精品解析：江苏省张家港市塘桥高级中学2024-2025学年高一上学期期末模拟考试数学试卷

2024—2025学年张家港市塘桥高级中学第一学期期末模拟考试卷 （高一数学） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角，那么的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用角终边相同公式得到的终边与的终边相同，从而得到的终边所在象限． 【详解】因为，又，所以的终边在第三象限． 故选：C． 2. 命题“”的否定为（ ） A. “” B. “” C. “” D. “” 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题求解即可. 【详解】因为，是全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，即， 故选：D. 3. 已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 则，解得. 故选：B 4. 已知，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分必要的定义，结合三角函数的定义即可得解. 【详解】若“”，则“”必成立，即充分性成立； 但是“”，未必有“”，例如，即必要性不成立； 所以“”是“”成立的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次不等式求出集合A，再分类讨论集合B，根据集合间包含关系即可求解. 【详解】的定义域为A， 所以， 所以或， ①当时，, 满足， 所以符合题意； ②当时， ， 所以若， 则有或， 所以或（舍） ③当时， ， 所以若， 则有或（舍）， ， 综上所述，， 故选：B. 6. 三个数， 之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合指数函数、对数函数的单调性，以及临界值，求解即可. 【详解】由题意，即， ，即， ， 综上： 故选：A 7. 已知函数，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、单调性，由得，可得答案. 【详解】因为，所以函数的定义域为， 则定义域关于原点对称，且， 所以为偶函数， 又时，是单调递增函数，而是单调递减函数， 所以是单调递减函数， 根据对称性知时，所以是单调递增函数， 函数中，， 由得，解得或. 故选：D. 8. 已知函数，若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出、和的图象，结合图象以及函数有两个零点求得的取值范围. 【详解】函数有两个零点， 即有两个不相等的实数根， 即与的图象有两个交点. 画出、和的图象如下图所示， 由解得，设 由解得，设. 对于函数， 要使与的图象有两个交点，结合图象可知，. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 设集合，集合，则下列对应关系中是从集合A到集合B的一个函数的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数的定义一一判断求解. 【详解】对于A，任意，， 即任意，都有唯一的与之对应，所以A正确； 对于B，存在，，所以B错误； 对于C，任意，， 即任意，都有唯一的与之对应，所以C正确； 对于D，任意，， 即任意，都有唯一的与之对应，所以D正确； 故选:ACD. 10. 若a，b均为正数，且满足，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值是6 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本不等式、二次函数的性质对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，， 当且仅当时等号成立，A选项正确. B选项， ，但由解得，不满足， 所以等号不成立，所以B选项错误. C选项，， 当且仅当时等号成立，所以C选项错误. D选项，， 所以当，时， 取得最小值，D选项正确. 故选：AD 11. 已知指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程与的解分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意可得，直线与两函数和的交点横坐标分别为、，结合图像即可判断各选项. 【详解】由方程和可化为和， 即直线与两函数和的交点横坐标分别为、， 由于和互为反函数，则它们的图像关于直线对称， 如图所示，点、关于点对称，，且， 所以，故A正确； 因为，所以， 又，所以，故B正确； 由和它们的图像关于直线对称，所以，， 所以，故C正确； 对于D，由，则，即，与矛盾，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数满足：①是偶函数；②在区间上单调递减，请写出一个这样的函数__________． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】根据幂函数的性质即得. 【详解】因为幂函数为偶函数，且在区间上单调递减， 所以函数满足题意. 故答案为：. 13. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数平方关系可构造方程求得,再求,进而运算求得结果. 【详解】由得： ， 解得：； 由得： 又因为,且,所以即 所以 则 故答案为：. 14. 我们知道，设函数的定义域为I，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形．若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数c的值为__________；若，则实数t的取值范围是__________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得即可求出c的值；（2）根据解析式判断函数的单调性，并根据不等式得，利用函数的对称性和单调性即可求解不等式. 【详解】因为函数的图象关于点成中心对称图形， 所以， 即， 即，所以， 所以在定义域上单调递减， 令， 因为函数的图象关于点成中心对称， 所以的图象关于对称， 且单调递减， 因为，即， 即，也即， 所以则解得或， 故实数t的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合． （1）若，； （2）若，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得. （2）根据并集、补集、交集的知识求得正确答案. 【小问1详解】 ，所以，所以. ，解得，所以. 若，则，所以. 【小问2详解】 或， 若，则， 所以. 16. 已知． （1）若角的终边过点，求； （2）若，分别求和的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，根据三角函数的定义求得. （2）根据齐次式的知识求得正确答案. 【小问1详解】 ， 若角的终边过点，则， 所以. 【小问2详解】 若， 所以； . 17. 某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择： A．；B．；C．． （1）请你帮助该公司从中选择一个最合适函数模型，并说明理由； （2）根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题： ①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ ②总奖金能否超过销售利润的五分之一？ 【答案】（1）模型C,理由见解析 （2）①210万元; ②不会. 【解析】 【分析】（1）根据函数的图象性质即可选择模型； （2）①令解对数不等式求解，②即，结合函数图象的增长速度解释. 【小问1详解】 模型A．，因为，所以匀速增长， 模型B．，因为，先慢后快增长， 模型C．，因，先快后慢增长， 所以模型C最符合题意. 【小问2详解】 因为销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元， 所以，即， 又因为销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元， 所以，即， 由解得，所以， ①如果总奖金不少于9万元，即， 即，即，解得， 所以至少应完成销售利润210万元. ②设，即， 因为与有交点， 且增长速度比慢， 所以当时，恒在的下方， 所以无解， 所以总奖金不会超过销售利润的五分之一. 18. 已知为奇函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断； （2）若关于x的方程有8个不同的解，求实数m的取值范围． 【答案】（1）在单调递增，在上单调递减；证明见解析. （2） 【解析】 【分析】(1)根据奇函数的性质可求得的值，用单调性的定义即可证明函数的单调性. (2)将已知方程因式分解得，，作出的图像，数形结合即可得到的取值范围. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，且定义域为，则，解得，所以， 当时，，，所以函数为奇函数. 则在单调递增，在上单调递减. 证明如下： ，且 ， 当时，，，，所以，即，所以函数在上单调递增； 当时，，，，所以，即，所以函数在上单调递减. 【小问2详解】 因为，则，即， 解得或，因为有4个解， 要使关于x的方程有8个不同的解，则有4个不同的解，如图所示， 根据第一问函数单调性可知，当时，，所以的取值范围是且，综上，的取值范围是. 19. 已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且． （1）求和的解析式； （2）若函数在上的值域为，求正实数a的值； （3）证明：对任意实数k，曲线与曲线总存公共点． 【答案】（1）， （2） （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用解方程组法即可求得解析式. （2）构造函数通过换元法利用二次函数的最值即可求得的值. （3）分类讨论利用零点存在性定理即可证明. 【小问1详解】 ，分别为定义在上的奇函数和偶函数 所以，又因为①， 所以②， 有①②可知， ， 【小问2详解】 令，由（1）知，， 又因为，令，所以 所以， 函数在上的值域为， 所以，故, 当时，得，又因为，所以 【小问3详解】 由（1）知，所以 与曲线总存在公共点， 即在有实数根，令， 当时，易知为函数的零点， 当时，易知函数在单调递减， 又因为，，由零点存在性定理可知: ,使得成立. 当时，， 又因为，，所以. 由零点存在性定理可知:,使得成立. 故对任意实数函数在有零点. 即对任意实数曲线与曲线总存在公共点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年张家港市塘桥高级中学第一学期期末模拟考试卷 （高一数学） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角，那么终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 命题“”的否定为（ ） A. “” B. “” C. “” D. “” 3. 已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A B. C. 2 D. 4. 已知，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知的定义域为A，集合，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 三个数， 之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，且，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 设集合，集合，则下列对应关系中是从集合A到集合B的一个函数的有（ ） A. B. C. D. 10. 若a，b均为正数，且满足，则（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值是6 D. 的最小值为 11. 已知指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数，它们的定义域和值域正好互换．若方程与的解分别为，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数满足：①是偶函数；②在区间上单调递减，请写出一个这样的函数__________． 13. 已知，则__________． 14. 我们知道，设函数的定义域为I，如果对任意，都有，且，那么函数的图象关于点成中心对称图形．若函数的图象关于点成中心对称图形，则实数c的值为__________；若，则实数t的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合． （1）若，； （2）若，． 16. 已知． （1）若角的终边过点，求； （2）若，分别求和的值． 17. 某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择： A．；B．；C．． （1）请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； （2）根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题： ①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ ②总奖金能否超过销售利润的五分之一？ 18. 已知为奇函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断； （2）若关于x的方程有8个不同的解，求实数m的取值范围． 19. 已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，且． （1）求和解析式； （2）若函数在上值域为，求正实数a的值； （3）证明：对任意实数k，曲线与曲线总存在公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$