精品解析：湖北省襄阳市襄城区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷

襄城区2025年元月期末调研测试九年级数学试题 （本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线经过点．则下列各点在双曲线上是（ ） A. B. C. D. 3. 若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比为（ ） A. B. C. D. 无法确定 4. 下列事件不是随机事件的是（ ） A. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 B. 通常加热到时，水沸腾 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 5. 如图，正五边形内接于，为弧上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（ ） A B. C. D. 7. 如图，点D是的边上一点，连接．下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹．横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试．不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服，”大意是：一人拿着一根竹杆进屋内，竹杆比门宽多4尺，比门高多2尺，如果竹杆斜着进门，恰好通过．若设竹杆的长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C D. 9. 如图，斜边长为的等腰直角的两直边都在坐标轴上，将绕原点顺时针旋转得到，点的对应点为点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B．对称轴为直线，以下四个结论：①；②；③；④若，则，其中结论错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，请把答案填在答题卡对应位置的横线上） 11. 关于X的一元二次方程的一个根是0，则a的值为________. 12. 如图，已知点是反比例函数的图象上一点，轴于点，若，则______． 13. 如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为______． 14. 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩是___． 15. 如图，在平行四边形中，连接，点E是上一点，交于点F．若，，，，则的长为______． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内） 16. 解方程：． 17. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转一定的角度得到，且点D恰好落在边上．试探究与的位置关系，并说明理由． 18. 数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D，其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家人名”． （1）若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是__________； （2）若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率． 19. 若关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若a，b是关于x的一元二次方程的两个根，且，求m的值． 20. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数（为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． （1）求，，的值； （2）点是（）的图象上一点，轴交轴于点，轴交轴于点，若的面积小于四边形的面积，直接写出此时点的横坐标的取值范围． 21. 如图，是的内接三角形，点E是直径延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 22. 根据以下信息，探索完成任务． 如何制定销售方案？ 素材1 某快餐店试销某种套餐，每份套餐成本为5元，该店每天其他成本费用为600元（水费、电费和人工费用等），为了便于结算，每份套餐的售价设为（元），且为整数，该店每天的利润设为（元）． 素材2 试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份． 素材3 经周边餐馆的考察，该快餐店决定套餐的最高价格不超过15元． 问题解决 任务1 分析数量关系 （1）若每份套餐售价不超过10元，直接写出与的函数关系式为________． （2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客：若不能，说明理由． 任务2 制定最优销售方案 （3）若要使每天利润达到最高，又能吸引顾客，则每份套餐的售价定为多少元，并求出最高利润． 23. 阅读材料：根据义务教育教科书八年级下册第53页直角三角形性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，九年级上册第80页文字内容“（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”和第86页圆周角定理“同弧或等弧所对的圆周角相等”．我们在数学学习的过程中，如果将这些知识运用到几何解题中，可以起到事半功倍的作用，小刚在学习过程中遇到下面数学问题：如图，点E是矩形对角线上任意一点，交于点F，连接． 【特例发现】（1）如图1，若，取的中点O，连接，，由阅读材料可知：点A，B，F，E在上，于是可以得到： ①______； ②______； 【类比探究】（2）如图2，若，求的值； 【拓展探究】（3）如图3，与交于点G，若，．请探究与的数量关系，并说明理由． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是x轴上方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式及点C的坐标； （2）如图，当时，求m的值； （3）过点P分别作x轴、y轴的平行线交于点M、N，的周长记为l． ①请直接写出l关于m的函数解析式； ②在点P运动的过程中，当l取某一个值时，存在两个点，它们的横坐标分别为，（），满足，请求出此时l的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄城区2025年元月期末调研测试九年级数学试题 （本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2. 双曲线经过点．则下列各点在双曲线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． 将点代入，得，于是可得，进而可得比例函数解析式为，将各选项中点的坐标代入，即可判断出各点是否在双曲线上． 【详解】解：双曲线经过点， ， ， 反比例函数解析式为， A. ，由于，因此不在双曲线上，故选项不符合题意； B. ，由于，因此在双曲线上，故选项符合题意； C. ，由于，因此不在双曲线上，故选项不符合题意； D. ，由于，因此不在双曲线上，故选项不符合题意； 故选：． 3. 若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；因此此题根据“两个三角形相似，那么这两个三角形的面积比等于相似比的平方”进行求解即可． 【详解】解：若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比为； 故选C． 4. 下列事件不是随机事件的是（ ） A. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 B. 通常加热到时，水沸腾 C. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D. 掷一次骰子，向上一面的点数是3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，准确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键：必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件，即不确定事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念及事件发生的可能性大小进行判断即可． 【详解】解：A. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，故选项不符合题意； B. 通常加热到时，水沸腾，是必然事件，不是随机事件，故选项符合题意； C. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，故选项不符合题意； D. 掷一次骰子，向上一面的点数是，是随机事件，故选项不符合题意； 故选：． 5. 如图，正五边形内接于，为弧上的一点（点不与点重合），则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理；连接，先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴, ∴， 故选：A． 6. 将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律是：左加右减、上加下减，按照“左加右减、上加下减，根据抛物线平移的方向和距离，可以得到平移后的二次函数的解析式． 【详解】解：二次函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 得到的二次函数的解析式是， 整理得：． 故选： D． 7. 如图，点D是的边上一点，连接．下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：∵， ∴A、由不能判定，故符合题意； B、由能判定，故不符合题意； C、由能判定，故不符合题意； D、由能判定，故不符合题意； 故选A． 8. 古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹．横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试．不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服，”大意是：一人拿着一根竹杆进屋内，竹杆比门宽多4尺，比门高多2尺，如果竹杆斜着进门，恰好通过．若设竹杆的长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题），勾股定理等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键．若设竹杆的长为尺，则由题意得，门高为尺，门宽为尺，然后根据勾股定理即可得出答案． 【详解】解：若设竹杆的长为尺， 则由题意得：门高为尺，门宽为尺， 根据勾股定理可得：， 故选：． 9. 如图，斜边长为的等腰直角的两直边都在坐标轴上，将绕原点顺时针旋转得到，点的对应点为点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，斜边中线等于斜边一半；设与轴相交于点，由旋转可得是斜边长为等腰直角三角形，，即得，，进而根据等腰直角三角形的性质可得，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设与轴相交于点， ∵是斜边长为等腰直角三角形，将绕原点顺时针旋转得到， ∴是斜边长为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：． 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B．对称轴为直线，以下四个结论：①；②；③；④若，则，其中结论错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线开口向上可得，由抛物线的对称轴为直线可得，由抛物线与轴的交点在负半轴上可得，据此即可判断结论①；由二次函数的图象与x轴交于点可得，即，结合，可得，由于，两式结合即可判断结论②；由抛物线开口向上且对称轴为直线可得，当时，函数取得最小值为，因而对于抛物线上的任意一点，其纵坐标均不小于，即，由此即可判断结论③；由于抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为，因此根据轴对称的性质，可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，由一元二次方程的根与系数的关系可得，进而可得，再结合可得，于是可得，则，又因，于是可得，再结合，即可判断结论④；综上，即可得出所有错误的结论． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在负半轴上， ∴， ，故结论①正确； 二次函数的图象与x轴交于点， ， 即：， ， ， ， ，故结论②正确； 抛物线开口向上，且对称轴为直线， 当时，函数取得最小值为， 对于抛物线上的任意一点，其纵坐标均不小于， ， 即：，故结论③正确； 抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， 根据轴对称的性质，可得抛物线与轴的另一个交点坐标为， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故结论④错误； 综上，错误的结论有：④， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号，抛物线与轴的交点问题，二次函数的图象与系数的关系，的最值，一元二次方程的根与系数的关系，轴对称的性质，不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，请把答案填在答题卡对应位置的横线上） 11. 关于X的一元二次方程的一个根是0，则a的值为________. 【答案】2 【解析】 【详解】将0代入原方程，则 则a=2. 12. 如图，已知点是反比例函数的图象上一点，轴于点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解答本题的关键． 根据反比例函数系数的几何意义得到，解得，然后根据反比例函数的性质得到满足条件的的值． 【详解】解：轴于点，且， ， ， 反比例函数在第二象限， ， 故答案为：． 13. 如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 由切线长定理可得，，，进而可求得的周长． 【详解】解：如图，设与切于点， ，，分别切⊙于点，，， ，，， 的周长 ， 故答案为：． 14. 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师对小明投掷铅球的录像进行技术分析，如图，发现铅球在行进过程中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩是___． 【答案】7m 【解析】 【分析】当y＝0时代入解析式，求出x的值就可以求出结论． 【详解】解：由题意，得 当y＝0时，， 化简，得：， 解得：（舍去）， 故答案为：7m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的解法，解题关键是结合题意，取函数或者自变量的特殊值列方程求解． 15. 如图，在平行四边形中，连接，点E是上一点，交于点F．若，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长、交于点G，由可得，由两直线平行同位角相等可得，由平行四边形性质可得，，即，由两直线平行内错角相等可得，，再结合，可证得四边形是平行四边形，于是可得，，由平行线分线段成比例定理可得，设，则，，，，在中，根据勾股定理可得，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的值，然后根据即可求出的长． 【详解】解：如图，延长、交于点G， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，即， ，， 又， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 设，则，，，， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：或（不符合题意，故舍去）， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，直接开平方法解一元二次方程，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内） 16. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，具体是求根公式法的运用．熟练掌握一元二次方程求根公式以及判别式与根的关系是解题的关键，要先根据方程确定系数、、的值，再计算判别式，最后代入求根公式求解．对于一元二次方程，可使用一元二次方程的求根公式来求解，其中、、是一元二次方程（）的系数，先计算出判别式的值，再代入求根公式得出方程的解． 【详解】解：方程中，，，． ， ， ∴，． 17. 如图，在中，，将绕点A逆时针旋转一定的角度得到，且点D恰好落在边上．试探究与的位置关系，并说明理由． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，，，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：； 理由：由旋转性质知：，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 18. 数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D，其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家人名”． （1）若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是__________； （2）若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式解答即可． （2）利用画树状图法解答即可． 本题考查了简单的概率公式，树状图法求概率，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 【小问1详解】 小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意，画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的结果，其中小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的有2种， ∴小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率是． 19. 若关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若a，b是关于x的一元二次方程的两个根，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）由题意易得，然后求解即可； （2）由题意易得，然后根据完全平方公式可得，进而代入进行求解即可 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由题意知：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即：m的值为． 20. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数（为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． （1）求，，的值； （2）点是（）的图象上一点，轴交轴于点，轴交轴于点，若的面积小于四边形的面积，直接写出此时点的横坐标的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，反比例系数的几何意义，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）将点代入，即可求得，将代入，即可求得值，进而得到点的坐标，最后将点的坐标代入反比例函数的解析式即可求得的值； （2）由题意可设，所以，又的面积小于四边形的面积，所以，结合，解出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：在上， ， ， ， 在上， ， ， 在上， ，即，，； 【小问2详解】 解：由题意可设， ， ， ， ， ． 21. 如图，是的内接三角形，点E是直径延长线上一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由等边对等角得，，结合圆周角定理得，进行角的等量代换，则，即可作答． （2）因为，且在中，，推导出，则，运用勾股定理得，代入数值进行计算得，则，结合割补法列式计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：连接，如下图， ∵， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 设半径为r，， 则， 在中，， ∴， 解得：，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，勾股定理，扇形面积，30度所对的直角边是斜边的一半，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22. 根据以下信息，探索完成任务． 如何制定销售方案？ 素材1 某快餐店试销某种套餐，每份套餐的成本为5元，该店每天其他成本费用为600元（水费、电费和人工费用等），为了便于结算，每份套餐的售价设为（元），且为整数，该店每天的利润设为（元）． 素材2 试销一段时间后发现，若每份套餐售价不超过10元，每天可销售400份；若每份套餐售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份． 素材3 经周边餐馆的考察，该快餐店决定套餐的最高价格不超过15元． 问题解决 任务1 分析数量关系 （1）若每份套餐售价不超过10元，直接写出与的函数关系式为________． （2）该店把每份套餐的售价提高到10元以上，每天的利润能否达到1560元？若能，求出每份套餐的售价定为多少元时，既能保证利润，又能吸引顾客：若不能，说明理由． 任务2 制定最优销售方案 （3）若要使每天利润达到最高，又能吸引顾客，则每份套餐的售价定为多少元，并求出最高利润． 【答案】任务1：（1）；（2）能，该套餐售价应定为11元；任务2：（3）每份套餐的售价定为12元，最高利润为1640元 【解析】 【分析】任务1：（1）由题意得y与x的函数关系式为； （2）由题意知当每份套餐售价提高到10元以上时，，将代入，求出符合要求的解即可． 任务2：（3）根据函数解析式，结合x的取值，求出函数的最大值即可． 【详解】任务1：（1）解：由题意得y与x的函数关系式为： ． （2）由题意知当每份套餐售价提高到10元以上时， ， 将代入得：， 解得：，， 为了保证净收入又能吸引顾客，应取， ∴把每份套餐售价提高到10元以上，每天的纯收入能达到1560元，该套餐售价应定为11元． 任务2：（3）每份套餐售价不超过10元时，获得利润为： （元）， 每份套餐售价提高到10元以上时，获得的利润为： ， ∵，且x为整数， ∴当或时，获得利润最大， ∴为了吸引顾客，售价应该定为12元，且最大利润为： （元）． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列出函数解析式． 23. 阅读材料：根据义务教育教科书八年级下册第53页直角三角形性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，九年级上册第80页文字内容“（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”和第86页圆周角定理“同弧或等弧所对的圆周角相等”．我们在数学学习的过程中，如果将这些知识运用到几何解题中，可以起到事半功倍的作用，小刚在学习过程中遇到下面数学问题：如图，点E是矩形对角线上任意一点，交于点F，连接． 【特例发现】（1）如图1，若，取的中点O，连接，，由阅读材料可知：点A，B，F，E在上，于是可以得到： ①______； ②______； 【类比探究】（2）如图2，若，求的值； 【拓展探究】（3）如图3，与交于点G，若，．请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）①由四边形是矩形且可证得四边形是正方形，则，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由此即可求出的度数；②由可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，由此即可求出的值； （2）取的中点O，连接，，由可得，由矩形的性质可得，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，于是可得点A，B，F，E在上，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，进而可证得，于是可得，由此即可求出的值； （3）由（2）易知，由可得，由矩形的性质可得，，，由可得，由两直线平行同位角相等可得，即，由直角三角形的两个锐角互余可得，，进而可得，再结合，，利用可证得，于是可得，，进而可得垂直平分，则，由两直线平行内错角相等可得，由可得，进而可得，再结合，利用可证得，于是可得，进而可得，设，则，由直角三角形的两个锐角互余可得，再结合，可得，又因，由此可证得，于是可得，即，由此可得，由勾股定理可得，进而可得，于是结论得证． 【详解】解：（1）①四边形是矩形，， 四边形是正方形， 又是对角线， ， ， 故答案为：； ②， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，取的中点O，连接，， ， ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 点A，B，F，E在上， ， ， ， 即：的值为； （3），理由如下： 由（2）易知：， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， 即：， ， ， ， 又，， ， ，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 设，则， ，， ， 又， ， ， 即：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，等角对等边，直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，线段垂直平分线的判定，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是x轴上方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式及点C的坐标； （2）如图，当时，求m值； （3）过点P分别作x轴、y轴的平行线交于点M、N，的周长记为l． ①请直接写出l关于m的函数解析式； ②在点P运动的过程中，当l取某一个值时，存在两个点，它们的横坐标分别为，（），满足，请求出此时l的值． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可求解； （2）如图，过P作轴于点D，求出，，由题意知，则，表示出，，然后根据题意得到，，代入求解即可； （）设得解析式为，求出得解析式为，设，则，，分当点在下方时，即时和当点在上方时，即时，求出即可； l与m的图象如图所示，然后得到，，然后分和两种情况讨论，然后分别求解即可． 【小问1详解】 ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴ 解得 ∴， ∴将时， ∴； 【小问2详解】 如图，过P作轴于点D， ∵，，， ∴，， 由题意知，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，（与点B重合，舍去）， ∴； 【小问3详解】 由（）得：， 设得解析式为：， ∴，解：， ∴得解析式为：， 设， ∵轴，轴， ∴，， 如图，当点在下方时，即时， ∴，， ∴， ∴的周长； 如图，当点在上方时，即时， ∴，， ∴， ∴的周长； ∴； ②l与m的图象如图所示， ∵，， ∴，， 当时，， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， 当时，由图象可知横坐标为与的两点关于对称， ∴，此时，这种情况不成立， 综上：． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象及性质，待定系数法，解直角三角形和解一元二次方程，熟练掌握知识点点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $