精品解析：河北省邯郸市武安市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

武安一中2024——2025学年第二学期3月考试 高一数学 一、单选题 1. 复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由虚部的概念即可求解； 【详解】的虚部为， 故选：C 2. 对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（ ） A. ①②④是数量，③⑤⑥是向量 B. ①④⑤是数量，②③⑥是向量 C. ①④是数量，②③⑤⑥是向量 D. ①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的概念逐个判断即可； 【详解】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量； 速度，重力既有大小又有方向，是向量， 故选：D. 3. 在 中， ，则 的值为（ ） A. 20 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积定义直接计算得解. 详解】依题意，. 故选：B 4. 已知，向量与向量的夹角为，与向量共线同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的公式计算即可. 【详解】． 故选：C. 5. 已知复数z满足，则的最大值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出最大值. 【详解】在复平面内，z与对应的点，关于x轴对称， 而满足条件的点的集合是以为圆心，2为半径的圆，该圆关于x轴对称， 因此，由复数的几何意义知表示点与点的距离， 又圆上的点到的距离最大值为5， 所以的最大值为5. 故选：B 6. 已知，向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】利用二倍角公式结合向量平行求解即可. 【详解】法1：根据题意得，则有，变形可得，解得或．又，则必有．故选：C． 法2：选项验证法！ 观察选项，当时，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意． 故选:C． 7. 某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】设，由，结合余弦定理可得，求解即可. 【详解】设，则可得， 由，可得B是AC的中点，所以， 而，则， ，中，由余弦定理可得：， 解得：，所以该建筑的高度米. 故选：B. 8. 在复平面内，O为坐标原点，复数4i对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转后，再将模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数的实部是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的向量表示形式，结合复数的几何意义、复数实部定义进行求解即可. 【详解】因为复数4i对应的向量为， 所以 ， 绕点O逆时针方向旋转后变为， 再将模变为原来的倍，得，对应的复数的实部是， 故选：B 二、多选题 9. 已知平面向量满足，则下列结论正确是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由模长的计算可得A错误、C正确；由夹角的计算可得B正确；设，由模长的计算和可得D正确； 【详解】选项A：由得，又，所以，所以A错误； 选项B：设与的夹角为，则，因为，所以，所以B正确； 选项C：，所以，所以C正确； 选项D：设，则， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以当且仅当与反向共线时，取得最大值，且最大值为，所以D正确． 故选：BCD 10. 欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（为自然对数的底数，为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（ ） A. 复数为纯虚数 B. 复数对应的点位于第二象限 C. 复数的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用欧拉公式将复数化为的形式，然后应用复数的相关知识判断即可. 【详解】对于A，，所以为纯虚数，故A正确； 对于B，，因为，所以，，所以复数对应的点位于第二象限，故B正确； 对于C，，复数的共轭复数为，故C错误； 对于D，，，复数在复平面内对应的点的轨迹是半径为1的半圆，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则动点的轨迹经过的内心 B. 若O为平面内任意一点，，则点为重心 C. 若为的垂心，，则 D. 若为锐角的外心，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三角形中中线的向量表示可判断A；根据向量的线性运算得到可判断B；根据，计算可判断C；设为中点，则根据题意得三点共线，且，进而得判断D. 【详解】对于A选项，设中点为，如图， 则，， 所以P点轨迹经过三角形的重心，故A不正确； 对于B选项，， 可得 ，即，所以点为的重心,故B正确； 对于C选项，因为，，又因为为的垂心， 所以，所以，故正确； 对于D选项，因为且， 所以，整理得：，即， 设为中点，则，所以三点共线，如图， 又因为，所以垂直平分，故，正确. 故选：BCD 三、填空题 12. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 13. 若复数是纯虚数，则实数__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据纯虚数实部为0虚部不为0，计算即可. 【详解】 由题意得解得． 故答案为：2. 14. 如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，将表示为，继而化为，利用三点共线求得，即可求得答案. 【详解】设，由得， 故 ， 由得， 故, 由于三点共线，故，则， 又，故， 所以， 故答案为： 四、解答题 15. （1）若，求实数x，y的值； （2）已知成立，求实数a的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】（1）根据复数相等的充要条件列方程组求解即可； （2）先化简整理复数，然后根据复数为0的充要条件列方程组求解即可． 【详解】（1）由复数相等的充要条件，得，解得； （2）因为，， 所以， 可得，解得，或， 所以． 16. 已知x为实数，复数． （1）当x为何值时，复数z的模最小？ （2）当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数的图象上，其中，，求的最小值及取得最小值时m，n的值． 【答案】（1） （2）的最小值为，，． 【解析】 【分析】(1) 利用复数的模的计算公式，结合二次函数的性质求最值. (2) 先求出模最小时复数对应的点，代入函数得到关系式，再利用均值定理求最值. 【小问1详解】 ， 当且仅当时，复数z的模最小，为． 【小问2详解】 当复数z的模最小时，． 又点Z位于函数的图象上，所以． 又，，所以， 当且仅当时等号成立．又，，， 所以，．所以的最小值为， 此时，． 17. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）若，且，求及． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积运算律和数量积定义即可求出； （2）根据向量数量积运算律得，再平方计算即可. 【小问1详解】 ， 所以，又，所以. 【小问2详解】 由题意知， 解得，， ， 所以． 18. 已知扇形半径为1，，弧上的点满足. （1）求的最大值； （2）求最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，，则，根据平面向量线性运算的坐标表示得到，再由辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； （2）利用坐标法表示出，再由三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 由题设，构建如下图示的直角坐标系，且， 设，，则， 所以，，， 由，得， 即，，解得， 所以， 所以当时，取得最大值，且. 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以 ， 因为，所以当，即当时，取得最小值是. 19. 在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC= （1）试用，表示； （2）若，求∠ARB的余弦值 （3）若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，三点共线结合平面向量基本定理可得答案；（2）由（1）及题目条件，结合两向量夹角余弦公式可得答案.（3）设，结合及（1）可得，即可得答案. 【小问1详解】 因P,R,C共线，则存在使， 则，整理得. 由共线，则存在使， 则，整理得. 根据平面向量基本定理，有， 则. 【小问2详解】 由（1），，， 则，，. 则； 【小问3详解】 由（1）知，则. 由共线，设. 又. 则 . 因，则，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 武安一中2024——2025学年第二学期3月考试 高一数学 一、单选题 1. 复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（ ） A. ①②④数量，③⑤⑥是向量 B. ①④⑤是数量，②③⑥是向量 C. ①④数量，②③⑤⑥是向量 D. ①②④⑤是数量，③⑥是向量 3. 在 中， ，则 的值为（ ） A. 20 B. C. D. 4. 已知，向量与向量的夹角为，与向量共线同向的单位向量为，则向量在向量方向上的投影向量等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知复数z满足，则的最大值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 已知，向量，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 在复平面内，O为坐标原点，复数4i对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转后，再将模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数的实部是（ ） A. 6 B. C. D. 二、多选题 9. 已知平面向量满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与的夹角为 C. D. 的最大值为 10. 欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（为自然对数的底数，为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（ ） A. 复数为纯虚数 B. 复数对应的点位于第二象限 C. 复数的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆 11. 已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则动点的轨迹经过的内心 B. 若O为平面内任意一点，，则点为重心 C. 若为垂心，，则 D. 若为锐角的外心，且，则 三、填空题 12. 化简：________． 13. 若复数是纯虚数，则实数__________． 14. 如图，在中，已知是线段与的交点，若，则的值为__________. 四、解答题 15. （1）若，求实数x，y的值； （2）已知成立，求实数a的值． 16. 已知x为实数，复数． （1）当x为何值时，复数z的模最小？ （2）当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数的图象上，其中，，求的最小值及取得最小值时m，n的值． 17. 已知，，． （1）求与的夹角； （2）若，且，求及． 18. 已知扇形半径为1，，弧上点满足. （1）求的最大值； （2）求最小值. 19. 在ΔABC中，P为AB的中点，O在边AC上，BO交CP于R，且，设AB=，AC= （1）试用，表示； （2）若，求∠ARB的余弦值 （3）若H在BC上，且RH⊥BC设，若，求的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$