福建省厦门第一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

福建省厦门第一中学2024-2025学年度 第二学期第一次阶段性练习 高二年数学试卷 班级: 姓名: 座号: (在此卷上答题无效) 本试卷共4页,满分150分 注意事项: 1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致。 2.回答选择题时,选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮煮干净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本卷上无效。 3.考试结束,考生只须将答题卡交回。 一、单选题:本大题8小题,每小题5分,共40分。每小题只有一个正确答案。 1.函数 当自变叠x由1增加到1+△x时,函数的平均变化率为( ) A. 2 C. △x+2 D. - △x-2 2.下列求导运算正确的是( ) 3.曲线y= xlnx 在点M(e,e) 处的切线方程为( ) A. y=2x+e B. y=2x-e C. y=x+e D. y=x-e 4.函数. 的单调递增区间为( ) A. (0,+∞) B. (-1,0),(2,+∞) C. (2,+∞) D. (-1,0) 5.设函数 若f(x)的极小值为, 则a=( ) B. C. D. 2 6. 已知抛物线 的焦点为F,斜率为k的直线l经过点F,并且与抛物线C交于A,B两点,与y轴交于点M,与抛物线的准线交于点N,若 则k=( ) A. B. 7.已知正数a, b, c满足 (e为自然对数的底数),则下列不等式一定成立的是 7. 已知函数f(x)及其导函数f'(x)定义域均为R,满足 且f(x+3)为奇函数,记g(x)=f'(x), 其导函数为g'(x), 则 ( ) A. - 2 B. 2 C. 1 D. 0 二、多选题:本大题3小题,每小题6分,共18分,全对得6分,部分选对得部分分。 9.已知函数 则( ) A. f(x)有两个极值点 B. f(x)有三个零点 C. 直线y=-3x是曲线f(x)的切线 D. 若f(x)在区间 上的最大值为3 10.已知直三棱柱 中, 点B为 的中点,则下列说法正确的是( ) B. AB₁//平面A₁CE C.异面直线AE与A₁C所成的角的余弦值为 D.点A到平面ACE 的距离为 11.设计一个实用的门把手,其造型可以看作图中的曲线的一部分,则( ) A. 点(1,1)在C 上 B.将C在x轴上方的部分看作函数f(x)的图象,则1是f(x)的极小值点 C. C在点(1,1)处的切线与C的另一个交点的横、纵坐标均为有理数 D. x<0时,曲线C上任意一点到坐标原点O的距离均大于 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. 12.在等差数列{aₙ}中,已知 则 13.若点P是曲线 上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为__ 14.已知函数f(x)=alnx-2x(a>0),若不等式 恒成立,则实数a的取值范围为 四、解答题:本大题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,把解答过程填写在答题卡的相应位置。 15.(本小题满分13分) 已知数列{an}是公差不为零的等差数列, 且a₁, a₃, a₃成等比数列. (1)求数列{aₙ}的通项公式； (2)设数列{b₄}满足 求数列{b0}的前n项和S。. 16.(本小题满分15分) 已知函数 (1)若a=0, 求f(x)在 上的最值: (2)讨论函数f(x)的单调性. 17.(本小题满分15分) 已知函数 (1)求曲线 在 处的切线方程: (2)设 求函数g(x)的最小值； (3)若 求实数a的值. 18.(本小题满分17分) 如图:在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形. PD与底面所成的角为 E为PD的中点、 (1)求证: AE⊥平面PCD: (2)若 G为△BCD的内心,求直线PG与平面PCD所成角的正弦值. 19.(本小题满分17分) 意大利国家达·芬奇提出:固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂,那么项链下垂部分所形成的曲线是悬钝线,通过建立适当坐标系,悬链线可为函数 的图象,我们称这个函数为“双曲余弦函数”.记为 把 称为“双曲正弦函数”,记 易知 (1)求证: (i)当 时, (2)求证: 若 则 1 学科网（北京）股份有限公司 $$1 福建省厦门第一中学 2024-2025学年度 第二学期第一次阶段性练习 高二年数学试卷 班级: 姓名: 座号: (在此卷上答题无效) 本试卷共 4页,满分 150分 注意事项: 1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓 名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、 姓名是否一致。 2.回答选择题时,选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮煮干净后再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡 上,写在本卷上无效。 3.考试结束,考生只须将答题卡交回。 一、单选题:本大题 8小题,每小题 5分,共 40分。每小题只有一个正确答案。 1.函数 � � = �2 + 1,当自变叠 x由 1增加到 1+△x时,函数的平均变化率为( ) A. 2 �. � + � 2 C.△x+2 D. -△x-2 2.下列求导运算正确的是( ) �. cos � 3 ' =− sin � 3 �. ( 1 � )' = 1 �2 �.（log2�)’ = 1 �ln2 �. 3� ' = 3� 3.曲线 y= xlnx在点 M(e,e)处的切线方程为( ) A. y=2x+e B. y=2x-e C. y=x+e D. y=x-e 4.函数. � � = �2 − 2� − 4ln�的单调递增区间为( ) A. (0,+∞) B. (-1,0),(2,+∞) C. (2,+∞) D. (-1,0) 5.设函数 � � = � 2 �+� ,若 f(x)的极小值为 e ,则 a=( ) �. − 1 2 B. 1 2 C. 3 2 D. 2 6. 已知抛物线 �: �5 = 2��(� > 0)的焦点为 F,斜率为 k的直线 l经过点 F,并且与 抛物线 C交于 A,B两点,与 y轴交于点 M,与抛物线的准线交于点 N,若 �� = 2�� ,则 k=( ) A. 3 B. 2 �. ± 2 �. ± 3 7.已知正数 a, b, c满足 ln� = � = ��(e为自然对数的底数),则下列不等式一定成 立的是 �. �� > � �. �� < 0 �. �+� 2 > � �. �+� 2 < � 2 7. 已知函数 f(x)及其导函数 f'(x)定义域均为 R,满足 � 3 2 + � − � 3 2 − � = 4�,且 f(x+3)为奇函数,记 g(x)=f'(x),其导函数为 g'(x),则 � 15 2 + �' 2025 =( ) A. - 2 B. 2 C. 1 D. 0 二、多选题:本大题 3小题,每小题 6分,共 18分,全对得 6分,部分选对得部分分。 9.已知函数 � � = �3 − 3� + 1,则( ) A. f(x)有两个极值点 B. f(x)有三个零点 C.直线 y=-3x是曲线 f(x)的切线 D.若 f(x)在区间 −1 3 上的最大值为 3 10.已知直三棱柱 ��� − �1�1�中, �� = �� = ��1 = 2, �� ⊥ ��,点 B为 �1�1的 中点,则下列说法正确的是( ) �. �� = 1 2 �� + 1 2 ⋅ �� + �� B. AB₁//平面 A₁CE C.异面直线 AE与 A₁C所成的角的余弦值为 3 32 D.点 A到平面 ACE的距离为 2 5 � 11.设计一个实用的门把手,其造型可以看作图中的曲线�: �2 = �2 − 2� ÷ 2 的一 部分,则( ) A.点(1,1)在 C上 B.将 C在 x轴上方的部分看作函数 f(x)的图象,则 1是 f(x)的极小值点 C. C在点(1,1)处的切线与 C的另一个交点的横、纵坐标均为有理数 D. x<0时,曲线 C上任意一点到坐标原点 O的距离均大于 2 三、填空题:本大题共 3小题,每小题 5分,共 15分. 12.在等差数列{aₙ}中,已知 �1 = 1, �3 = �6,则 �0 = ________________. 13.若点 P是曲线 � = �2 − ln�上任意一点,则点 P到直线 y=x-2的最小距离为__ 14.已知函数 f(x)=alnx-2x(a>0),若不等式 �∘�−2⋅⩾3� � + 1, ∀� > 0 恒成立,则实数 a的取值范围为 四、解答题:本大题共 5小题,共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤,把解答过程填写在答题卡的相应位置。 15.(本小题满分 13分) 已知数列{an}是公差不为零的等差数列, �1 = 1,且 a₁, a₃, a₃成等比数列. (1)求数列{aₙ}的通项公式； (2)设数列{b₄}满足 �� = 2� ⋅+ 2��,求数列{b0}的前 n项和 S。. 3 16.(本小题满分 15分) 已知函数 � � = 2 3 �3 + ��2 + 2 � − 1 � + 1 � ∈ � , (1)若 a=0,求 f(x)在 −3 3 2 上的最值: (2)讨论函数 f(x)的单调性. 17.(本小题满分 15分) 已知函数 � � = �ln � − 1 . (1)求曲线 � = � � 在 � = 2 处的切线方程: (2)设 � � = �' � ,求函数 g(x)的最小值； (3)若 � � �−� > 2,求实数 a的值. 18.(本小题满分 17分) 如图:在四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD为正方形. ��⟂平面����,PD与底面所成 的角为 45∘,E为 PD的中点、 (1)求证: AE⊥平面 PCD: (2)若 �� = 2,G为△BCD的内心,求直线 PG与平面 PCD所成角的正弦值. 4 19.(本小题满分 17分) 意大利国家达·芬奇提出:固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂,那么项 链下垂部分所形成的曲线是悬钝线 ,通过建立适当坐标系 ,悬链线可为函数 � � = � �−�−� 2 的图象,我们称这个函数为“双曲余弦函数”.记为 �ℎ � = � �+�−� 2 , 把 � � = � �−�� 2 称为“双曲正弦函数”,记 �ℎ � = � 2−e� 2 , 易知�ℎ 2� = 2�ℎ � ⋅ �ℎ � . (1)求证: (i)当 � ≥ 0 时, �ℎ � ≥ �, � �ℎ(�) > 1 + 1 2 �2; (2)求证:若 �1 > 0, �2 > 0,则 [�ℎ �2 + �ℎ �2 − �2 − 1] ⋅ [�ℎ �1 + �ℎ �1 ] > sin �1 + �2 − sin�1 − �2cos�