专题2.8 正方形（5大知识点4大考点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题2.8 正方形（5大知识点4大考点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 【要点说明】既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 【知识点二】正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 【要点说明】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 【知识点三】正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 【知识点四】特殊平行四边形之间的关系 【知识点五】顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 【要点说明】新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【考点1】正方形的性质 【题型1】正方形性质理解.......................................................2 【题型2】根据正方形的性质求角度...............................................3 【题型3】根据正方形的性质求线段长.............................................4 【题型4】根据正方形的性质求面积...............................................5 【题型5】求正方形重孴部分面积.................................................5 【题型6】根据正方形的性质证明.................................................6 【考点2】正方形的判定 【题型7】正方形的判定定理理解.................................................7 【题型8】添一个条件使四边形是正方形...........................................8 【题型9】证明四边形是正方形...................................................9 【考点3】正方形的性质与判定综合 【题型10】根据正方形的性质与判定求角度........................................10 【题型11】根据正方形的性质与判定求线段长......................................11 【题型12】根据正方形的性质与判定求面积........................................12 【题型13】根据正方形的性质与判定证明..........................................13 【考点4】链接中考与拓展延伸 【题型14】直通中考............................................................14 【题型15】拓展延伸............................................................14 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点1】正方形的性质 【题型1】正方形性质理解 【例1】（24-25九年级上·贵州毕节·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【变式1】（23-24八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知正方形的三个顶点的坐标分别为，，，其中，则点的坐标为 ． 【变式2】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图所示，在正方形中，，是上的一点．且．连接．动点从点沿向终点运动，当以点为顶点的三角形和以点为顶点的三角形全等时，求点运动的路程． 【题型2】根据正方形的性质求角度 【例3】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【点拨】此题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，灵活利用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行角的计算是解决问题的关键． 【变式1】（2024·宁夏·中考真题）如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 ． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，是正方形的对角线，点为上一点，连接，，在上截取，连接，求的度数． 【题型3】根据正方形的性质求线段长 【例3】（24-25九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，在正方形中，点，分别在，边上，且，，连接平分，过点作于点，连接，若正方形的边长为4，则的长度是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，正方形的边长为4，点和分别为边和的中点，点在上， 交于，且，点和分别是和上的动点，且．当时，线段的长度为 ． 【点拨】此题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，正方形的对角线交于点O，点E是线段上一点，连接，过点B作于点F，交于点若，是的平分线，求的长． 【题型4】根据正方形的性质求面积 【例4】（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）已知正方形的对角线长为4，则正方形的面积为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，菱形的面积为，正方形的面积为则菱形的边长为 ． 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，正方形的对角线交于点，是边上的一点，连接，过点作交于点，若，求四边形的面积． 【题型5】求正方形重孴部分面积 【例5】（20-21八年级下·山西晋中·期末）如图，正方形、、、的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按照如图所示的方式摆放，点、、分别位于正方形、、、对角线的交点，则阴影部分的面积和为（　　） A．12 B．13 C．14 D．18 【变式1】（2023九年级上·山东·专题练习）如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是 ． 【变式2】（20-21八年级下·四川达州·期末）一位同学拿了两块45°的三角尺、做了一个探究活动，将的直角顶点放在的斜边的中点处，设． （1）如图1，两个三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为______． （2）将图1中的绕顶点逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为______． （3）如果将继续绕顶点逆时针旋到如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并加以验证． 【题型6】根据正方形的性质证明 【例6】（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在正方形中，是对角线上一动点，过点分别作于点于点，连接．在点运动的过程中，下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在正方形中，平分交于点E，点F 是边上一点，连接，若，则的度数为 ． 【变式2】（24-25八年级下·全国·期末）如图，四边形是正方形，点在的延长线上，且，是上一点，连接，作交射线于点． （1）如图①，连接，当时，判断的形状，并说明理由； （2）如图②，当时，写出线段之间的数量关系，并证明． 【考点2】正方形的判定 【题型7】正方形的判定定理理解 【例7】（24-25九年级上·安徽宿州·期中）满足下列条件的四边形一定是正方形的是（   ） A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 【变式1】（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图1，一张矩形纸片，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使点与点重合，折痕为，如图2，已知的面积与的面积之和为，，则的长为 ． 【变式2】（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图， 是等腰直角三角形， ，点 、分别是 、上的一 动点，且满足 ，是 的中点． （1）求证：； （2）当点运动到什么位置时，四边形是正方形，并说明理由． 【题型8】添一个条件使四边形是正方形 【例8】（2025·广东深圳·一模）如图，四边形的对角线，相交于点O，，，则下列说法错误的是（　　） A．若，则四边形是矩形 B．若平分，则四边形是菱形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 【变式1】（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 （仅填序号）． 【变式2】（24-25八年级下·山东聊城·开学考试）如图，在中，是角平分线，交于点，交于点． （1）判定四边形的形状，并证明你的结论； （2）当满足什么条件时，四边形是正方形？为什么？ 【题型9】证明四边形是正方形 【例9】（24-25八年级下·山东聊城·开学考试）在四边形中，点是对角线的交点．在下列条件中，能判定这个四边形为正方形的是（    ）． A．， B．， C．， D．，， 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）将矩形纸片按如图所示的方式折叠，使点A恰好落上的点F处，折痕为，将纸片沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其用到的正方形判定方法是 ． 【变式2】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点，过点作于点，连接． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求的度数． 【考点3】正方形的性质与判定综合 【题型10】根据正方形的性质与判定求角度 【例10】（23-24七年级下·北京·期中）将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2025·江西九江·模拟预测）如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为 ． 【变式2】（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）阅读下列材料： 我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形． 如正方形就是和谐四边形． 结合阅读材料，完成下列问题： （1）下列哪个四边形一定是和谐四边形（       ） A．平行四边形；B．矩形；C．菱形；D．等腰梯形 （2）如图：等腰中，．若点C为平面上一点，为凸四边形的和谐线，且， 求出的度数．    【题型11】根据正方形的性质与判定求线段长 【例11】（24-25九年级上·重庆巫山·期末）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，连接．则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，有一张长方形纸片，其中边的长为2，将长方形沿对角线对折，折叠后得到，点C的对应点为E，与交于点F，再将沿对折，使点E落在长方形纸片的内部点G处，若平分，则的长为 ． 【变式2】（24-25九年级上·吉林松原·阶段练习）【教材呈现】 如图是某数学教材中平行四边形的性质章节中的部分内容． 探究如图，在中，连接，，并设它们相交于点，与，与有什么关系? （1）如图，在中，与之间的数量关系为______，与之间的数量关系为______； 【性质应用】 （2）如图，的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，，连接，． 求证：四边形是平行四边形； 若，，的周长是，，则的长是______． 【题型12】根据正方形的性质与判定求面积 【例12】（23-24八年级下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，语文中的汉语拼音书写是由等距离、等长度的四线三格平行横线组成，已知相邻两条平行线间的距离都是1，正方形的四个顶点分别在四条直线上，则正方形的面积为（    ） A． B． C．3 D．5 【变式1】（23-24九年级下·全国·单元测试）已知四边形中，，，，则这个四边形的面积是 【变式2】（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，且，求四边形的面积． 【题型13】根据正方形的性质与判定证明 【例13】（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，中，，，的中垂线与的平分线相交点P，与相交于点Q，与相交于D，连接、．若，下列结论： ①；        ②； ③；        ④． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．给出以下结论：    ①矩形是正方形； ②；③平分； ④．其中正确的序号为 ． 【变式2】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型14】链接中考 【例1】（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【例2】（2024·天津·中考真题）如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为 ； （2）若为的中点，则线段的长为 ． 【题型15】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接、． （1）求证：； （2）在图1中，若在上，且，连接，求证：； （3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，求的长； ②如图3，在菱形中，，、分别在和上，且，连接．若，，请直接写出的长度________． 【例2】（22-23八年级下·西藏拉萨·期末）如图，在中，点是边上一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点． （1）线段和的位置关系 ________； （2）线段与的数量关系 ________； （3）当点在边上运动到什么位置，四边形是矩形，请说明理由； （4）在（3）问的基础上，满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.8 正方形（5大知识点4大考点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】正方形的定义 四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 【要点说明】既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 【知识点二】正方形的性质 正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角； 3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角； 4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 【要点说明】正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 【知识点三】正方形的判定 正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 【知识点四】特殊平行四边形之间的关系 【知识点五】顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 【要点说明】新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 第一部分【题型目录】 知识点与题型目录 【考点1】正方形的性质 【题型1】正方形性质理解........................................................2 【题型2】根据正方形的性质求角度................................................4 【题型3】根据正方形的性质求线段长..............................................7 【题型4】根据正方形的性质求面积...............................................10 【题型5】求正方形重孴部分面积.................................................12 【题型6】根据正方形的性质证明.................................................15 【考点2】正方形的判定 【题型7】正方形的判定定理理解.................................................20 【题型8】添一个条件使四边形是正方形...........................................22 【题型9】证明四边形是正方形...................................................25 【考点3】正方形的性质与判定综合 【题型10】根据正方形的性质与判定求角度........................................27 【题型11】根据正方形的性质与判定求线段长......................................32 【题型12】根据正方形的性质与判定求面积........................................34 【题型13】根据正方形的性质与判定证明..........................................36 【考点4】链接中考与拓展延伸 【题型14】直通中考............................................................46 【题型15】拓展延伸............................................................49 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点1】正方形的性质 【题型1】正方形性质理解 【例1】（24-25九年级上·贵州毕节·期中）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角互补 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形、正方形的性质，根据正方形和矩形的性质逐项分析可得结论． 解：A、正方形的对角线相等且互相垂直，矩形的对角线只相等但不垂直，正方形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直，故A选项符合题意； B、正方形和矩形的对角都互补，故B选项不符合题意； C、正方形和矩形的对角线都互相平分，故C选项不符合题意； D、正方形和矩形的对角线都相等，故D选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】（23-24八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知正方形的三个顶点的坐标分别为，，，其中，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可知点，在轴上，且关于轴对称，再根据正方形的性质得点，在轴上，且关于轴对称，得到点的坐标为，进而可得点的坐标． 解：，， 点，在轴上，且关于轴对称， 四边形是正方形，为对角线， 点，在轴上，且关于轴对称， 又点， ， 即点的坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图所示，在正方形中，，是上的一点．且．连接．动点从点沿向终点运动，当以点为顶点的三角形和以点为顶点的三角形全等时，求点运动的路程． 【答案】7或13 【分析】本题考查了正方形性质、全等三角形性质，根据题意，分两种情况讨论，由全等三角形性质得到对应边相等，从而列式求解即可得到答案，熟练掌握三角形全等的性质是解决问题的关键． 解：如图所示： ①当点在上时， ， ， 由题意可得：； ②当点在上时， ， ， 由题意得：， 当以点为顶点的三角形和以点为顶点的三角形全等时，点运动的路程为7或13． 【题型2】根据正方形的性质求角度 【例3】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在正方形外侧，以为一边向上作等边三角形，连接，，相交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形和等边三角形的性质得，进而得，然后根据即可得出答案． 解：∵四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选：C． 【点拨】此题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等边三角形的性质，熟练掌握正方形的性质，等边三角形的性质，灵活利用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行角的计算是解决问题的关键． 【变式1】（2024·宁夏·中考真题）如图，在正五边形的内部，以边为边作正方形，连接，则 ． 【答案】81 【分析】本题考查正多边形的内角问题，正方形的性质，等腰三角形的性质等．先根据正多边形内角公式求出，进而求出，最后根据求解． 解：正五边形中，，， 正方形中，，， ，， ， ， 故答案为：81． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，是正方形的对角线，点为上一点，连接，，在上截取，连接，求的度数． 【答案】． 【分析】此题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据正方形的性质得，，， 则，再根据，得，由此可得的度数，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 解：∵四边形是正方形，是对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型3】根据正方形的性质求线段长 【例3】（24-25九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，在正方形中，点，分别在，边上，且，，连接平分，过点作于点，连接，若正方形的边长为4，则的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，先证明得出，，根据三角形中位线定理得出，分别在，中利用勾股定理求出，，即可求解． 解：如图，延长交于点H． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵，正方形的边长为4， ∴，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，正方形的边长为4，点和分别为边和的中点，点在上， 交于，且，点和分别是和上的动点，且．当时，线段的长度为 ． 【答案】 【分析】首先求出，然后证明出四边形，，，是矩形，得到，然后设，则，勾股定理表示出，，然后根据列方程求解即可． 解：∵正方形的边长为4，点和分别为边和的中点， ∴ ∵交于，且， ∴四边形，，，是矩形， ∴ ∴， ∴设，则 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴． ∴当时，线段的长度为． 故答案为：． 【点拨】此题考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，正方形的对角线交于点O，点E是线段上一点，连接，过点B作于点F，交于点若，是的平分线，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的内角和定理等，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．首先得到是等腰直角三角形，再由勾股定理求出，然后得到，进而求解即可． 解：四边形是正方形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 【题型4】根据正方形的性质求面积 【例4】（24-25九年级上·辽宁朝阳·期中）已知正方形的对角线长为4，则正方形的面积为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的对角线相等，且互相垂直的性质，正方形的面积的求解．根据正方形的对角线相等且互相垂直，正方形是特殊的菱形，菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可． 解：∵正方形的一条对角线长为4， ∴面积是， 故选：C． 【变式1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，菱形的面积为，正方形的面积为则菱形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正方形的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，先证明，，，，再进一步可得，结合勾股定理可得答案． 解：如图，记的交点为， ∵正方形的面积为， ∴，，，， ∴，， ∵菱形的面积为， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为： 【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，正方形的对角线交于点，是边上的一点，连接，过点作交于点，若，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，进而可证，得到，即得，由求出即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【题型5】求正方形重孴部分面积 【例5】（20-21八年级下·山西晋中·期末）如图，正方形、、、的边长分别为2、4、6、4，四个正方形按照如图所示的方式摆放，点、、分别位于正方形、、、对角线的交点，则阴影部分的面积和为（　　） A．12 B．13 C．14 D．18 【答案】C 【分析】根据正方形的中心对称性，得到每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的，即可解答． 解：∵正方形具有中心对称性，则每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的， ∴ = =14 故选：C． 【点拨】本题考查了正方形的中心对称性，根据中心对称性得到每一个阴影部分的面积为其所在的小正方形的面积的是解题的关键． 【变式1】（2023九年级上·山东·专题练习）如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质，解题关键是题中重合的部分的面积是不变的，且总是等于正方形面积的． 根据题意可得：，所以，从而可求得其面积． 解：如图， 正方形和正方形的边长都是， ，，， ∴， 在和中， ， ， ； 则图中重叠部分的面积是， 故答案为：1． 【变式2】（20-21八年级下·四川达州·期末）一位同学拿了两块45°的三角尺、做了一个探究活动，将的直角顶点放在的斜边的中点处，设． （1）如图1，两个三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为______． （2）将图1中的绕顶点逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为______． （3）如果将继续绕顶点逆时针旋到如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并加以验证． 【答案】（1），（2），（3），验证见分析． 【分析】（1）如图（1）中，由题目已知条件可得,，根据勾股定理即可得到的值，再根据是的中点，得出，即可求出重叠部分的面积； （2）如图（2）中，由题意可得，重叠部分是正方形，边长为，面积为； （3）如图（3）中，过点M作、的垂线、，垂足为、，求得≌，则阴影部分的面积等于正方形的面积． 解：（1）如图（1）中， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴=， ∵， ∴， ∴重叠部分的面积为： （2）如图（2）中，由题意可得，重叠部分是正方形， ∴边长为：， ∴面积为： （3）如图（4），过点分别作，的垂线、，垂足分别为、， ∵是斜边的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴阴影部分的面积等于正方形的面积， ∵正方形的面积是， ∴阴影部分的面积是． 【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【题型6】根据正方形的性质证明 【例6】（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在正方形中，是对角线上一动点，过点分别作于点于点，连接．在点运动的过程中，下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，延长交于点， 延长交于点，证明四边形是正方形，四边形是矩形，然后得到，即可判断A、C选项；然后根据等量代换得到，判断B选项；然后利用正方形的性质判断D解题即可． 解： 延长交于点， 延长交于点，    ∵四边形是正方形. ∴. ∵， ∴四边形是正方形，四边形是矩形， ， ∴， ∴， ∵在与中， ， ∴， ∴， 故A、C正确； ∵与中， ， ∴， ∴， 故B正确. ∵是上任意一点， ∴只有当是正方形时，， 故D不一定成立， 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·福建漳州·期中）如图，在正方形中，平分交于点E，点F 是边上一点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，可以得到的度数，从而可求得的度数． 解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 四边形是正方形，平分， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是证明． 【变式2】（24-25八年级下·全国·期末）如图，四边形是正方形，点在的延长线上，且，是上一点，连接，作交射线于点． （1）如图①，连接，当时，判断的形状，并说明理由； （2）如图②，当时，写出线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）等腰直角三角形，见分析；（2），见分析 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据题意得到，可证明，即可得到结论； （2），过点作，交于点，得到， 可证明，得到，即可得到． 解：（1）解：（1）是等腰直角三角形．理由如下： 如图，连接． 四边形是正方形， ， ， ，， ，，， ，， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：， 如图，过点作，交于点，则， 由（1）得， ， ，， 在中，． 由（1）得， ， 同（1）得， 在和中， ， ， ， ． 【考点2】正方形的判定 【题型7】正方形的判定定理理解 【例7】（24-25九年级上·安徽宿州·期中）满足下列条件的四边形一定是正方形的是（   ） A．对角线互相平分且相等的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定，同时也考查了平行四边形、矩形及菱形的判定，掌握这些四边形的判定方法是关键．根据正方形的判定方法即可作出判断． 解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形不是正方形，不符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形不是正方形，不符合题意； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，符合题意． 故选：D． 【变式1】（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图1，一张矩形纸片，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上点处，折痕为，再将纸片沿过点的直线折叠，使点与点重合，折痕为，如图2，已知的面积与的面积之和为，，则的长为 ． 【答案】3.2 【分析】本题考查矩形的折叠问题，正方形的判定，利用完全平方公式变形求值，根据题意可知四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是矩形，设，，结合题意可得，，根据，得，再结合，求得（负值舍去），即可求解．利用完全平方公式变形等式是解决问题的关键． 解：在矩形中，，，， 由折叠可知，，，，， ∴四边形是正方形，四边形是正方形，四边形是矩形， ∴设，， ∴，，则， ∴，则， 则， ∴（负值舍去）， 则， 故答案为：3.2． 【变式2】（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）如图， 是等腰直角三角形， ，点 、分别是 、上的一 动点，且满足 ，是 的中点． （1）求证：； （2）当点运动到什么位置时，四边形是正方形，并说明理由． 【答案】（1）证明见详解；（2）当点运动到的中点时，四边形是正方形 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定，正方形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）连接，根据直角三角形的性质可得，从而证明，得到由，得出，从而求证； （2）若四边形是正方形，则，得到点是的中点． 解：（1）证明：连接， 是等腰直角三角形，是的中点， ，，， 又， ， ， ， （2）当点运动到的中点时，四边形是正方形， ， ，， 为等腰直角三角形， 当为的中点时，，即， 又，， 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形。 【题型8】添一个条件使四边形是正方形 【例8】（2025·广东深圳·一模）如图，四边形的对角线，相交于点O，，，则下列说法错误的是（　　） A．若，则四边形是矩形 B．若平分，则四边形是菱形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与矩形的判定、正方形的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键． 先根据平行四边形的判定证明是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐一判断即可． 解：∵， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 若，则四边形是矩形，故A选项不符合题意； 若平分，， ∵， ∴， ∴， 则四边形是菱形，故B选项不符合题意； 若且，则四边形是正方形，故C选项不符合题意； 若且，则四边形是菱形，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，已知四边形是菱形，从①，②，③中选择一个作为条件后，使四边形成为正方形，则应该选择的是 （仅填序号）． 【答案】③ 【分析】根据菱形的性质和正方形的判定进行逐一判断即可．本题主要考查了菱形的性质，正方形的判定，熟知正方形的判定定理是解题的关键． 解：依题意，由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 由四边形是菱形加上条件不能证明四边形成为正方形； 当四边形是菱形加上条件，则证明过程如下： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴四边形是正方形； 故答案为：③． 【变式2】（24-25八年级下·山东聊城·开学考试）如图，在中，是角平分线，交于点，交于点． （1）判定四边形的形状，并证明你的结论； （2）当满足什么条件时，四边形是正方形？为什么？ 【答案】（1）菱形，见分析；（2） 【分析】本题主要考查正方形的判定，菱形的判定： （1）先根据，证明四边形是平行四边形．根据角平分线、平行线的性质得出，根据等角对等边得出，可证四边形是菱形． （2）有一个角是直角的菱形为正方形，由此可解． 解：（1）解：四边形是菱形． 证明：，， 四边形是平行四边形． 又平分， ． 又， ， ， ． 四边形是菱形． （2）解：当时，四边形是正方形． 理由：由（1）得四边形是菱形， 又， 菱形是正方形． 【题型9】证明四边形是正方形 【例9】（24-25八年级下·山东聊城·开学考试）在四边形中，点是对角线的交点．在下列条件中，能判定这个四边形为正方形的是（    ）． A．， B．， C．， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是正方形的判定，解题关键是熟练掌握正方形的判定方法． 根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案． 解：A选项，不能，一组对边平行，对角线相等，无法判断是什么四边形，故A选项错误； B选项，不能，只能判定为平行四边形，B选项错误； C选项，对角线相等而且平分的四边形是矩形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故四边形可判定为正方形，C选项正确； D选项，不能，只能判定为菱形，D选项错误． 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）将矩形纸片按如图所示的方式折叠，使点A恰好落上的点F处，折痕为，将纸片沿剪下，则折叠部分是一个正方形，其用到的正方形判定方法是 ． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】此题考查正方形的判定，折叠的性质，根据折叠得到，即可判定正方形，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键 解：由折叠得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 故答案为：有一组邻边相等的矩形是正方形 【变式2】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，在矩形中，的平分线交于点，过点作于点，连接． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，掌握全等三角形和勾股定理是解决问题的关键． （1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）解：先根据正方形性质和勾股定理求出，进而可得是等腰三角形，求，再根据，得出． 解：（1）证明：四边形是矩形， ． ， 四边形是矩形． 平分， ， 四边形的正方形． （2）解：∵四边形的正方形． ∴，， 又∵ ． ∵， ∴ ∴， ∵在矩形中，， ． 【考点3】正方形的性质与判定综合 【题型10】根据正方形的性质与判定求角度 【例10】（23-24七年级下·北京·期中）将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 【变式1】（2025·江西九江·模拟预测）如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是分类讨论．分两种情况：当时，当时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质求解即可． 解：当时， ， ， 由折叠可得：，， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ； 当时， ，， ， 由折叠可知，，， ， 点、、共线， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【变式2】（22-23八年级下·江苏无锡·阶段练习）阅读下列材料： 我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形． 如正方形就是和谐四边形． 结合阅读材料，完成下列问题： （1）下列哪个四边形一定是和谐四边形（       ） A．平行四边形；B．矩形；C．菱形；D．等腰梯形 （2）如图：等腰中，．若点C为平面上一点，为凸四边形的和谐线，且， 求出的度数．    【答案】（1）C；（2）或或 【分析】（1）由和谐四边形的定义，即可得到菱形是和谐四边形； （2）首先根据题意画出图形，然后由是四边形的和谐线，可以得出是等腰三角形，从图1，图2，图3三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和直角三角形性质，即可求出的度数． 解：（1）解：根据和谐四边形定义，平行四边形，矩形，等腰梯形的对角线不能把四边形分成两个等腰三角形，菱形的一条对角线能把四边形分成两个等腰三角形够． 故选C． （2）解：∵是四边形的和谐线，且， ∴是等腰三角形， ∵在等腰中，， ∴， ①如图1，当时，    ∴， ∴是正三角形， ∴； ②如图2，当时，    ∴． ∵， ∴四边形是正方形， ∴； ③如图3，当时，过点C作于E，过点B作于F， ∵， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， 取中点G，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴，    ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或． 【点拨】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质、矩形的性质与判定、正方形的性质与判定以及菱形的性质，此题难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 【题型11】根据正方形的性质与判定求线段长 【例11】（24-25九年级上·重庆巫山·期末）如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，连接．则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键．由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得5．在中，由勾股定理得，，则．在中，由勾股定理得，，进而可得答案． 解：由旋转得， 四边形为矩形， 四边形为正方形， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）如图，有一张长方形纸片，其中边的长为2，将长方形沿对角线对折，折叠后得到，点C的对应点为E，与交于点F，再将沿对折，使点E落在长方形纸片的内部点G处，若平分，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，折叠问题．由矩形的性质推出，，由平行线的性质推出，由折叠的性质得到，，，，，，判定，推出，判定四边形是正方形，得到是等腰直角三角形，求出，据此求解即可得到的长． 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得到：，，，，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·吉林松原·阶段练习）【教材呈现】 如图是某数学教材中平行四边形的性质章节中的部分内容． 探究如图，在中，连接，，并设它们相交于点，与，与有什么关系? （1）如图，在中，与之间的数量关系为______，与之间的数量关系为______； 【性质应用】 （2）如图，的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，，连接，． 求证：四边形是平行四边形； 若，，的周长是，，则的长是______． 【答案】（）  ；（）见分析；． 【分析】（）根据平行四边形的性质即可求解； （）由四边形是平行四边形，得，，则，，然后证明即可； 先证明四边形是矩形，又则四边形是正方形，根据正方形的性质得，，设，则，再由勾股定理即可求解； 本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：（）解：∵四边形是平行四边形， ∴  ， 故答案为：∴  ； （）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 解：由得，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵的周长是，即， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 【题型12】根据正方形的性质与判定求面积 【例12】（23-24八年级下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，语文中的汉语拼音书写是由等距离、等长度的四线三格平行横线组成，已知相邻两条平行线间的距离都是1，正方形的四个顶点分别在四条直线上，则正方形的面积为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，过点D作，垂足为，延长交于点E，易证，根据正方形的性质可证，得到，由，利用勾股定理得出，再根据正方形的面积公式即可求解． 解：如图，过点D作，垂足为，延长交于点E， ，， ， 已知相邻两条平行线间的距离都是1，四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 正方形面积是， 故选：D． 【变式1】（23-24九年级下·全国·单元测试）已知四边形中，，，，则这个四边形的面积是 【答案】40或88 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，四边形面积的求法，分两种情况进行讨论，分别求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：如图，过点作的垂线交于点，则，    ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵ ∴ 又∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，如图，过点作的垂线交于点，则，    ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是正方形， ∵ ∴ 又∵，， ∴， ∴， 故答案为：40或88． 【变式2】（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，且，求四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2）72 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线及平行线的性质证明即可； （2）先证明四边形是正方形，再根据得到正方形的边长，最后求面积即可． 解：（1）证明： ，， 四边形是平行四边形． 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形． （2）解：，四边形是菱形， 四边形是正方形， ， ， 四边形的面积为∶． 【点拨】本题考查了平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，勾股定理，角平分线的定义，正方形的面积公式，解题的关键是熟记各种四边形的判定方法． 【题型13】根据正方形的性质与判定证明 【例13】（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，中，，，的中垂线与的平分线相交点P，与相交于点Q，与相交于D，连接、．若，下列结论： ①；        ②； ③；        ④． 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①直接根据垂直平分线的性质即可判断①；②如图：过P作，过P作垂直于延长线于F，由等量代换可得，可证明可得即,再结合角平分线的定义即可判断②；③由全等三角形的性质、等腰三角形的性质可得，进而得到，再结合可得是等腰直角三角形即可判定③；④证明四边形是正方形可得，由等腰三角形的性质可得，然后由勾股定理可得、，进而得到，最后根据平方差和等量代换即可判断④． 解：①∵是的垂直平分线， ∴，即①正确； ②如图：过P作，过P作垂直于延长线于F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， ∴, 在和中， ， ∴，即②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即，故③正确； ④∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ，即④正确． 综上， ①②③④正确，正确的有4个． 故选D． 【点拨】本题主要考查了垂直平分线的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·广东广州·开学考试）如图，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以，为邻边作矩形，连接．给出以下结论：    ①矩形是正方形； ②；③平分； ④．其中正确的序号为 ． 【答案】①③④ 【分析】过点E作于点M，作于点N，根据正方形对角线性质和角平分线性质得到，结合矩形性质推出， ，得到， 得到，即可判断①；根据，判断②；根据正方形性质得到， ， ，得到，得到，得到，平分，判断③；过点F作交于点H，可得，，得到，根据， ，得到，得到，即得，判断④． 解：过点E作于点M，作于点N，如图所示， 则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， 故①正确； ∵， 当时，， 故②不正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分， 故③正确； 过点F作交于点H， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④正确． 综上可知①③④正确． 故答案为：①③④，    【点拨】本题主要考查了正方形和全等三角形．熟练掌握正方形的判定和性质，角平分线性质，矩形性质，等腰直角三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）如图，作于，于，根据正方形的性质可得，进而说明，再证明可得，再结合四边形是矩形即可证明结论； （2）同（1）的方法判断出得到，然后根据线段的和差即可解答． 解：（1）解：如图，作于，于，则，    点是正方形对角线上的点， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ， ∴， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形． （2）解：的值是定值，定值为，理由如下： 正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是定值． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、矩形的判定、三角形的全等的性质和判定、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 第二部分【链接中考与拓展延伸】 【题型14】链接中考 【例1】（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 【例2】（2024·天津·中考真题）如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接． （1）线段的长为 ； （2）若为的中点，则线段的长为 ． 【答案】 2 / 【分析】本题考查正方形的性质，中位线定理，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键； （1）运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解， （2）作辅助线，构造中位线求解即可． 解：（1）四边形是正方形， ， 在中，， ， ， ； （2）延长到点，使，连接 由点向作垂线，垂足为 ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， 在中， ， ， 在中，， 为的中位线， ； 故答案为：2；. 【题型15】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接、． （1）求证：； （2）在图1中，若在上，且，连接，求证：； （3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，求的长； ②如图3，在菱形中，，、分别在和上，且，连接．若，，请直接写出的长度________． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）①；② 【分析】（1）因为为正方形，所以，，又因为，则，即可求证； （2）因为，，则有，又因为，所以，，则，故成立； （3）①过点作交的延长线于点，利用勾股定理即可求得的长；②把旋转得到，过作于，根据旋转的性质和全等三角形的判定和性质可得到，，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 解：（1）证明：在正方形中，，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ， （已证）， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：①如图，过点C作，交的延长线于点， 由（2）和题设知：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ； ②如图，把旋转得到，过作于， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了勾股定理、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解． 【例2】（22-23八年级下·西藏拉萨·期末）如图，在中，点是边上一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角平分线于点． （1）线段和的位置关系 ________； （2）线段与的数量关系 ________； （3）当点在边上运动到什么位置，四边形是矩形，请说明理由； （4）在（3）问的基础上，满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）当点运动到中点时，四边形为矩形；（4）当时，矩形是正方形． 【分析】（1）由角平分线的性质和平角的性质，即可求解； （2）由角平分线的性质和平行线的性质可得，，可得； （3）利用矩形的判定可求解； （4）利用正方形的判定可求解． 解：（1）解：．理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：．理由如下 ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． （3）解：运动到中点时，四边形是矩形．理由如下： ∵为中点， ∴， 由（）得， ∴四边形平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴当点运动到中点时，四边形为矩形． （4）解：当时，矩形是正方形．理由如下： ∵，， ∴， ∴， 由（3）得当点运动到中点时，四边形为矩形． ∴矩形是正方形． 【点拨】本题是四边形综合题，考查了角平分线的性质，平行线的性质，矩形的判定，正方形的判定，熟练运用这些性质和判定进行推理是本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$