专题5.2 导数的运算（7类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题5.2 导数的运算 【知识梳理】 1 【考点1：基本初等函数的导数】 2 【考点2：导数的四则运算】 3 【考点3：复合函数的求导】 4 【考点4：求曲线的切线方程（斜率）】 5 【考点5：已知切线（斜率）求参数】 6 【考点6：函数图象的判断及应用】 7 【考点7：导数运算的新定义问题】 8 【知识梳理】 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 5. 在曲线上一点的切线方程—解题秘籍： ①求出切点的坐标 ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程. 6. 过一点的切线方程—解题秘籍： 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴然后解出的值，有几个值，就有几条切线. 【考点1：基本初等函数的导数】 【知识点：基本初等函数的导数】 1．（2025高二下·河北邢台·阶段练习）下列求导运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（2025高二下·山东德州·阶段练习）下列说法中不正确的有（   ） A． B． C． D． 4．（2025高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点2：导数的四则运算】 【知识点：导数的四则运算】 1．（2025高二下·山东济宁·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二下·山东聊城·阶段练习）若在上可导，，则（    ） A．1 B． C． D．2 3．（2025·山东·模拟预测）已知为函数的导函数，且．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025高二下·山东淄博·阶段练习）求下列函数的导数. (1) (2)； (3)； (4) 【考点3：复合函数的求导】 【知识点：复合函数的求导】 1．（24-25高二上·山西·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三下·全国·专题练习）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（   ） A．(a为常数) B． C． D． 4．（多选）（2025高二下·福建厦门·阶段练习）下列函数求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025高二下·上海闵行·阶段练习）已知函数，为的导函数，则的值为 . 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数，则 ． 7．（2025·四川·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 8．（2025高二下·上海·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)． 【考点4：求曲线的切线方程（斜率）】 【知识点：求曲线的切线方程（斜率）】 1．（2025高二下·山东济宁·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二下·山东济宁·阶段练习）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二下·山东·阶段练习）已知函数，则曲线在处的切线斜率为 . 4．（2025高二下·广西南宁·阶段练习）设函数的图象与x轴相交于点P，求曲线在点P处的切线方程为 5．（2025高二下·江苏无锡·阶段练习）过点且曲线相切的直线的方程为 . 6．（2025高三·全国·专题练习）设函数.当时，求曲线在处的切线方程； 7．（2025高二下·山东淄博·阶段练习）已知函数，且． (1)求的值； (2)求函数的图象在点处的切线方程． 8．（2025高二下·江苏苏州·阶段练习）（1）求曲线过点的切线方程. （2）已知函数与的图象有两条公切线，求实数的取值范围. 【考点5：已知切线（斜率）求参数】 【知识点：已知切线（斜率）求参数】 1．（2025高二下·山东济宁·阶段练习）若直线为曲线的切线，则 . 2．（2025高三下·上海·阶段练习）已知函数的图像在处的切线与直线垂直，则实数 ． 3．（2025高三下·上海宝山·阶段练习）已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值为 . 4．（2025高二下·全国·课后作业）已知曲线在点处的切线方程为，求切点的坐标和实数的值． 5．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数的图象在点处的切线为． (1)求函数的解析式; (2)若曲线在点P处的切线与直线垂直， 求点P 的横坐标． 【考点6：函数图象的判断及应用】 【知识点：函数图象的判断及应用】 1．（24-25高二下·江西赣州·期中）已知是的导数，的图象如图，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2025高二下·上海·阶段练习）已知是函数的导函数，且的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（安徽省A10联盟2025学年高二下学期3月阶段考试数学试题）已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【考点7：导数运算的新定义问题】 【知识点：导数运算的新定义问题】 1．（2025高二下·湖北十堰·阶段练习）已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”设，则在区间上的“新驻点”为 ． 2．（2025高二下·黑龙江绥化·阶段练习）法国数学家拉格朗日1797年在著作《解析函数论》中给出一个定理：如果函数满足条件： （1）在闭区间是连续不断的；（2）在区间上都有导数. 则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”． 函数在区间上的“拉格朗日中值” ． 3．（2025·安徽·模拟预测）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江西南昌·一模）我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025高二上·江苏镇江·阶段练习）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为在上的导函数记为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·上海·期中）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则的和为（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2 导数的运算 【知识梳理】 1 【考点1：基本初等函数的导数】 2 【考点2：导数的四则运算】 4 【考点3：复合函数的求导】 6 【考点4：求曲线的切线方程（斜率）】 9 【考点5：已知切线（斜率）求参数】 13 【考点6：函数图象的判断及应用】 15 【考点7：导数运算的新定义问题】 18 【知识梳理】 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 =，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 5. 在曲线上一点的切线方程—解题秘籍： ①求出切点的坐标 ②求出函数在点处的导数 ③得切线方程. 6. 过一点的切线方程—解题秘籍： 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴然后解出的值，有几个值，就有几条切线. 【考点1：基本初等函数的导数】 【知识点：基本初等函数的导数】 1．（2025高二下·河北邢台·阶段练习）下列求导运算结果不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用初等函数的导数公式以及导数的运算法则求解可判断每个选项的正误. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 故选：A. 2．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数求导，再代入自变量求导数值即可. 【详解】由题设，则. 故选：C 3．（多选）（2025高二下·山东德州·阶段练习）下列说法中不正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本初等函数的导数公式可得结果. 【详解】，A错； ，B错； ，C对； ，D错； 故选：ABD 4．（2025高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用常数函数的导数公式计算； （2）利用先化成指数幂的形式，然后利用幂函数的导数公式计算； （3）利用指数函数的导数公式计算； （4）利用对数函数的导数公式计算. 【详解】（1）因为，所以． （2）因为，所以． （3）因为，所以． （4）因为，所以． 【考点2：导数的四则运算】 【知识点：导数的四则运算】 1．（2025高二下·山东济宁·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的运算法则求出导数，进而求出导数值. 【详解】函数，求导得， 所以. 故选：C 2．（2025高二下·山东聊城·阶段练习）若在上可导，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】求出导数，再代值计算即可得到，从而得到，最后再次代入计算即可. 【详解】由，可得， 所以，解得， 则，则. 故选：B. 3．（2025·山东·模拟预测）已知为函数的导函数，且．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用导数的运算性质解出，所以，即，结合基本不等式求解即可. 【详解】由题意可得，所以，解得， 所以，即， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以，， 故选：D 4．（2025高二下·山东淄博·阶段练习）求下列函数的导数. (1) (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由基本初等函数的求导公式，结合四则运算的导数公式化简即可求解. （2）由基本初等函数的求导公式，结合四则运算的导数公式化简即可求解. （3）由基本初等函数的求导公式，结合四则运算的导数公式化简即可求解. （4）由基本初等函数的求导公式，结合四则运算的导数公式化简即可求解. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. 【考点3：复合函数的求导】 【知识点：复合函数的求导】 1．（24-25高二上·山西·期末）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的求导法则计算可得结果. 【详解】设，则， ∴，即， ∴. 故选：D. 2．（2025高三下·全国·专题练习）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的导函数计算判断A，B，C，应用乘法求导运算判断D. 【详解】因为所以A选项错误； 因为，所以B选项错误； 因为，所以C选项错误； 因为，所以D选项正确. 故选：D. 3．（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（   ） A．(a为常数) B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求导公式和简单复合函数的求导，依次计算即可判断选项. 【详解】A：因为a为常数，所以，故A错误； B：，故B正确； C：，故C错误； D：，故D错误. 故选：B 4．（多选）（2025高二下·福建厦门·阶段练习）下列函数求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据初等函数的导数计算公式求导即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC 5．（2025高二下·上海闵行·阶段练习）已知函数，为的导函数，则的值为 . 【答案】 【分析】结合导数公式求函数的导函数，再求即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数，则 ． 【答案】2 【分析】先根据导数的运算求，再把代入求值. 【详解】因为，所以. 故答案为：2 7．（2025·四川·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】先求导函数，再代入求出斜率，最后点斜式写出直线方程. 【详解】已知函数，则， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即得. 故答案为： 8．（2025高二下·上海·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由两函数积的导数公式求解即可； （2）由三角函数、指数函数及复合函数的求导方法，求解即可. 【详解】（1）解：因为， 所以 （2）解：因为， 所以 . 【考点4：求曲线的切线方程（斜率）】 【知识点：求曲线的切线方程（斜率）】 1．（2025高二下·山东济宁·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】由，则，而， 所以点处的切线方程为，即. 故选：A 2．（2025高二下·山东济宁·阶段练习）点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，得到曲线在点处切线的斜率大于等于-1，结合的范围，得到答案. 【详解】，设， 则曲线在点处切线的斜率为， 则，又，切线斜率存在，故， 则. 故选：B 3．（2025高二下·山东·阶段练习）已知函数，则曲线在处的切线斜率为 . 【答案】/0.5 【分析】利用三角恒等变换公式以及导数的运算求解. 【详解】由， 可知， 所以. 故答案为：. 4．（2025高二下·广西南宁·阶段练习）设函数的图象与x轴相交于点P，求曲线在点P处的切线方程为 【答案】 【分析】求出，求导，得到，利用导函数几何意义，求出切线方程 【详解】，解得，故， ，，所以曲线在点P处的切线方程为，即. 故答案为： 5．（2025高二下·江苏无锡·阶段练习）过点且曲线相切的直线的方程为 . 【答案】或 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程. 【详解】设切点为，对函数求导得，则切线斜率为， 所以，曲线在点处的切线方程为， 因为切线过点，则有，整理可得， 即， 当时，切线斜率为，切线方程为，即； 当时，切线斜率为，切线方程为，即. 故答案为：或. 6．（2025高三·全国·专题练习）设函数.当时，求曲线在处的切线方程； 【答案】 【分析】由导数的几何意义求斜率，即可求解； 【详解】当时，， 所以，，， ∴曲线在处的切线方程为， 整理得，， ∴曲线在处的切线方程为. 7．（2025高二下·山东淄博·阶段练习）已知函数，且． (1)求的值； (2)求函数的图象在点处的切线方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求导即可代入求解， （2）根据导数求解斜率，即可由点斜式求解. 【详解】（1）由，得， 又， 所以，解得. （2）由（1）知，， ∴，即切点为， 又，， ∴切线的斜率为， 故函数的图象在点处的切线方程为：， 即. 8．（2025高二下·江苏苏州·阶段练习）（1）求曲线过点的切线方程. （2）已知函数与的图象有两条公切线，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2） 【分析】（1）根据导数的几何意义，分为切点和不为切点两种情况求解即可； （2）设直线与相切于点，直线与相切于点，可得，消去得，，进而结合题意求解即可. 【详解】（1）由，则， 当为切点时，切线斜率为， 此时切线方程为，即； 当不为切点时，设切点为，， 则切线斜率为，解得， 此时切线斜率为0，则切线方程为，即. 综上所述，切线方程为或. （2）由，， 则，， 设直线与相切于点，则切线的斜率为， 直线与相切于点，则切线的斜率为， 则， 消去得，， 因为函数与的图象有两条公切线， 则，解得， 即实数的取值范围为. 【考点5：已知切线（斜率）求参数】 【知识点：已知切线（斜率）求参数】 1．（2025高二下·山东济宁·阶段练习）若直线为曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】先设点并写出曲线的切线方程，再比较两个方程的斜率与截距可得到与的方程组，解方程即可得到的值 【详解】因为，所以， 设切点为，则切线方程为， 化简可得， 又因为是曲线y的切线，所以， 解得. 故答案为：. 2．（2025高三下·上海·阶段练习）已知函数的图像在处的切线与直线垂直，则实数 ． 【答案】1 【分析】根据导数的几何意义及两直线垂直的斜率关系即可求出的值． 【详解】由，得， 因为函数的图象在处的切线与直线垂直， 所以，则． 故答案为：1 3．（2025高三下·上海宝山·阶段练习）已知 为正实数，直线 与曲线 相切，则 的最小值为 . 【答案】9 【分析】先设切点坐标，再根据切点在直线和曲线上列式求参，最后应用基本不等式计算求解. 【详解】设切点为， 又因为曲线 ，则，直线 斜率为1， 所以，又因为， 所以，所以，因为 为正实数， 所以， 当且仅当，即时，则 取最小值为9. 故答案为：9. 4．（2025高二下·全国·课后作业）已知曲线在点处的切线方程为，求切点的坐标和实数的值． 【答案】， 【分析】根据条件，利用导数的定义及导数的几何意义，可得，代入中，可得，得切点坐标，再由切点在上，即可求解. 【详解】设切点的坐标为，切线斜率为， 由， 得．根据题意，得，解得， 当时，，所以切点为， 又，解得， 故所求切点的坐标为，． 5．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数的图象在点处的切线为． (1)求函数的解析式; (2)若曲线在点P处的切线与直线垂直， 求点P 的横坐标． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用导数的意义求出切线的斜率，再利用切线方程求出即可； （2）由两直线垂直得到斜率关系，再利用导数的意义求解即可； 【详解】（1）函数， ， 在点处的切线为， 解得， 所以 （2）设，则由题可知，即， 所以P的横坐标为2． 【考点6：函数图象的判断及应用】 【知识点：函数图象的判断及应用】 1．（24-25高二下·江西赣州·期中）已知是的导数，的图象如图，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导函数的正负及变化规律即可判断. 【详解】由的图象可知，，所以的图象单调递增， 因为的值先增大后减小，所以的切线的斜率先增大后减小，根据图象可判断A正确. 故选：A. 2．（2025高二下·上海·阶段练习）已知是函数的导函数，且的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的导函数图象，确定函数的单调性及单调性，进而确定其图象. 【详解】由函数的图象，得当或时，；当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，选项ABC错误，D正确. 故选：D 3．（安徽省A10联盟2025学年高二下学期3月阶段考试数学试题）已知上的可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论． 【详解】由图象知的解集为，的解集为， 或， 所以或，解集即为． 故选：C 【考点7：导数运算的新定义问题】 【知识点：导数运算的新定义问题】 1．（2025高二下·湖北十堰·阶段练习）已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”设，则在区间上的“新驻点”为 ． 【答案】 【分析】利用“新驻点”的定义即可求解. 【详解】因为，所以， 令，即，得， 因为，解得， 所以，函数在上的“新驻点”为． 故答案为：． 2．（2025高二下·黑龙江绥化·阶段练习）法国数学家拉格朗日1797年在著作《解析函数论》中给出一个定理：如果函数满足条件： （1）在闭区间是连续不断的；（2）在区间上都有导数. 则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日中值”． 函数在区间上的“拉格朗日中值” ． 【答案】 【分析】先求导，然后根据“拉格朗日中值”定义得到等式，最后解方程即可. 【详解】因为，所以, 结合“拉格朗日中值”定义可得, 所以，又因为，所以, 故答案为: 3．（2025·安徽·模拟预测）给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导数，记.若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上不是是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给出的导数新定义逐项判断即可. 【详解】对于A：，，， 则在上恒有，故A错误； 对于B：，，， 则在上恒有，故B错误； 对于C：，，， 则在上恒有，故C错误； 对于D：，，， 则在上恒有，故D正确. 故选：D. 4．（2025·江西南昌·一模）我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用导数求出函数的极值点，再逐一判断各个选项即可. 【详解】，则， 令，则， 如图，作出函数的图象， 由图可知函数的图象有两个交点， 即函数有两个零点，且， 令，则或，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点为，极小值点为. 对于A，函数在上单调递减，在单调递增， 所以函数有极小值点，无极大值点，故A选项不符； 对于B，函数在上单调递增，在单调递减， 所以函数有极大值点，无极小值点，故B选项不符； 对于C，， 当或时，，当时，， 所以函数的极大值点为，极小值点为，故C选项符合题意； 对于D，， 则函数的极小值点为，极大值点为，故D选项不符. 故选：C. 5．（2025高二上·江苏镇江·阶段练习）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为在上的导函数记为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求函数导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可． 【详解】由于，则， 得，由于在上为“凸函数”， 所以 在上恒成立，即在上恒成立， 由对勾函数的性质知在上单调递增， 于是，故. 故选:  C 6．（25-26高三上·上海·期中）给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图象的对称中心．若函数，则的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过二次求导得到的对称中心，利用对称性求解即可. 【详解】由题意可得，， 令解得， 又， 所以的图象的对称中心为，即， 所以 ， 故选：B 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$