在直线为轴，边上一点为坐标原点的直角坐标系中，连接将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，矩形的性质，坐标与图形变化，由矩形的性质和折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，即可求的长，再由勾股定理可求的长，即可得点坐标，灵活运用折叠的性质是本题的关键． 【详解】解：四边形是矩形 ，， 连接将纸片沿折叠， ， 在中， 在中，， ， 点坐标， 故选：B． 7．如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，沿着向点D移动，若过点P作，垂足分别为E、F，连接，则的长最小为（   ） A． B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，利用面积法即可得解． 【详解】解：如图，连接、，   ，， ． 四边形是矩形， ． 四边形为矩形． ． 要求的最小值就是要求的最小值． 点从点沿着往点移动， 当时，取最小值． 在中， ，，， ． ， ． 的长度最小为：． 故选：B． 8．如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理，难度适中． 设，则．先根据折叠的性质和平行线的性质，得，则，然后在直角三角形中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设，则． 根据折叠的性质，得． ∵， ∴， ∴， ∴． 在直角三角形中，根据勾股定理，得 ， 解得． 故选：C． 9．如图，在中，交对角线于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形的外角和等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点．由平行四边形的性质得，再由平行线的性质得，易证，然后由三角形的外角性质即可得，由此即可求解． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 10．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．以下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的判定、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．根据旋转的性质可得，，，，由此即可判断结论①和③正确；根据角的和差可得，再根据平行线的判定即可判断结论②正确；假设，则是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，这与相矛盾，由此即可判断结论④错误． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，，，则结论①和③正确； ∵， ∴， ∴， ∴，则结论②正确； 假设，则， ∴是等边三角形， ∴，这与相矛盾，假设不成立，则结论④错误； 综上，结论正确的有①②③， 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，中，，，将沿方向平移，得到，连接．若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积，平行四边形的性质和判定， 根据平移的性质得，可知四边形时平行四边形，再根据面积公式得出答案． 【详解】解：根据平移的性质得， ∴四边形时平行四边形． ∵， ∴． ∵， ∴阴影部分的面积等于． 故答案为：4． 12．在平行四边形中，，则的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】根据平行四边形的邻角互补，得到，再根据，进行列式计算，即可得解．本题考查平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的对角相等，邻角互补，是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为 ．    【答案】7 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，根据旋转的性质，得到，进而推出为等边三角形，得到，再根据线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵点B的对应点D恰好落在边上， ∴； 故答案为：7． 14．如图所示，在中，，点D是的中点，点E是的中点，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，由直角三角形的性质得出，由三角形中位线定理得出，由勾股定理求出，则可求出答案．熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【详解】解：点D是的中点，点E是的中点， , ,点D是的中点， ， 根据勾股定理， ． 故答案为：3． 15．如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等是解题的关键． 设，则，用勾股定理解求出；同理，设，则，用勾股定理解求出；作于点H，构造矩形，最后用勾股定理解可得答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 设，则， 由折叠知，，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ； 同理，设，则， 由折叠知， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ； 如图，作于点H， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 故答案为：． 16．如图，在，，，，点D在线段上，点E在线段的延长线上，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称求最短路径，勾股定理，含30度的直角三角形，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，利用轴对称的性质坐辅助线，将求的最小值转化为求线段的长是解题关键．作点关于的对称点，连接、、，以和为邻边作平行四边形，由直角三角形，得出，，根据轴对称的性质，得到是等边三角形，再结合平行四边形的性质推出当、、三点共线时，有最小值，为的长，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、、，以和为邻边作平行四边形， 在，，， ， ， ，， 由轴对称的性质可知，，，，， ， 是等边三角形， ， 四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，为的长， ，， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，在矩形中，E是上的一点，交于点F，，矩形的周长为16．求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，根据矩形的性质得到，再证明得到，则，再根据矩形周长计算公式得到，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形的周长为16， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．如图，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上． 求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质以及角平分线的判定，解题的关键是利用旋转的性质得到相等的边和角，再结合等腰三角形的性质进行推理． 根据旋转的性质得到，利用等腰三角形的性质得，从而得出，进而证明平分． 【详解】证明：是由旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 19．如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接、、． (1)求证：； (2)若，，．求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】（1）由旋转可知，，结合等边三角形的性质，证明，可得结论； （2）连接，作垂直于，交的延长线于，由旋转可知，是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明，求解求得，可得，进而可求得的面积． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 由旋转可知， ， ， 在和中， ， ∴， ； （2）解：如图，连接， ， 是等边三角形，则， ， ， ，， ， ， ∴， ， ∴， 作垂直于，交的延长线于，则， ∴， ∴． 【点睛】本题属考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 20．如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，熟练运用全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）结合平行线的性质求出，，，利用即可证明； （2）由三角形中位线定理推出，根据全等三角形的性质求出，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，已知在中，E，F是对角线BD上的两点，，点G，H分别在BA和DC的延长线上，且，连接GE，EH，HF，FG． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． （1）由平行四边形性质得到，得到，证明，即可证明； （2）由全等的性质可得到，可证得，则可证四边形是平行四边形，由平行四边形性质即可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， （2）∵ ∴， ∴ ∴ ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴ 22．如图，将沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点处，折痕交边于点E，连接． (1)证明四边形是平行四边形； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质、平行线的性质、角平分线等知识，得出四边形是平行四边形是解题关键． （1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形是平行四边形，进而求出四边形是平行四边形； （2）先由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，进而得，再根据三角形内角和定理可得结论． 【详解】（1）证明：∵将沿过点A的直线折叠，使点D落到边上的点处， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于原点对称的； (2)画出将绕原点顺时针旋转后得到的，点的坐标是________； (3)试说明经过怎样的变换可以得到． 【答案】(1)见解析； (2)见解析，； (3)将绕原点逆时针旋转后可得到． 【分析】本题考查了中心对称，旋转变换作图，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可，再根据图可知点的坐标； （3）利用旋转变换的性质判断． 【详解】（1）解：根据题意，利用网格的特点分别作出，，关于原点对称的对应点，，，再依次连接，如图，即为所求， （2）解：根据题意，利用网格的特点分别作出，，绕原点顺时针旋转后的对应点，，，再依次连接，如图，即为所求， 由图可知点的坐标为， 故答案为：． （3）解：如下图， 将绕原点逆时针旋转后可以得到． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．已知在中，，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），以为边作正方形，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，求证： (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，延长交于点G，连接，若已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3) 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，利用即可证明，从而证得，据此即可证得结论； （2）同（1）相同，利用即可证得，从而证得，即可得到； （3）过点作，过点作，勾股定理求出的长，三线合一求出的长，进而求出的长，根据全等三角形的性质，求出的长，证明为等腰三角形，求出的长，进而求出的长，证明，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， 则在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴； （2）； 理由：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵在和中， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）过点作，过点作，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 25．已知在平行四边形中，动点在边上，以每秒的速度从点向点运动． (1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数． (2)如图3，连结并延长与的延长线交于点，平分交于点，当，时，求的长 (3)如图4，在（1）的条件下，连结并延长与的延长线交于点，若，求的面积． (4)如图2，另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，，两点同时出发，当点到达点时停止运动同时点也停止，若，当运动时间为 秒时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2) (3) (4)4.8秒或8秒或9.6秒 【分析】（1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到，得到，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质解答； （2）延长交于点，证明，可得，，再证明，得，然后利用线段的和差即可解决问题； （3）作，求出，根据三角形面积公式得到，得到答案； （4）分、、、四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：如图3，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为； （3）解：如图2，作于， 是等边三角形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ； （4）解：四边形是平行四边形， ， ， 要使四边形是平行四边形，则， 设运动时间为秒，根据题意可知：，， 分以下四种情况： ①当时，， ， 解得，不合题意； ②当时，， ， 解得，； ③当时，， ， 解得，； ④当时，， ， 解得，； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，，，四点组成的四边形是平行四边形； 故答案为：秒或秒或秒． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，三解形面积公式，一元一次方程的应用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$